Les collèges de Montrabé et de Tournefeuille

Présentation au sujet: "Les collèges de Montrabé et de Tournefeuille"— Transcription de la présentation:

1 Les collèges de Montrabé et de Tournefeuille
vous présentent :

2 Le sujet Décomposer 2010 sous forme d'une somme de nombres de telle sorte que le produit obtenu avec les nombres trouvés soit le plus grand possible

3 Des exemples 2010=2000+10 et 2000 x 10 = 20 000 2010 = 1000+1000+10
et 1000 x 1000 x 10 = Problème: comment pouvons nous trouver le produit le plus grand?

4 Les observations Observation 1 : Inutile de décomposer le nombre en utilisant 0 ou 1 comme termes 2010 = et x 0 = 0 2010 = et x 1 = 2009 Et il est très facile de trouver un produit supérieur : 2010 = et x 10 =

5 Les différentes réflexions
On a décomposé 2010 avec 500, puis avec 250 et on a comparé: 2010= ce qui donne un produit environ égal à: 1.5625x1012 2010= x1020 Donc décomposer avec 250 est plus intéressant.

6 La décomposition avec 20 est plus intéressante.
On poursuit : La décomposition en 25 donne un produit environ égal à 6,84 x 10112 Avec 20 le produit obtenu est environ égal à 126,765 x La décomposition avec 20 est plus intéressante.

7 Observation 2 : D'après les décompositions avec 500, 250, 25, 20, il nous semble que plus les termes sont petits (en évitant le 1), plus le produit obtenu est grand Illustration : 2010 = x 10 = 2010 = x 1000 x 10 = 107 2010 = … x 10 x 10 ..x 10 = 10201

8 On va donc chercher des décompositions avec des nombres les plus petits possibles.
2 et 3 sont les plus petits termes non décomposables sans utiliser le 1. 2= et 3=2+1 Voyons pour les autres termes possibles

9 Nombre Décomposition Produit 5 3 + 2 6 4 + 2 3 + 3 9 7 5 + 2 4 + 3 10 12 8 6 + 2 5 + 3 4 + 4 15 16 18 7 + 2 6 + 3 5 + 4 14 20 27 Nombre Décomposition Produit 10 8 + 2 7 + 3 6 + 4 5 + 5 16 21 24 25 32 36 11 9 + 2 8 + 3 7 + 4 6 + 5 18 28 30 48 54

10 Dans les décompositions, nous n'allons utiliser que des 2 et des 3.
Observation 3 : Si dans une décomposition on utilise le nombre 5, il vaut mieux décomposer celui-ci en En effet : Prenons un nombre A qui se décompose ainsi : A = B + 5 Alors A = B Et B x 3 x 2 = B x 6 > B x 5 Observation 4 : Si dans une décomposition on utilise le nombre 4, cela revient au même que si on le redécompose en En effet : si A = B + 4 = B Alors B X 4 = B x 2 x 2 ( puisque 2 x 2 = 4 ) Conséquence : Pour les nombres supérieurs à 5, plus la décomposition contient des termes égaux à 3, plus le produit est grand. Conclusion : Dans les décompositions, nous n'allons utiliser que des 2 et des 3.

11 Essayons avec 2 et 3 Les troisièmes décomposent avec 2, les cinquièmes partent sur des décompositions avec 3 afin de vérifier une dernière fois !!! Prenons un exemple simple , remplaçons 2010 par 10: 10= soit un produit égal à 32 10= soit un produit égal à 27 10= soit un produit égal à 36 Avec cet exemple, on voit qu’il vaut mieux prendre des 3 comme termes plutôt que des 2 ce qui est l’inverse de ce que l’on pensait. Car d’après nos calculs plus les termes étaient petits plus le produit était grand !!!!!!!

12 Alors 2 ou 3 ? Retour à 2010 : on va décomposer 2010 avec les nombres les plus petits possibles en respectant les observations précédentes. On obtient : 2010 = …. + 2 = 2 x 1005 et ~ 3, x (trouvé sur internet) 2010 = … = 3 x 670 et ~ 4,70427x ( trouvé sur internet) Question : ces résultats sont-ils fiables ? En effet en cherchant sur différents sites, on a obtenu des valeurs différentes !!!

13 Après de nombreux essais à la calculatrice et des recherches avec le tableur on a cherché à écrire 3 comme 2nombre On a trouvé une valeur approchée pour ce nombre : 1, 3 est à peu près égal à 21, On a donc : 3670 à peu près égal à (21, )670 et donc à au moins 21270 Conclusion : > 21005 Si quelqu’un peut nous donner la valeur exacte de ce nombre, merci de venir nous voir sur le stand !

14 Des pistes On pense que :
Si A est un multiple de 3, on obtiendra le plus grand produit en ne décomposant qu’avec des 3. Exemple : 2010 = 3 x > plus grand produit : 3670 Si A est un multiple de 3 plus 1, on obtiendra le plus grand produit en ne décomposant qu’avec des 3 et un 4. Exemple : 10 = > plus grand produit : 4 x 32 = 36 34 = > plus grand produit : 4 x 310 = Si A est un multiple de 3 plus 2, on obtiendra le plus grand produit en ne décomposant qu’avec des 3 et un 2. Exemple : 11 = > plus grand produit : 2 x 33 = 54 35 = > plus grand produit : 2 x 311 =

15 Le nombre cherché est donc compris entre 2,7 et 2,9.
Du côté des décimaux… Donc on peut supposer que le nombre permettant le plus grand produit est compris entre 2 et 3. 2,5804 ~8,78 x 10319 2,6773 ~5,89 x 10320 2,7744 ~ 8,55x10320 2,8718 ~ 1,15x10321 2,9693 ~2,8 x10320 Le nombre cherché est donc compris entre 2,7 et 2,9.

16 Exposé présenté par les élèves des collèges
Pierre Labitrie (Tournefeuille ) et Paul Cézanne (Montrabé) Mattéo, Aubry, Hugo, Damien, Julien, Antoine Agathe, Solène, Maxime, Lucas, Hugo, Tom, Fabien, Guillaume,Ilona, Clara, Laura Sujet proposé par : Xavier Buff, Université Paul Sabatier ( Toulouse)