Collèges de Tournefeuille (31) et de Pamiers (09) Mélanges de cartEs.

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1 Collèges de Tournefeuille (31) et de Pamiers (09) Mélanges de cartEs

2 Collèges de Tournefeuille (31) et de Pamiers (09) 1.Le problème 2.Les premières manipulations et Les premières propriétés 3.L’outil informatique 4.Les observations 5.Les propriétés 6.conclusion SOMMAIRE

3 Collèges de Tournefeuille (31) et de Pamiers (09) Le problème Un paquet de 16 cartes dans les mains … On mélange …

4 Collèges de Tournefeuille (31) et de Pamiers (09) Le problème Un paquet de 16 cartes dans les mains … On mélange …

5 Collèges de Tournefeuille (31) et de Pamiers (09) Le problème Un paquet de 16 cartes dans les mains … On mélange …

6 Collèges de Tournefeuille (31) et de Pamiers (09) Le problème Un paquet de 16 cartes dans les mains … On mélange …

7 Collèges de Tournefeuille (31) et de Pamiers (09) Le problème Un paquet de 16 cartes dans les mains … On mélange …

8 Collèges de Tournefeuille (31) et de Pamiers (09) Le problème Un paquet de 16 cartes dans les mains … On mélange …

9 Collèges de Tournefeuille (31) et de Pamiers (09) Le problème Un paquet de 16 cartes dans les mains … On mélange …

10 Collèges de Tournefeuille (31) et de Pamiers (09) Le problème Un paquet de 16 cartes dans les mains … On mélange …

11 Collèges de Tournefeuille (31) et de Pamiers (09) Le problème On regarde les cartes … Avant le mélange :Après le mélange : L’ordre a changé…

12 Collèges de Tournefeuille (31) et de Pamiers (09) Le problème On recommence …

13 Collèges de Tournefeuille (31) et de Pamiers (09) Le problème Les questions : 1)Au bout de 4 coups, il semble qu’on revienne à réordonner les cartes, est-ce que ça marche avec n’importe quel paquet de cartes ? 2) Peut-on prévoir le nombre de coups pour revenir à l’ordre initial avec un paquet de 4, 6, 10, 72, n cartes ? 3) Et si on change de mélange, est-on sûr de revenir à l’ordre initial ?

14 Collèges de Tournefeuille (31) et de Pamiers (09) Premières manipulations… … premières propriétés Après DE NOMBREUX ESSAIS et un premier échange entre les deux collèges, On met en évidence : - nous ne faisons pas tous le même mélange ! ( certains posaient le paquet du haut sur celui du bas et d’autres le contraire … ) - et nos résultats ne concordaient pas ! On tombe d’accord sur : - Pour 4, 6, 12, … 20 cartes, que ce soit avec leur mélange ou le nôtre, on revient à l’ordre initial ( mais pas forcément avec le même nombre de coups) - Pour 16 cartes, avec le « bon » mélange,au bout de 4 coups, on revient à l’ordre inverse. Il en faut 8 pour revenir à l’ordre initial.

15 Collèges de Tournefeuille (31) et de Pamiers (09) Premières manipulations… … premières propriétés Bilan de la rencontre : Propriété 1 : Lorsqu’on trouve l’ordre inverse, en multipliant par 2 le nombre de coups réalisés pour arriver à cet ordre, cela donnera le nombre de coups nécessaires pour revenir à l’ordre initial. Décisions : - on repart tous sur le même mélange - on essaye d’utiliser un tableur pour pallier les erreurs de manipulations et comptage

16 Collèges de Tournefeuille (31) et de Pamiers (09) L’outil informatique Premières simulations : Ordre inverse Avec 4 cartes : Avec 16 cartes : 1 er coup 2 ème coup 3 ème coup 1 er coup 3 ème coup 4ème coup 4éme coup 2 ème coup

17 Collèges de Tournefeuille (31) et de Pamiers (09) L’outil informatique Programmation du tableur :

18 Collèges de Tournefeuille (31) et de Pamiers (09) L’outil informatique Programmation du tableur : On note : en 3 coups, retour à l’ordre initial

19 Collèges de Tournefeuille (31) et de Pamiers (09) L’outil informatique Enfin des résultats ! Nombre de cartes46810121416182022 Nombre de coups46356489622 Nombre de cartes24262830323436384050 Nombre de coups20928105123612208

20 Collèges de Tournefeuille (31) et de Pamiers (09) L’outil informatique Encore des résultats ! cartes 14567891011121314151617181920304050 coups 14466395512 4 8899610208

21 Collèges de Tournefeuille (31) et de Pamiers (09) Les observations cartes 14567891011121314151617181920304050 coups 14466395512 4 8899610208 - Il faut seulement 3 coups pour 8 cartes, 4 pour 14, et 8 pour 50 ! Alors qu’il en faut 20 pour 40 !

22 Collèges de Tournefeuille (31) et de Pamiers (09) Les observations - pas de règle sur les pairs-impairs successifs … - pas de règle sur 8 cartes, 3 coups, et 16 cartes, 8 coups ( on aurait pu s’attendre à avoir 6 coups..) Conclusion : Il est difficile de prévoir le nombre de coups suivant le nombre de cartes du paquet cartes 14567891011121314151617181920304050 coups 14466395512 4 8899610208

23 Collèges de Tournefeuille (31) et de Pamiers (09) Les observations Différentes simulations nous permettent de retrouver certaines observations faites lors de nos premières manipulations : 115491621381 2 811549162 3111210146573 491621381154 5731112101465 6573111210146 7311121014657 811549162138 916213811549 10146573111210 11121014657311 12101465731112 1381154916213 14657311121014 1549162138115 1621381154916 Au bout de 4 coups, on arrive à l’ordre inverse…… 4 coups plus tard on retrouve l’ordre initial.

24 Collèges de Tournefeuille (31) et de Pamiers (09) Les observations 13421 21342 34213 42134 1546231 2315462 3154623 4623154 5462315 6231546 On rencontre l’ordre inverse seulement sur les paquets de : 4, 6, 8, 12, 16, 30 et 40 cartes pas de règle établie…

25 Collèges de Tournefeuille (31) et de Pamiers (09) Les propriétés Retour à la question : Est-ce qu’on est sûr de revenir à l’ordre initial - avec le type de mélange choisi - avec n’importe quel autre mélange ?

26 Collèges de Tournefeuille (31) et de Pamiers (09) Les propriétés Avec 4 cartes, combien de mélanges différents ? seules les cartes 2 et 3 bougenttoutes les cartes ont bougé

27 Collèges de Tournefeuille (31) et de Pamiers (09) Les propriétés Quelques mélanges INTÉRESSANTS : 11 22 33 44 14321 21432 32143 43214 12341 23412 34123 41234 131 242 313 424 12431 24312 31243 43124 141 232 323 414 13421 21342 34213 42134 Ne mélange rien !À l’envers ! Presque le nôtre !Le nôtre ! Des décalages … pas vraiment des mélanges

28 Collèges de Tournefeuille (31) et de Pamiers (09) Les propriétés On trouve qu’il y a 24 façons de mélanger 4 cartes : - il y a 4 places possibles pour poser la première carte - une fois la première carte placée, il reste 3 places pour la seconde - une fois la seconde placée il reste 2 places pour la troisième - une fois la troisième placée il reste 1 seule place pour la quatrième : 4 x 3 x 2 x 1 = 24 Nos Essais :

29 Collèges de Tournefeuille (31) et de Pamiers (09) Les propriétés Un raisonnement identique nous permet d’écrire : - Pour 5 cartes, il y a 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 mélanges possibles - Pour 6, il y a 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720 mélanges possibles -… - Pour 16 cartes, il y a 16 x 15 x 14 x 13 x … x 3 x 2 x 1 = 20 922 773 888 000 mélanges possibles - etc.

30 Collèges de Tournefeuille (31) et de Pamiers (09) Les propriétés Propriété 2 : Pour n cartes il y a n x ( n – 1 ) x ( n – 2 ) x ………x 1 mélanges possibles Propriété 3 : Quel que soit le mélange choisi, et le nombre de cartes du paquet, on reviendra toujours à l’ordre initial, on sera au pire passé par toutes les positions possibles des cartes.

31 Collèges de Tournefeuille (31) et de Pamiers (09) CONCLUSION On peut prévoir le nombre de mélanges différents pour un nombre de cartes donné. On sait qu’on reviendra toujours à l’ordre initial, par contre, on n’a pas trouvé comment prévoir le nombre de coups pour revenir à la situation initiale pour un nombre de cartes donné… La recherche continue…

32 Collèges de Tournefeuille (31) et de Pamiers (09) Alaya Yannis, Arbogast Clémence, Jouanna Manon, Faure Anne-Sophie, LeclercqMarta, Morice Léa. Avec l’aide du chercheur Xavier Buff