Plan Transport Advection et dispersion

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1 Plan Transport Advection et dispersion
Équations et solutions analytiques Résolution numérique Sorption et facteur de retard

2 Advection et dispersion

3 Site Danois (Jutland) K ~ 5,1 10-4 m/s neff ~ 0.3
Jensen et al. WRR 1993 K ~ 5, m/s neff ~ 0.3 Vitesse du traceur (m/an) ??

4 L’advection v U=q/A (m/s) v x = v.t A A’=w.A v = U/w U
vitesse de Darcy ou flux unitaire v x = v.t A A’=w.A v = U/w vitesse de pore (v>U) ou vitesse réelle L’advection est simplement le déplacement de l’eau, en un temps t le déplacement d’une substance est de x=vt. L’équation correspondante est dC/dt = - v dC/dx. Il faut néanmoins tenir compte de la porosité. En effet dans l’approche de Darcy la vitesse calculée est en fait un flux sur une surface unitaire, c.à.d la quantité d’eau passant par unité de temps au travers d’une surface d’un m2. Or cette surface est en majorité occupée par de la roche et l’eau ne passe que par une faible proportion de cette surface : la porosité. La vitesse réelle de l’eau, ou d’un traceur parfait, est donc supérieur à la vitesse de Darcy puisque le flux ne transite que par la porosité.

5 La dispersion cinématique
v DT: Dispersion transversale 102 10 1 10-1 aL = 0.1 Echelle (Pickens et Grisak 1981) Dispersivité longitudinale (m) aL = 0.83 Log(Echelle) (Xu et Eckstein 1995) C Taille des points proportionnelle à la précision x DL: Dispersion longitudinale Données de gelhar et al. 1992 Le milieu poreux étant très hétérogène le fluide ne s’écoule pas en droite ligne à l’échelle microscopique et certains éléments de fluides vont donc parcourir un chemin tortueux et avoir des vitesses différentes. Ce processus est comparable à une distribution aléatoire des vitesses autour d’une moyenne aussi bien en valeur absolue qu’en direction. On va donc surimposer à l’advection une composante de déplacement aléatoire qui est appelée dispersion. La dispersion est 100 à 1000 fois plus rapide que la diffusion dans des aquifères superficiels (v de l’ordre de 100 m/an). On ne sait pas calculer la dispersion d’un milieu, on utilise donc des approximations. En premier lieu, considérant que plus la vitesse est grande plus il y a de dispersion, on définit la dispersivité telle que D = a v. Néanmoins même cette dispersivité est difficile à déterminer, elle augmente avec l’échelle du terrain étudié. En effet l’hétérogénéité d’un milieu à tendance à augmenter lorsque l’on y inclut des unités sédimentologiques différentes. Les ajustements aux courbes expérimentales sont peu satisfaisants et si l’on part souvent d’une dispersivité égale au dixième de l’échelle du problème, il est conseillé de la faire varier dans les simulations afin d’obtenir une gamme de déplacements plausibles. Le mieux étant évidemment de la déterminer par essai de traçage. Echelle (m) a: dispersivité

6 Hétérogénéité des sédiments

7 Injection instantanée et continue
x C Selon les situations, essai de traçage ou pollutions de différentes origines, le déplacement de la substance concernée aura différente configuration. On distingue couramment deux cas extrêmes : l'injection instantanée ou l'injection continue. Le premier cas concerne p.ex. les essais de traçage ou les pollutions accidentelles de durée limitée. La masse de polluant injectée est conservée dans l'aquifère. En raison de la dispersion, cette masse s'étale dans l'espace et la concentration en tout point diminue. La cas de l'injection continue est plutôt typique des sites pollués dans lesquels la source est présente depuis de longues années. Dans ce cas la concentration à une distance donnée de la source finira par atteindre la valeur de la concentration à la source, si le temps de transport est assez long. En pratique les situations ne sont pas toujours aussi évidentes et la concentration à la source peut varier dans le temps. Néanmoins les solutions de l'équation étant additives, il sera possible de les combiner pour essayer de représenter au mieux la situation rencontrée. x

8 Transport : équations de base
En 1Dimension, milieu homogène, pour un traceur parfait: Terme de source Advection Dispersion Injection pendant un dirac en milieu ‘infini’ Injection continue en milieu ‘semi-infini’ L’équation de base du transport d’un traceur parfait (qui n’interagit pas avec le milieu) comprend deux termes : l’advection et la dispersion. Sachant que les processus de diffusion et de dispersion sont tous deux de type aléatoire la loi de Fick convient à la description des deux phénomènes, avec un coefficient comprenant à la fois le terme de dispersion et celui de diffusion. Le deuxième étant négligeable par rapport au premier dans la majorité des applications. Si le transport concerne une espèce réactive, on ajoute un troisième terme, le terme de source correspondant à la quantité de matière ajoutée à la solution par unité de temps. Ce terme peut revêtir des expressions très diverses. L’équation de base, du traceur parfait, admet une solution analytique dans le cas ou la vitesse et la dispersion sont constantes sur tout le domaine considéré (à valider selon les cas). L’intérêt d’une solution analytique est d’être de résolution instantanée et de voir apparaître le rôle des différents termes. Dans la solution de base, il apparaît que le centre du nuage (Cmax) ou le front du panache (C=Co/2) sont situés à x=vt, déplacement lié à l'advection. L'aplatissement du panache dépend ensuite de la dispersion. erfc(x) = 1-erf(x)

9 Résolution analytique et numérique

10 Analytique 2 dimensions
YS source x

11 Equations Transport d’une espèce en 2 dimensions (Domenico)
Le transport en 2 dimensions a une formulation à peu près équivalente à celle du transport en une dimension, avec évidemment un terme en Y, qui dépend de la largeur de la source. En effet la solution présentée ici correspond à une source parallélépipédique traversée par l'écoulement. Ceci est rarement le cas dans la réalité (sauf en présence de DNAPL, lors de la phase de descente de ceux-ci) mais la solution analytique est simple et tout à fait proche d'autres cas. De plus la forme et la position de la source de pollution sont souvent très mal connue, ainsi la principale inconnue réside souvent dans la taille de celle-ci et non dans le fait qu'elle soit plutôt horizontale ou verticale. Si le panache est celui de contaminants qui peuvent réagir avec des substances présentes dans le panache, de l'oxygène par exemple, il est possible d'utiliser le principe de superposition (pour les réactions cf. dégradation). Dans ce cas la concentration après réaction est égale à celle d'un traceur de concentration Co à la source diminuée de celle de l'accepteur d'électron (Cae). L'accepteur d'électron a une concentration nulle dans la source et maximale (Cae) à l'extérieur du panache, la solution est donc simplement Cae multipliée par 1- la solution classique pour un traceur présent dans la source.

12 Equation du transport en 3D
xi : coordonnée (i=1,2,3) C : concentration t : temps Dij : tenseur de dispersion q : porosité vi : vitesse de pore

13 Tenseur de dispersivitié

14 Quelques modèles Solutions analytiques Modèles hydrodynamiques
Bioscreen, Biochlor Modèles hydrodynamiques Modflow° (différences finies) Visual Modflow* Modèles hydrodispersifs ASM°, MT3D°, RT3D°, HST3D° (différences finies) Sutra°, Feflow* (éléments finis, non saturé/saturé) Techniques mixtes Rflow (EGID) °: modèles domaine public, *: codes commerciaux

15 Contraintes numériques
nombre de courant < 1 (ne pas parcourir en Dt plus de Dx) Dimensions de la grille < dispersivités latérale et longitudinale Schéma de résolution (amont, aval, centré, implicite, explicite) Quand la résolution de l’hydrodynamique se fait en 1 sec, le transport prend plusieurs minutes

16 Comparaison numérique – analytique

17 Comparaison numérique – analytique (2)

18 Sorption et retard

19 Le facteur de retard Kd = Cs/Cw (L/kg)
+ Kd = Cs/Cw (L/kg) Flux de matière solide -> liquide Avec Cs= Kd .Cw et en rapportant le Flux au volume d’eau Les substances organiques anthropiques présentent une forte affinité pour la matière organique naturelle, ce qui va conduire à une sorption sur la phase solide. De nombreuses études ont montré que cette sorption pouvait souvent être estimée comme réversible. C'est à dire que lorsque la concentration en phase liquide augmente, celle sur la phase solide augmente aussi, mais le phénomène advient aussi dans l'autre sens : quand la concentration en phase liquide diminue, celle en phase solide fait de même. Ainsi lors du passage d'un nuage de polluant, une partie des molécules de polluant vont rester fixées sur la phase solide, mais lorsque le nuage est passé, la concentration en phase liquide diminue et le solide "rend" alors le polluant au liquide. Tout se passe comme si les molécules de polluants "passaient un moment" sur la phase solide. On obtient donc un retard du polluant par rapport à un traceur parfait. Si il y a en permanence un équilibre entre phase liquide et phase solide, il est possible de calculer le flux de matière échangé entre phase liquide et solide et d'estimer le terme de source dans l'équation d'advection dispersion. Ce terme devient alors proportionnel à dC/dt et il est possible de transformer l'équation globale en incluant un facteur de retard : Rf = 1 + (1-w)/w.rhos.Kd et on peut utiliser une solution classique en remplaçant D par D/Rf et v par v/Rf. L'expression (1-w)/w.rhos est présente pour tenir compte du rapport entre Cs et Cw selon la porosité. Dans la réalité l'adsorption est rarement totalement réversible, la conséquence étant la formation de nuages qui présentent une "queue allongée" : la partie décroissante du nuage est beaucoup plus longue que la montée, alors qu'il y a symétrie dans le cas d'un retard parfait. Lorsque les données sur le site sont très fournies, il est possible d'utiliser des solutions pour le cas d'une sorption partiellement irréversible (on utilise plusieurs types de sites), sur la plupart des sites, on travaillera principalement sur la partie montante du profil de concentration. Notons par ailleurs que dans la réalité une source n'est quasiment jamais totalement ponctuelle et donc la diminution de concentration peut aussi bien être expliquée par une sorption irréversible que par la décroissance de la source. En posant On obtient Les solutions sont celles du traceur: remplacer D par D/Rf et v par v/Rf

20 Exemples 2,4 DCP TeCP Cl4D2 N 100 m 1 10 100 200 300 600 800 mg/L
Alkalai Lake, Johnson et al Groundwater N Cl4D2 Dans le cas d'une source continue on constate bien pour ces trois substances des déplacements différents qui sont dus à des facteurs de retard différents des trois substances présentes dans la source. il est même possible, en mesurant la taille des panaches, d'estimer le facteur de retard réel, qui sera simplement le rapport de taille des panaches. Le polluant le plus retardé présente le panache le plus court. mg/L 100 m

21 Exemples (2) Cl à 633 j. CCl4 PCE 60 m 30 m
Roberts et al. WRR , 1986 à 633 j. CCl4 Dans le cas d'une injection 'instantanée', ou qui peut être considérée comme telle, le facteur de retard conduit à une différentiation spatiale des panaches de polluants qui peut conduire à des distances importantes entre ceux-ci. Ceci peut être utilisé pour prédire de façon efficace l'arrivée d'un polluant à un forage en aval d'un site, en utilisant par exemple les chlorures qui se comportent la plupart du temps comme un traceur parfait. PCE 30 m

22 Comparaison entre Facteur de retard observé et calculé
Borden : 2800 points de mesure La comparaison de facteurs de retard calculés et mesurés sur site (en comparant l'avancée de différents polluants) montre une bonne adéquation. La gamme de variation des valeurs de facteurs de retards observés est importante à noter car on devra en tenir compte pour simuler l'évolution d'un panache. Ces résultats ont été obtenus sur le site le plus instrumenté qui existe, il ne sera donc pas possible d'obtenir des valeurs plus précises des facteurs de retard.

23 Les hétérogénéités

24 Direction des écoulements
2 3 4 5 Direction des écoulements 12 13 14 15 16 17 6 7 8 9 10 11 85,80 m 18 19 20 21 85,90 m 1 10 m Burnham N.Zélande, Lipping-Pang et al. Groundwater 1998

25 mg/L m CH2O CH4 SO4 Fe2 NO3 NH4 Cl/3 100 200 300 400 500 28 29 30 31
100 200 300 400 500 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 CH2O CH4 SO4 Fe2 NO3 NH4 Cl/3 m

26 altitude distance depuis la source

27 Enfoncement du panache
Effets de l'infiltration superficielle et du fond de l'aquifère bien mis en évidence par la forme du panache de Cl Dans les nappes phréatiques l'infiltration conduit à une entrée d'eau verticalement tout au long de l'aquifère. Ainsi le flux d'eau augmente tout au long de l'aquifère. Par ailleurs l'eau qui s'infiltre vient s'ajouter au dessus du panache existant et conduit par conséquent à un resserrement des lignes de courant et aussi à un enfoncement du panache de polluant. Ce phénomène a été constaté sur tous les sites qui permettent une vision verticale du panache.