BP Bernard Palagos - Cemagref Montpellier

Présentation au sujet: "BP Bernard Palagos - Cemagref Montpellier"— Transcription de la présentation:

1 Chemometrics is the chemical discipline that uses mathematics, statistics
BP Bernard Palagos - Cemagref Montpellier SG Serge Guillaume - Cemagref Montpellier SP Sébastien Preys - Ondalys BP BP SG BP BP BP BP SG SG KNN Decision TREE SP SG B. Palagos

2 Statistique descriptive (analyse exploratoire) Inférence statistique
UTILISATION DES STATISTIQUES Statistique descriptive (analyse exploratoire) Données on illustre (graphiques) on résume (critères) Pas de généralisation Inférence statistique Estimation des paramètres d’une population à partir d’échantillon Intervalle de confiance Test d’hypothèse sur des valeurs des paramètres de la population Test de comparaison de populations Généralisation ACP ….. B. Palagos

3 Statistique descriptive (analyse exploratoire)
UTILISATION DES STATISTIQUES Statistique descriptive (analyse exploratoire) Données on illustre (graphiques) on résume (critères) Pas de généralisation B. Palagos

4 Nominale sexe couleur Ordinale bon mauvais classes d’âge
TYPE DE DONNEES Nominale sexe couleur Ordinale bon mauvais classes d’âge PH Poids notes B. Palagos

5 TABLEAU INDIVIDUS – VARIABLES CONTINUES
B. Palagos

6 TABLEAU INDIVIDUS – VARIABLES DISCRETES
B. Palagos

7 TABLEAU DE CONTINGENCE
treatments x troubles Anxiety (A) Epilepsy (E) Sleep (S) Sum Clonazepan (C) Diazepan (D) Lorazepam (L) Teriazolam (T) Sum B. Palagos

8 REPRESENTATION GRAPHIQUES
PRI EAU 63.00 77.00 86.00 89.00 91.00 92.00 95.00 106.00 74.00 76.00 85.00 57.00 132.00 152.00 153.00 Nuage de points B. Palagos

9 REPRESENTATION GRAPHIQUES
V V V V4 ……….. V250 [1,] [2,] ………………… Spectres obtenus par NIR 642 pommes 256 longueurs d’ondes (300 à nanomètres) B. Palagos

10 HISTOGRAMME DE FREQUENCE
3 possibilités : bornes des classes fixées classes d’éffectifs égaux nc à fixer classes d’amplitudes égales nc à fixer amplitude = (max-min)/nc Données rangées par ordre croissant: 12, 13, 17, 21, 24, 24, 26, 27, 27, 30, 32, 35, 37, 38, 41, 43, 44, 46, 53, 58 Largeur de classe : 10 Milieu de classe B. Palagos

11 Coefficient de variation
RESUMES STATISTIQUES n observations (x1, ……,xn) Résumés Tendance centrale Variation Quartile Moyenne Mode Coefficient de variation Médiane Etendue Variance Ecart-type B. Palagos

12 TENDANCE CENTRALE Tendance centrale Moyenne Mediane Mode B. Palagos

13 La plus connue des mesures de la tendance centrale
MOYENNE La plus connue des mesures de la tendance centrale Influencée par les valeurs extrêmes (outliers) C’est un indicateur peu robuste Moyenne = 5 Moyenne = 6 B. Palagos

14 Mesure robuste de la tendance centrale
MEDIANE Mesure robuste de la tendance centrale Pas influencée par les valeurs extrêmes Calcul : observations rangées par ordre croissant n pair, la médiane est la valeur du milieu n impair, la médiane est la moyenne des deux milieux Mediane = 5 Mediane = 5 B. Palagos

15 On rajoute une autre observation
MOYENNE-MEDIANE On rajoute une autre observation Médiane peu sensible Moyenne sensible aux valeurs extrêmes B. Palagos

16 Mesure de tendance centrale Valeur de plus haute fréquence
MODE Mesure de tendance centrale Valeur de plus haute fréquence Pas influencée par valeurs extrêmes Utilisé surtout pour qualitatives On peut n’avoir aucun mode On peut avoir plusieurs modes Pas de Mode Mode = 9 B. Palagos

17 25% 25% 25% 25% QUARTILES Découpage échantillon en 4 parties
Mediane Position du ième Quartile Données ordonnées : B. Palagos

18 X X BOX-PLOT Box-plot (boîte à moustache , boîte de dispersion)
Graphique représentant la dispersion des données Utilisation des quartiles Détection de données atypiques X X max min 12.5 16 19.5 22 11 B. Palagos

19 BOX-PLOT - Outliers Q1-1.5(Q3-Q1) Q3+1.5(Q3-Q1). B. Palagos

20 Détection de données atypiques
BOX-PLOT Détection de données atypiques B. Palagos

21 Comparaison de séries de données
BOX-PLOT Comparaison de séries de données max 12.32 10.4 B. Palagos

22 Variation MESURES DE VARIATION Variance Ecart-type
Coefficient de variation Etendue Données ordonnées : IQ = Q3 – Q1 =17.5 – 12.5 =5 Intervalle Interquartile B. Palagos

23 Mesures importantes de la variation Variation autour de la moyenne
VARIANCE & ECART-TYPE Mesures importantes de la variation Variation autour de la moyenne Variance de X1 ……… Xn de moyenne Ecart-type c’est la racine carrée de la variance Ecart-type même unité que les données B. Palagos

24 Importance de l’écart-type
ECART-TYPE Importance de l’écart-type Echantillon A Moy = 15.5 s = 3.338 Echantillon B Moy = 15.5 s = Echantillon C Moy = 15.5 s = 4.57 B. Palagos

25 COEFFICENT DE VARIATION
Mesure la variation relative par rapport à la moyenne Toujours en (%) Utilisée pour comparer 2 ou plusieurs ensembles de données mesurés dans différentes unités B. Palagos

26 Inférence statistique
UTILISATION DES STATISTIQUES Inférence statistique Estimation des paramètres d’une population à partir d’échantillon Test d’hypothèse sur des valeurs des paramètres de la population - Comparaison de populations Généralisation B. Palagos

27 POPULATION - ECHANTILLON
Un fabricant souhaite vérifier la qualité des ampoules électriques produites par une nouvelle chaîne de production. Il faut donc évaluer la durée moyenne de fonctionnement des ampoules. Comment évaluer cette durée moyenne? On ne peut pas tester toutes les ampoules! Echantillon d’ ampoules B. Palagos

28 POPULATION - ECHANTILLON
Paramètres statistiques Utilisation des paramètres pour caractériser la population Inférence à partir de l’échantillon B. Palagos

29 POPULATION- ECHANTILLON
Échantillon de 130 ampoules Durée de fonctionnement mesurée pour chaque ampoule La moyenne de l’échantillon vaut heures qui est l’estimation pour la population B. Palagos

30 PROBABILITE    EXPERIENCE ALEATOIRE : ON NE PEUT PREVOIR PAR AVANCE SON RESULTAT ET REPETEE DANS DES CONDITIONS IDENTIQUES ELLE PEUT DONNER LIEU A DES RESULTATS DIFFERENTS  EX : LANCE de 2 DES  = { (1,1),(1,2),......} ensemble des résultats possibles  EVENEMENT : RELATIF AU RESULTAT D'UNE EXPERIENCE EX: SOMME DES POINTS  10  RESULTAT EST UNE PARTIE DE : { (4,6),(5,6),(6,6),(6,5),(6,4)} PROBABILITE ASSOCIEE A UN EVENEMENT P:  [0,1]   EX : LANCEMENT 1 DE P() = 1/ 6 LANCEMENT 2 DES P() = 1/ 36 B. Palagos

31 VARIABLE ALEATOIRE Formalise la notion de grandeur variant selon le résultat d’une expérience aléatoire EX: 2 DES X= SOMME DES POINTS MARQUES P(X=5) = P[ (1,4), (2,3), (3,2), (4,1) ] = 4/36 On associe LOI DE PROBABILITE PX EX: SOMME DES VALEURS DE 2 DES 6 SOMME DES 2 DES 5 4 LOI DE PROBABILITE REPRESENTEE PAR DENSITE DE PROBABILITE 3 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 PX en 1/36 B. Palagos

32 VARIABLE ALEATOIRE DISCRETE ET CONTINUE
SOMME DES 2 DES 6 Loi discrète: valeurs dans ensemble fini 5 4 3 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 températures Loi continue: valeurs pas discrètes (réelles) S = P( a < X < b ) S = P(X < b) – P(X < a) P( X > b) = 1 – P( X < b) B. Palagos

33 QUELQUES LOIS DE PROBABILITES
DISCRETES LOI DE BERNOUILLI : un événement se produit avec probabilité p LOI BINOMIALE : nombre de succès sur n épreuves de Bernoulli LOI DE POISSON : nombre d’occurrence d’un événement dans le temps CONTINUES: LOI EXPONENTIELLE: durée de vie d’un appareil ne subissant pas d’usure LOI NORMALE (GAUSS): beaucoup de phénomènes naturels et industriels LOI DU KHI2: variance d’un échantillon LOI DE STUDENT: remplace la loi normale quand l’écart-type est inconnu LOI DE FISHER: rapport de 2 variances B. Palagos

34 LOI DES GRANDS NOMBRES B. Palagos

35 Moyenne, médiane, mode sont égaux Etendue infinie f(X)
LOI NORMALE ou GAUSS m moyenne  écart-type X loi N(m, ) Symétrique Moyenne, médiane, mode sont égaux Etendue infinie f(X) X m Moyenne Médiane Mode  B. Palagos

36 LOI NORMALE ou GAUSS B. Palagos

37 LOI NORMALE ou GAUSS Quelques valeurs B. Palagos

38 P[ Z<0.12] Table statistique
Fonction de répartition de la loi normale centrée réduite Probabilité de trouver une valeur < u B. Palagos

39 Loi de Gauss centrée réduite N(0,1) : μ = 0 σ = 1
LOI NORMALE ou GAUSS Loi Gauss N(μ, σ) X variable aléatoire a pour loi une N(μ, ) μ moyenne , σ écart-type de X Loi de Gauss centrée réduite N(0,1) : μ = 0 σ = 1 Z a pour loi une N(0, 1) B. Palagos

40 X loi N ( 5, 10) P[ X< 6.2] ? LOI NORMALE CENTREE REDUITE
P[ X< 6.2] = P[ Z<0.12] Distribution Normale centrée réduite Distribution Normale B. Palagos

41 LOI NORMALE - FONCTION DE REPARTITION
X loi N(0,1) Loi Normale centrée réduite On cherche P [ X < u ] Il existe des tables statistiques pour N(0,1) .02 u .00 .01 .5478 0.0 .5000 .5040 .5080 0.1 .5398 .5438 .5478 0.2 .5793 .5832 .5871 Probabilités u = 0.12 0.3 .6179 .6217 .6255 B. Palagos

42 Distribution Normale centrée réduite
EXEMPLE X loi N(5,10) on cherche Distribution Normale centrée réduite Distribution Normale SYMETRIE DONC DEUX FOIS ET PARTIE DROITE C PROBA MOINS UN DEMI B. Palagos

43 EXEMPLE Densité loi normale B. Palagos

44 ESTIMATION DES PARAMETRES
Estimateur = Variable aléatoire fonction des variables observées sur un échantillon. On espère que la valeur est proche du paramètre que l’on veut estimer Un estimateur a une loi de probabilité Estimation est la valeur prise par un estimateur pour un échantillon particulier Estimation d’un paramètre à partir d’un échantillon unique ne conduit généralement pas à la vraie valeur du paramètre. Variation d’un échantillon à l’autre Estimation par intervalle ( de confiance) B. Palagos

45 X loi de Normale de moyenne  et d’écart-type σ alors
LOI DE LA MOYENNE X loi de Normale de moyenne  et d’écart-type σ alors Loi Normale de moyenne et d’écart-type B. Palagos

46 THEOREME CENTRALE LIMITE
La loi de la population est de moyenne m et d’écart-type . Lorsque la taille de l’échantillon n est assez grande, la loi de peut être approchée par une loi Normale de moyenne m et d’écart-type Distribution échantillon à la forme d’un forme Normale Taille de l’échantillon grande Conséquence: si n est grand , la moyenne de variables de même loi, aura une distribution Normale B. Palagos

47 ESTIMATION PAR INTERVALLE DE CONFIANCE
Echantillon aléatoire Population μ est comprise entre 40 et 60. avec une confiance de 95% Moyenne X = 50 Moyenne μ est inconnue Echantillon B. Palagos

48 INTERVALLE DE CONFIANCE
Échantillon (x1 , x2 , ……, xn) de taille n Estimateur de m : Estimateur de ²:  Un intervalle de confiance de niveau 1 -  pour un paramètre inconnu  d'une population est une estimation par intervalle ou fourchette de ce paramètre. Les bornes de cet intervalle se calculent à partir de l’ échantillon. On détermine un intervalle probabiliste de niveau 1 -  pour l’estimateur de  B. Palagos

49 ESTIMATION PAR INTERVALLE DE CONFIANCE
Moyenne Proportion   connu inconnu B. Palagos

50 INTERVALLE DE CONFIANCE POUR LA MOYENNE m
connu On suppose Ecart-type population connu Population distribution Normale Si la population pas Normale il faut un échantillon assez grand (n>30) Loi de Intervalle de confiance pour la moyenne m (inconnue) au niveau 1-: B. Palagos

51 INTERVALLE DE CONFIANCE POUR LA MOYENNE m
Termes qui interviennent Variation des données Taille échantillon n Niveau de confiance Loi de Normale B. Palagos

52 INTERVALLE DE CONFIANCE POUR LA MOYENNE
inconnu Hypothèses Ecart-type population inconnu estimé par S La population a une distribution normale de moyenne m Sinon il faut grande taille échantillon On utilise la loi de student Intervalle de confiance au niveau 1- B. Palagos

53 Z t Normale LOI DE STUDENT
La loi de Student t à ν degrés de libertés ( notation tν ) est une loi continue dont la densité est de la forme Normale t 12 t 5 Z t B. Palagos

54 Table de Student Table de distribution de t (Loi de Student) :
Valeurs de t ayant la probabilité P d'être dépassées en valeur absolue B. Palagos

55 ex: n = 3 ddl= n - 1 = 2 .05 2 t = .05 2.920 t Values P[T > t] ddl
LOI DE STUDENT ex: n = ddl= n - 1 = 2 P[T > t] ddl .25 .10 .05 1 1.000 3.078 6.314 = .05 2 0.817 1.886 2.920 3 0.765 1.638 2.353 t 2.920 t Values B. Palagos

56 INTERVALLE DE CONFIANCE POUR LA MOYENNE
EXEMPLE On suppose TH échantillon gaussien Moyenne de TH : 6.31 Ecart-type estimé : 2.47 Intervalle de confiance à 95% pour moyenne population n=10 table : t à 9 ddl t=2.26 [ 4.55 ; 8. 07] B. Palagos

57 INTERVALLE DE CONFIANCE POUR LA MOYENNE
EXEMPLE 2 The absorbance scale of a spectrometer is tested at particular wavelength with a standard solution wich has an absorbance given as Ten mesurements of the absorbance with the spectromètre give mean = s = Is systematic error present? The 95% confidence limits for the absorbance as measured by the spectrometer: Since the confidence interval does not include the known absorbance of it is likely that a systematic error has occured. B. Palagos

58 On veut tester une hypothèse pour prendre une décision
TEST D’HYPOTHESE On veut tester une hypothèse pour prendre une décision On affirme que l’âge moyen de la population est 50 ans Population ( ) Cela est peu vraissemblable ! échantillon REJET Hypothèse B. Palagos

59 A priori c’est meilleur mais c’est peut-être un coup de chance!
TEST STATISTIQUE Introduction par un exemple Un industriel, par un procédé de fabrication courant, a produit des millions de tubes cathodiques dont la durée de vie moyenne est m = 1200 heures et l’écart-type σ = 300 heures. Un nouveau procédé, estimé meilleur par un bureau d’étude, fournit un échantillon de 100 tubes, avec une moyenne de A priori c’est meilleur mais c’est peut-être un coup de chance! On pose l’hypothèse nulle : le nouveau procédé produirait une population identique à l’ancienne: H0 : m = 1200 h (pas meilleur) L’ hypothèse alternative: le nouveau procédé est meilleur: H1 : m > 1200 h (meilleur) Dans quelle mesure la moyenne d’échantillon est-elle compatible avec l’hypothèse nulle m=1200. Si H0 est vraie quelle est la probabilité pour que B. Palagos

60 p-Value ou probabilité critique
Probabilité d’être supérieur à la statistique calculée (ou valeur absolue) que l’on compare au risque  choisi Théorème central limite Risque de 5% a = 0.05 Rejet p Value = 0.015 1200 1249 1265 Si p Value < (a = 0.05) Rejet H0 Si p Value ³ (a = 0.05) Pas de rejet H0 B. Palagos

61 NIVEAU DE SIGNIFICATION ET REGION CRITIQUE
H0: m ³ 3 H1: m < 3 valeur critique unilatéral Région de rejet a H0: m £ 3 H1: m > 3 unilatéral a/2 H0: m = 3 H1: m ¹ 3 bilatéral B. Palagos

62 B. Palagos

63 B. Palagos

64 COMPARAISON D’UNE MOYENNE A UNE VALEUR DONNEE
Hypothèses: - population normalement distribuée de moyenne m et  inconnu si ce n’est pas le cas taille échantillon grande (TCL) On teste H0: m = m0 Échantillon de taille n (x1, …, xn) Statistique calculée : Si H0: m = m0 est vraie statistique : Tn-1 Student n-1 ddl Rejet de H0 si pour un test bilatéral H1 : m  m0 Rejet de H0 si pour un test unilatéral H1 : m > m0 B. Palagos

65 COMPARAISON D’UNE MOYENNE A UNE VALEUR DONNEE
Exemple : On prélève entre deux marées 25 crabes sachant que la température de l'air est de 24,3°C. On mesure la température de leur corps. La question est de savoir si la température du corps est identique à celle de l'air. Les données observées sont les suivantes (d’après Michel Le-Her ): 25,8 24,6 26,1 22,9 25,1 27,3 24,0 24,5 23,9 26,2 24,3 23,3 25,5 28,1 24,8 23,5 26,3 25,4 27,0 Nous voulons tester les hypothèses : hypothèse nulle H0 : µ = 24,3 °C hypothèse alternative H1 : µ ¹ 24,3 °C Risque =0.05 table de Student T24 : > : rejet de H0 . Au seuil de signification de 5%, l'échantillon ne provient pas d'une population de moyenne µ = 24,3 °C. donc ……. B. Palagos

66 COMPARAISON D’UNE MOYENNE A UNE VALEUR DONNEE
Exemple :in a new method for determining selenourea in water, the following values were obtained for tap water samples spiked with 50 ng ml-1 of selenourea. Is there any evidence of systematic error? H0 : µ = H1 : µ ¹ 50 =0.05 critical value T4 : |t | = 0.14 < : the observed values is less than the critical value the null hypothesis is retained: there is no evidence of systematic error Avec un logiciel libre ( > t.test(x , mu=50) One Sample t-test t = , df = 4, p-value = c’est à dire: P( |t | > 0.14) = > 0.05 95 percent confidence interval: mean of x B. Palagos

67 B. Palagos

68 Comparaison de 2 échantillons
Comparaison de l'efficacité de deux fertilisants sur la croissance des plantes. On mesure la hauteur de deux lots de plantes, dans les mêmes conditions, chacun avec un fertilisant différent. Différence significative entre les deux fertilisants? Comparaison of two methods for determination of chronium in rye grass. Five determinations were made for each method. Methode 1: mean sd = 0.28 Methode 2: mean sd = 0.31 Do theses methods give results having means Le titanium contenu dans l’acier est déterminé par spectrométrie dans 2 laboratoires On veut tester si les résultats des 2 laboratoires sont significativement différents Détermination de la concentration en paracetamol sur les mêmes comprimés en utilisant 2 méthodes: UV spectrométrique et NIR réflectance On veut tester si les 2 méthodes sont significativement différentes échantillons indépendants échantillons appariés B. Palagos

69 COMPARAISON DE MOYENNES – ECHANTILLONS INDEPENDANTS
B. Palagos

70 COMPARAISON DE MOYENNES – ECHANTILLONS INDEPENDANTS
Ex: Le titanium contenu dans l’acier est déterminé dans 2 laboratoires par spectrométrie.On veut tester si les résultats des 2 laboratoires sont significativement différents (à 5%) 2 échantillons indépendants de loi N ( m1 ; 1) et N ( m2 ; 2) On suppose les variances inconnues et égales (vérifier l’égalité) Variances estimées : S²1 et S²2 Estimateur de la variance commune On teste l'hypothèse d'égalité des moyennes : H0 : m1 = m2 contre H1 m1  m2 Sous H suit une loi de Student à n1 + n2 - 2 degrés de liberté. Rejet de H0 si B. Palagos

71 COMPARAISON DE 2 VARIANCES
On teste H0 : ²1 = ²2 contre H1 ²1  ²2 (test bilatéral) Si la condition de normalité n'est pas vérifiée, le test n'est pas valable s²1 plus grande des 2 variances H0 est rejetée si s²1/s²2 est supérieur à la valeur critique, lue dans la table : F ( n1 , n2 ) TEST DE FISHER B. Palagos

72 COMPARAISON DE MOYENNES – ECHANTILLONS INDEPENDANTS
Le titanium contenu dans l’acier est déterminé dans 2 laboratoires par spectrométrie.On veut tester si les résultats des 2 laboratoires différent.(à 5%) Il est nécessaire avant de tester l’égalité des variances. Valeurs lab Valeurs lab I On teste H0 : ²1 = ²2 contre H1 ²1  ²2 II On teste H0 : m1 = m2 contre H1 m1  m2 Il y a une différence entre les 2 laboratoires B. Palagos

73 COMPARAISON DE MOYENNES – ECHANTILLONS APPARIES
Ex: Détermination de la concentration en paracetamol sur les mêmes comprimés en utilisant 2 méthodes: UV spectrométrique et NIR réflectance. On veut tester si les 2 méthodes sont significativement différentes Comparaison de deux traitements sur mêmes individus, comparaison températures réfrigérateurs haut bas H0 : µ1 - µ2 = 0 (il n'y a pas de différence entre les traitements) H1 : µ1 - µ2  0 (il y a une différence entre les traitements) 2 échantillons appariés .On calcule les différences, d, entre les deux échantillons . Puis une statistique tobs. Décision : Rejet de H0 au seuil de signification  si : |tobs| > tn-1,1-  /2 Conditions d'application : les échantillons ont été tirés aléatoirement la population des différences doit suivre une loi Normale. Cette condition est moins restrictive que celle de normalité des deux populations. B. Palagos

74 COMPARAISON DE MOYENNES – ECHANTILLONS APPARIES
Ex: Détermination de la concentration en paracetamol sur les mêmes comprimés en utilisant 2 méthodes: UV spectrométrique et NIR réflectance. On veut tester si les 2 méthodes sont significativement différentes Si l'on choisit un seuil de signification  = 0.05, la valeur de t0.975 (9 ddl) est Par conséquent, l'hypothèse nulle H0 : µ1 - µ2 = 0 ne doit pas être rejetée puisque |tobs| < t0.975 . B. Palagos

75 t.test(trait1,trait2,paired=T)
COMPARAISON DE MOYENNES – ECHANTILLONS APPARIES Traitement de l’exemple avec le logiciel libre t.test(trait1,trait2,paired=T) Paired t-test data: trait1 and trait2 t = , df = 9, p-value = alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0 95 percent confidence interval: sample estimates: mean of the differences Si l'on choisit un seuil de signification  = 0.05, la p-value étant de on ne rejette pas l’hypothèse nulle. B. Palagos

76 Il y a-t-il indépendance entre lignes et colonnes ?
Test du Khi2 Tableau de contingence treatments x troubles Anxiety (A) Epilepsy (E) Sleep (S) Sum Clonazepan (C) Diazepan (D) Lorazepam (L) Teriazolam (T) Sum Il y a-t-il indépendance entre lignes et colonnes ? B. Palagos

77 Test du Khi2 Tableau de contingence Répartition aléatoire
treatments x troubles Anxiety (A) Epilepsy (E) Sleep (S) Sum Clonazepan (C) Diazepan (D) Lorazepam (L) Teriazolam (T) Sum 2.67 = 10*8/30 treatments x troubles Anxiety (A) Epilepsy (E) Sleep (S) Sum Clonazepan (C) Diazepan (D) Lorazepam (L) Teriazolam (T) Sum Répartition aléatoire B. Palagos

78 Pb de validité car cases < 5
Test du Khi2 treatments x troubles Anxiety (A) Epilepsy (E) Sleep (S) Sum Clonazepan (C) Diazepan (D) Lorazepam (L) Teriazolam (T) Sum n lignes et p colonnes H0 : indépendance entre lignes et colonnes Comparaison avec Loi du Khi2 à (n-1) (p-1) dl Ici ² observé : 15.3 ² théorique à 6 ddl : (5%) Rejet de H0 Pb de validité car cases < 5 B. Palagos

79 t9 p-Value p Value = 0.12 Rejet a/2 = 0.025 2.262 1.68
Probabilité d’être supérieur à la statistique calculée (ou valeur absolue) que l’on compare au risque  choisi Si p Value < (a /2= 0.025) Rejet H0 Si p Value ³ (a/2 = 0.025) Pas de rejet H0 p Value = 0.12 Rejet a/2 = 0.025 t9 1.68 2.262 B. Palagos

80 COMPLEMENTS On dispose de 10 palettes de briques de la même fabrication et on a obtenu les résultats suivants  (en kg) : On admet que ces résultats sont issus d’une population distribuée selon une loi normale de moyenne m et de variance sigma inconnue Calculer un intervalle de confiance à 95% pour m, puis à 80% Que constatez-vous ? B. Palagos

81 COMPLEMENTS On dispose de 10 palettes de briques de la même fabrication et on a obtenu les résultats suivants  (en kg) : On admet que ces résultats sont issus d’une population distribuée selon une loi normale de moyenne m et de variance sigma inconnue Calculer un intervalle de confiance à 95% pour m, puis à 80% Que constatez-vous ? B. Palagos

82 COMPLEMENTS La concentration en phénol pour les eaux usées a été déterminée par 3 mesures qui donnent une moyenne = g/L et un écart-type s= 0.05 g/L . La référence est m = g/L. On teste si différence avec référence. (à 5%). On suppose la normalité de la variable concentration phénol. Mesure de la concentration de nitrate dans l’eau consommable afin de comparer avec norme européenne 50 mg/L . On réalise 4 répétitions et on obtient une moyenne de 51.2 et un écart-type s= On teste si on est dans la norme (à 5%). On suppose la normalité de la variable concentration nitrate. Le titanium contenu dans l’acier est déterminé dans 2 laboratoires par spectrométrie.On veut tester si les résultats des 2 laboratoire différent.(à 5%). On suppose la normalité de la variable titanium. Il est nécessaire avant de tester l’égalité des variances. Valeurs lab Valeurs lab NB : étant donné le faible nombre de mesures, si la condition de Normalité n’est pas vérifiée il existe des tests non paramétriques B. Palagos

83 COMPLEMENTS La concentration en phénol pour les eaux usées a été déterminée par 3 mesures qui donnent une moyenne = g/L et un écart-type s= 0.05 g/L . La référence est g/L. On teste si différence avec référence. (à 5%). On suppose la normalité de la variable concentration phénol. On ne rejette pas l’hypothèse nulle. La différence entre la moyenne de l’échantillon et la vraie valeur n’est pas significative. B. Palagos

84 COMPLEMENTS Mesure de la concentration de nitrate dans l’eau potable afin de comparer avec norme européenne m= 50 mg/L . On réalise 4 répétitions et on obtient une moyenne de 51.2 et un écart-type s= On teste si on est dans la norme (à 5%). On suppose la normalité de la variable concentration nitrate. On rejette l’hypothèse nulle. La moyenne de l’échantillon est plus grande que que la valeur limite B. Palagos

85 TESTS SUR LES OUTLIERS Test de Dixon (Q-test)
H0: les mesures proviennent de la même population Q= abs(valeur suspecte-valeur plus proche/IQ) Il existe table Application pour taille échantillon de 3 à 7 Exemple: Q= abs ( – 0.401) / (0.403 – 0.380) = 0.91 n = 4 critical value : > valeur rejetée au seuil de signification de 5% Test de Grubbs (plus récent) H0: les mesures proviennent de la même population normale G=abs(valeur suspecte – moyenne)/s Application pour taille échantillon de 3 à 10 G = n = 4 valeur critique : > valeur acceptée au seuil de signification de 5% B. Palagos

86 B. Palagos

87 B. Palagos

88 Probabilités Analyse des données et Statistique, G. Saporta – TECHNIP
REFERENCES Probabilités Analyse des données et Statistique, G. Saporta – TECHNIP Statistique inférentielle, JJ Daudin et al – PUR Statistics and Chemometrics for Analytical Chemistry, Miller & Miller – PRENTICE HALL Logiciel : B. Palagos