Identification électromagnétique de petites inclusions enfouies

Présentation au sujet: "Identification électromagnétique de petites inclusions enfouies"— Transcription de la présentation:

1 Identification électromagnétique de petites inclusions enfouies
Messieurs les membres du jury, Mesdames et messieurs Bonjour et merci pour votre présence, J’ai le plaisir de vous présenter mes travaux de recherche intitulé : « Identification … » Ses travaux ont été menés au laboratoire L2S à Supélec Souhir GDOURA 29/09/2008

2 Identification électromagnétique de petites inclusions enfouies
Plan Introduction 1ère partie : Problème direct Formule asymptotique du champ diffracté en espace libre Formule asymptotique du champ diffracté en demi-espace Comparaison à la méthode des dipôles couplés 2ème partie : problème inverse Algorithme d’imagerie MUSIC Conclusion Voici le plan de ma présentation : Après une brève introduction, ma présentation va se décomposer en 2 parties : D’abord le problème direct où on va voir : 1 la formule asymptotique du champ diffracté en espace libre 2 la même formule en demi-espace 3 on comparera la formule asymptotique à la méthode des dipôles couplées Ensuite dans la 2ème partie on va voir le problème inverse en utilisant la méthode d’imagerie MUSIC pour détecter la position de petites inclusions enfouis Et on terminera par une conclusion 29/09/2008 Identification électromagnétique de petites inclusions enfouies

3 Identification électromagnétique de petites inclusions enfouies
Introduction Motivations Identification électromagnétique d'une collection de petites inclusions 3D enfouies dans un milieu homogène ou demi-espace par une méthode directe non itérative et à une seule fréquence Applications Détection des mines anti-personnelles Imagerie médicale Contrôle non destructif des matériaux Méthode MUSIC (Multiple signal classification) Mon sujet de recherche porte sur l’identification … Il existe plusieurs applications pratiques intéressantes à ce sujet de recherche tels que : - la détection des mines antipersonnelles, - l’imagerie médicale et le contrôle non destructif des matériaux. La méthode d’imagerie que j’ai étudiée est la méthode MUSIC (Multiple signal classification) 29/09/2008 Identification électromagnétique de petites inclusions enfouies

4 Formule asymptotique du champ diffracté en espace libre
1ère partie : Problème direct Formule asymptotique du champ diffracté en espace libre Commençons donc par la première partie qui est le problème direct Et par le premier chapitre qui est la Formule Asymptotique du champ diffracté en espace libre

5 Identification électromagnétique de petites inclusions enfouies
Dyades de Green Tenseur de Green : solution de Champs incidents rayonnés en espace libre β Il La dyade de Green E.E est la solution de l’équation de Helmholtz suivante. La dyade de Green M.E. est obtenue en utilisant cette expression Considérons un dipôle électrique à la position r’ orienté selon le vecteur Beta, parcouru par un courant Il . Ce dip^ole va générer des champs incidents qui s’expriment en fonction des dyades de Green 29/09/2008 Identification électromagnétique de petites inclusions enfouies

6 Identification électromagnétique de petites inclusions enfouies
Système étudié Milieu homogène (espace libre ) Une seule fréquence : qq. centaines de MHz m inclusions Forme quelconque sphériques ou ellipsoïdales diélectriques et/ou magnétiques Permittivité, perméabilité volume Vj la taille de l’inclusion dj est assez petite devant la longueur d’onde ? On considère un ensemble de M inclusions dans un milieu homogène. Ces inclusions peuvent être des inclusions sphériques ou ellipsoïdales et aussi magnétiques ou et diélectriques. Chaque inclusion est de permittivité epsj et de perméabilité muj. La taille de chaque inclusion est assez petite devant la longueur d’onde. Ces inclusions sont éclairées par un dipole émetteur. 29/09/2008 Identification électromagnétique de petites inclusions enfouies

7 Formule asymptotique du champ diffracté
Formule asymptotique du champ électrique diffracté Tenseur de polarisation généralisé Principe de dualité  la formule asymptotique du champ magnétique diffracté Champ total Contribution magnétique Contribution diélectrique A partir de la formulation intégrale de Lippmann Schwinger, on obtient la formule asymptotique du champ diffracté. Cette Formule a été proposée par Ammari et Collègues. La formule asymptotique est donnée au premier ordre à une précision de l’ordre de la taille de l’inclusion puissance 4, Cette formule n’est valide que lorsque la taille de chaque inclusion est assez petite devant la longueur d’onde La formule asymptotique du champ électrique diffracté s’exprime en fonction du champ incident E0 au centre de l’inclusion, du tenseur de polarisation généralisé et de la dyade de Green. Ce tenseur de polarisation généralisé contient une information sur les propriétés électromagnétique de l’objet et aussi sur son volume V. Tenseur de polarisation 29/09/2008 Identification électromagnétique de petites inclusions enfouies

8 Tenseur de polarisation généralisé
cas d’un ellipsoïde Tenseur de polarisation généralisé pour un ellipsoïde Coefficient de dépolarisation a b c Pour le cas d’un ellipsoïde isolé en espace libre, le tenseur de polarisation généralisé prend la forme suivante : Ce tenseur est une matrice diagonale, multipliée par une matrice de rotation pour ramener les semi-axes de l’ellipsoïde sur les axes du repère cartésien. Les 3 éléments diagonaux s’expriment en fonction des 3 coefficients de dépolarisation qui sont obtenus grâce à cette intégrale. Le tableau suivant présente les valeurs de ces coefficients de dépolarisation pour chacun des 3 semi-axes pour les 3 cas limites : - le cas d’un disque , d’une aiguille et d’une sphère Les coefficients de dépolarisation pour le cas d’une sphère sont égaux à 1/3 donc … Disque a=b>>c Sphère a=b=c Aiguille a>>b=c Semi-axe a Semi-axe b Semi-axe c 29/09/2008 Identification électromagnétique de petites inclusions enfouies

9 Tenseur de polarisation généralisé
cas d’une sphère Cas d’une sphère   Formule asymptotique du champ électrique diffracté Moments dipolaires magnétiques et électriques … le tenseur de polarisation devient comme suit : La formule asymptotique du champ électrique diffracté se simplifie et prend la forme suivante : Le champ diffracté par une sphère est équivalent au rayonnement d’un dipôle électrique ou et magnétique créé par les moments dipolaires induits électriques ou et magnétique suivants: ces moments dipolaires s’expriment en fonction du tenseur de polarisation généralisé et du champ incident. 29/09/2008 Identification électromagnétique de petites inclusions enfouies

10 Tenseur de polarisation généralisé
cas de 2 sphères couplées Tenseur de polarisation généralisé z a -c c 2 sphères --- PAUSE ----- Pour prendre en compte la diffraction multiple entre entres 2 inclusions sphériques disjointes de même taille ou de taille différentes, on introduit un nouveau tenseur de polarisation qui peut être étudié analytiquement grâce au système de coordonnées bisphériques. Dans ce système de coordonnées, comme le montre l’animation suivante, un point de l’espace est décrit par un plan de rotation selon l’angle azimutal et l’intersection de 2 sphères. L’expression analytique de ces 2 sphères est très simple : il s’agit de ZEtta=-ZEtta1 pour cette sphère et Zetta=Zetta2 pour celle la. On obtient alors ce tenseur de polarisation qui prend en compte le couplage entre 2 sphères: On obtient donc 2 tenseurs de polarisation généralisés : un pour chaque sphère. Ce sont des matrice 3x3. ces matrices sont diagonales. Et on va étudier les éléments diagonaux de ces matrices. Coordonnées bisphériques 29/09/2008 Identification électromagnétique de petites inclusions enfouies

11 Tenseur de polarisation généralisé
cas de 2 sphères couplées z d a1 a2 on fait varier d Pour observer l’effet du couplage sur le tenseur de polarisation généralisé, on prend 2 sphères diélectriques identiques : de même rayon = 3cm et de même permittivité relative = 3 ? On trace les éléments diagonaux du tenseur pour ces deux sphères lorsque l’on fait éloigner les sphères l’une de l’autre. La courbe en rouge représente le tenseur de polarisation sans prendre en compte le couplage. On voit bien que sa valeur reste constante puisqu’elle ne dépend pas de la distance. Par contre, les courbes en vert et en bleu représente le tenseur calculé en coordonnées bisphérique et prenant en compte l’effet du couplage entre les 2 sphères. On voit bien comme attendu que les tenseurs sont différents lorsque les sphères sont suffisamment proches et convergent vers le tenseur en espace libre lorsque les sphères sont suffisamment éloignées l’une de l’autre. On peut dire qu’on peut négliger l’effet du couplage à partir d’une distance de 4 fois le diamètre. Les éléments du tenseur de polarisation généralisé calculé dans le système des coordonnées bisphériques en fonction de d/a sont comparés à celui d’une sphère isolée en espace libre. 29/09/2008 Identification électromagnétique de petites inclusions enfouies

12 Diffraction multiple (modèle de Foldy-Lax)
Diffraction multiple entre m inclusions Système linéaire de dimensions 6m x 6m pour calculer le champ électrique et magnétique dans chaque inclusion Pour le cas de deux sphères couplées, la diffraction multiple est considérée en introduisant le nouveau tenseur de polarisation obtenu par les coordonnées bisphériques. Pour traiter le cas de 2, 3 inclusions ou plus, on introduit le modèle de foldy-Lax dans la formule asymptotique du champ diffracté Le modèle de Foldy-Lax consiste à considérer que le champ à l’intérieur de chaque inclusion l est la somme du champ incident générer par l’émetteur auquel on ajoute le champ diffracté par toutes les autres m-1 inclusions. Le champ dans chaque inclusion est obtenu en résolvant un système d’équations linéaires de dimensions 6mx6m. 29/09/2008 Identification électromagnétique de petites inclusions enfouies

13 Diffraction multiple (modèle de Foldy-Lax)
Champ diffracté au point d’observation r Une fois que le champ dans chaque inclusion est obtenu, le champ diffracté par les M inclusions est la somme des contribution des rayonnements de chaque inclusion. 29/09/2008 Identification électromagnétique de petites inclusions enfouies

14 Identification électromagnétique de petites inclusions enfouies
Effet du couplage d=0.11λ z x d y Plan y = 0 d=0.2λ d=0.4λ 29/09/2008 Identification électromagnétique de petites inclusions enfouies

15 Formule asymptotique du champ diffracté en demi-espace
Passons maintenant au 2ème chapitre qui est : l’étude de la formule asymptotique du champ diffracté en demi-espace

16 Identification électromagnétique de petites inclusions enfouies
Dyades de Green Tenseur de Green : solution de Champs incidents rayonnés en demi espace Tout d’abord, on commene par les dyades de Green. L dyade de Green est la solution de la même équation de Helmholtz sauf qu’il faut faire attention au positionnement du point source r’ et du point d’observation r comme on va le voir sur le transparent suivant : 29/09/2008 Identification électromagnétique de petites inclusions enfouies

17 Dyades de Green en demi-espace
* Point source r’ Point d’observation r La dyade de Green en demi-espace peut correspondre à un seul terme ou à la somme de deux termes selon la position du point source et du point d’observation. Si le point source et le point d’observation appartiennent tous les deux au milieu + ou tous les deux au milieu – alors la dyade contient un premier terme appelé partie source (traduisant le rayonnement direct) et un second terme appelé partie réfléchie (traduisant la réflexion à l’interface). Si le point source et le point d’observation ne sont pas placés dans le même milieu la dyade de green ne contient qu’un seul terme appelé partie transmise (traduisant la transmission à travers l’interface). 29/09/2008 Identification électromagnétique de petites inclusions enfouies

18 Dyades de Green approchées
Expression de la transformée de Fourier inverse de chaque élément de la matrice Fonction de Green 3x3 : Intégrales de Sommerfeld : 3 méthodes pour évaluer des intégrales de Sommerfeld : 1ère méthode : Revised original path 2ème méthode : Steepest-descent path 3ème méthode : Leading-order approximation Ces dyades ne sont connues que dans le domaine spectral. Grâce à la transformée de Fourier inverse 2D, on obtient ces dyades dans le domaine spatial. Le calcul des dyades de Green passe par le calcul des intégrales dites de Sommerfeld qui ont la forme suivante : On verra que notre méthode d’imagerie MUSIC proposée au dernier chapitre demande ce calcul pour quelques centaines de milliers de fois. Nous avons alors essayé les 3 méthodes proposées par Chew et Cui La première méthode est la : La seconde est la La troisième et la plus performante est la : Je ne vais pas en parler plus que cela dans mon exposé. 29/09/2008 Identification électromagnétique de petites inclusions enfouies

19 Identification électromagnétique de petites inclusions enfouies
Système étudié Milieu : demi-espace Une seule fréquence m inclusions diélectriques et/ou magnétiques sphériques ou ellipsoïdales Permittivité, perméabilité volume Vj la taille de l’inclusion est assez petite devant la longueur d’onde Cette fois, On considère deux milieux différents séparés par une interface plane z=0. Ayant les caractéristiques Eps+ et Mu+ pour tout z positif Et Eps- et Mu- pour tout z négatif On considère que les incluions sont placées dans le milieu inférieur Chaque inclusion est de caractéristiques Eps j et Mu j, Et on considère que la taille de chaque inclusion est assez petite devant la longueur d’onde dans le milieu d’enfouissement La formule asymptotique va nous permettre d’estimer le champ diffracté par ces inclusions. 29/09/2008 Identification électromagnétique de petites inclusions enfouies

20 Formule asymptotique du champ diffracté
Formule asymptotique du champ électrique diffracté Tenseur de polarisation généralisé Champ total Contribution magnétique Contribution diélectrique La formule asymptotique en demi-espace est identique à celle de l’espace libre, il faut juste faire attention aux dyades de Green en demi-espace et au positionnement du point d’observation par rapport aux inclusion qui sont placées au milieu inférieur. Si l’inclusion est supposée éloignée de l’interface, alors l’effet du couplage avec l’interface peut être ignoré. On retrouve que le tenseur de polarisation d’un ellipsoïde isolée en espace libre déjà vu au premier chapitre sauf que l’espace en question est l’espace inférieur. a b c Tenseur de polarisation 29/09/2008 Identification électromagnétique de petites inclusions enfouies

21 Tenseur de polarisation généralisé
Sphère proche de l’interface Coordonnées bisphériques Tenseur de polarisation de polarisation généralisé 1 sphère z Le cas d’une sphère proche de l’interface peut être étudié analytiquement grâce encore une fois au système de coordonnées bisphériques. On a déjà déterminé le tenseur de 2 sphères couplées. Il suffit de considérer le cas limite lorsque le rayon de l’une de ces 2 sphères tend vers l’infini et devient un plan. On obtient alors ce tenseur de polarisation qui prend en compte le couplage entre la sphère et l’interface: -c a 29/09/2008 Identification électromagnétique de petites inclusions enfouies

22 Comportement des éléments du tenseur de polarisation
Sphère proche de l’interface Les éléments du tenseur de polarisation généralisé calculés par les coordonnées bisphériques en fonction de d/a sont comparés à celui d’une sphère isolée en espace libre. z d a On prend une sphère de rayon A=5cm et de permittivité relative = 4 On fait varier la distance D de cette sphère à l’interface, et on trace en fonction de D/A les éléments diagonaux du tenseur calculé en coordonnées bisphériques du système comparés à ceux d’une sphère isolée en espace libre. Lorsque d>3a les tenseurs sont presque identiques et la sphère agit comme une sphère isolée en espace libre Lorsque d<3a la sphère se rapproche de plus en plus de l’interface et les éléments du tenseur se séparent de plus en plus . On peut dire qu’on peut négliger l’effet du couplage à partir d’une distance de 3 fois le rayon ml on fait varier d 29/09/2008 Identification électromagnétique de petites inclusions enfouies

23 Effet du couplage Sphère proche de l’interface z y
Plan y = 0 d = λ- d = 0.2 λ- d = 0.4 λ- Essayons maintenant de voir l’effet du couplage entre la sphère et l’interface sur le champ diffracté. Pour cela, on considère un dipôle électrique élémentaire émettant à une fréquence de 300MHz illuminant une sphère diélectrique de rayon=Lambda/20 Et de permittivité relative 3 placée dans le milieu inférieur à une distance D de l’interface. on trace sur le plan y=0 pour différentes distances D, la différence d’amplitude de la composante verticale entre les champs Eisolé (calculé à l’aide du tenseur de polarisation sans prendre en compte le couplage) et Ebisphèrique (calculé par le tenseur de polarisation calculé en coordonnées bisphériques). On voit bien que l’effet du couplage n’est visible qu’au voisinage immédiat de la sphère Et au niveau du demi espace supérieur l’effet du couplage n’est visible que lorsque la sphère et très proche de l’interface interface y Milieu+ La différence d’amplitude de la composante verticale du champ électrique diffracté sur le plan y = 0 calculée par la formule asymptotique avec couplage (coordonnées bisphériques) et sans couplage pour différentes distances d Milieu - x d 29/09/2008 Identification électromagnétique de petites inclusions enfouies

24 Comparaison à la méthode des dipôles couplés
Nous voilà maintenant arrivés au 3ème chapitre de la première partie : Comparaison à la méthode des dipôles couplés

25 Méthode des dipôles couplés (CDM)
Espace libre L’objet est discrétisé en L petit éléments cubiques Système linéaire pour calculer le champ électrique dans chaque petit élément Champ électrique diffracté à chaque position d’observation r La Méthode des Dipôles Couplés (CDM) consiste à discrétiser l’objet en L petits éléments cubiques. Chaque élément doit être de dimension suffisamment petite devant la longueur d’onde dans l’objet. Chaque élément est assimilé à un dipôle de polarisabilité alpha J Le champ local observé par le dipôle rj est fonction du champ incident et du champ diffracté par tous les autres L-1 dipôles. Le champ local dans chaque dipôle est obtenu en résolvant un système linéaire de dimension 3Lx3L Pour calculer le champ diffracté en tout point r de l’espace, il suffit de sommer les champs rayonnés par les L éléments. où 29/09/2008 Identification électromagnétique de petites inclusions enfouies

26 Méthode des dipôles couplés (CDM)
Demi-espace CDM prend en compte le couplage entre l’inclusion et l’interface Dans le cas demi-espace, il faut signaler que l’on prend en compte le couplage entre l’inclusion et l’interface grâce à la partie source et la partie réfléchie de la Dyade de Green comme mentionné sur cette figure. Partie réfléchie 29/09/2008 Identification électromagnétique de petites inclusions enfouies

27 Résultats numériques (espace libre)
cas d’une sphère (V/m) (V/m) Nous allons comparer les champs diffractés calculés par la formule asymptotique à ceux calculés par la méthode CDM. Les données CDM ont été fournies par Patrick Chaumet de l’institut Fresnel. On considère un seul dipôle émetteur rayonnant à une fréquence 300MHz, et on comparera le champ diffracté mesuré sur les 42 dipôles récepteurs, Ici on est en espace libre. L’objet est diélectrique sphérique de rayon lambda/20 On s’intéresse uniquement à la composante verticale du champ diffracté. La courbe de gauche représente la partie réelle de cette composante verticale et la courbe de droite représente la partie imaginaire. En rouge c’est les données asymptotiques et en bleu c’est la méthode CDM On voit bien que les courbes sont presque identiques. D’ailleurs l’erreur est de 2% sachant que l’erreur est calculée de cette façon : (est ici la distance euclidienne relative entre les 2 vecteurs.) Erreur=2,44% Erreur=2,44% (-3 ; -3 ; 3) z y x 29/09/2008 Identification électromagnétique de petites inclusions enfouies

28 Résultats numériques (espace libre)
cas d’une sphère (V/m) (V/m) Ici on a la même chose mais pour une sphère de rayon Lambda/10 L’erreur est alors de 11% sur la partie réelle et 10% sur la partie imaginaire Erreur=11,37% Erreur=10,71% (-3 ; -3 ; 3) z y x 29/09/2008 Identification électromagnétique de petites inclusions enfouies

29 Résultats numériques (espace libre)
cas de 2 sphères (V/m) (V/m) Ici on considère le cas de 2 sphères diélectriques couplées de même rayon lambda/20 de différentes permittivités relatives 3 et 5 Ces sphères sont séparées d’une distance lambda/4 de centre à centre On voit bien que les 2courbes sont presque identiques Et on obtient une erreur de moins de 4% Erreur=3.82% Erreur=3,79% (-3m ; -3m ; 3m) z y x 29/09/2008 Identification électromagnétique de petites inclusions enfouies

30 Résultats numériques (demi-espace)
cas d’une sphère d = λ- d = 0.4 λ- d = 0.2 λ- Erreur=10,78 % Erreur= 7,14 % Erreur= 11,33 % Maintenant on passe à la configuration en demi-espace Ici on prends une sphère diélectrique de rayon lambda-/10 enfouie à une distance d dans le sous espace inférieur. pour d=1m on trouve une erreur de presque 8% Pour d=0.2m on trouve une erreur de 10% Pour d=0.1m on trouve une erreur de 7% On voit que lorsque la sphère est proche ou loin de l’interface, les résultats sont quasi identiques Erreur=7,97 % Erreur= 10,07 % Erreur= 6,68 % (-1,75 m; -1.75m; 0,5m) z y x d 29/09/2008 Identification électromagnétique de petites inclusions enfouies

31 Identification électromagnétique de petites inclusions enfouies
Conclusion Validation de la formule asymptotique par la méthode CDM (pour un diamètre ≤ λ/5 et avec une petite permittivité) Effet du couplage n’est visible qu’au voisinage immédiat de l’inclusion si les récepteurs sont loin de l’inclusion, on peut ignorer le couplage dans la formulation du problème direct. Pour conclure cette première partie : Nous avons validé la formule… 29/09/2008 Identification électromagnétique de petites inclusions enfouies

32 Méthode d’imagerie MUSIC
2ème partie : Problème inverse Méthode d’imagerie MUSIC Nous passons maintenant à la 2ème partie c’est-à-dire au problème inverse où on utilise la méthode d’imagerie MUSIC pour détecter la position de petites inclusions enfouies.

33 Identification électromagnétique de petites inclusions enfouies
Tension induite Tension induite Dipôle p (récepteur) Dipôle n (émetteur) Si on excite le dipôle N par un courant In , ce dipôle va générer un champ incident E0n linéaire par rapport au courant In Ce champ va être diffracté par les inclusions selon la formule asymptotique qui est aussi une formule linéaire. Ce champ diffracté va être recueilli par chaque récepteur du réseau, on obtient une relation linéaire entre la tension du récepteur p et le courant de l’émetteur n. D’où Vnp=Anp fois In Ici nos dipôles sont orientés selon z donc on ne considère que la composante Ez du champ diffracté. Tension induite par l’émetteur n sur le récepteur p 29/09/2008 Identification électromagnétique de petites inclusions enfouies

34 Matrice de réponse multistatique (MSR)
Matrice de réponse multistatique du système : Opérateur de retournement temporel (ORT) = où On obtient ainsi la matrice de réponse multistatique du système. Ceci nous mène à l’écriture matricielle suivante V=AI où v est le vecteur des tensions et i est le vecteur des courants. La Matrice de réponse multistatique du système est donc cette matrice de taille n*n dont les éléments Aij s’expriment en fonction du tenseur de green et du tenseur de polarisation des inclusions. L’…………… , matrice 29/09/2008 Identification électromagnétique de petites inclusions enfouies

35 Matrice de réponse multistatique (MSR)
Composition de la MSR: La MSR se décompose en une matrice Ge de taille N*3 cette matrice est constituée par la partie transmise de la dyade de Green à la position de l’inclusion générée par les N émetteurs ce qui représente la propagation de l’onde de l’émetteur vers l’inclusion. , la matrice M est diagonale de taille 3*3 dans le cas d’inclusions diélectriques Cette matrice M est construite à partir des tenseurs de polarisation des inclusions Enfin cette matrice est le transposé de la matrice Ge matrice symétrique et définie-positive de rang 3 => est de rang 3 la partie transmise de la dyade de Green 29/09/2008 Identification électromagnétique de petites inclusions enfouies

36 Méthode MUSIC SVD de  Les valeurs singulières :
, le vecteur appartient à l’image de A . Opérateur de projection sur le sous-espace bruit : Les valeurs singulières : S valeurs singulières non nulles Les vecteurs singuliers : Bruit La décomposition en valeurs singulières de la matrice MSR nous donne la matrice u des vecteurs singuliers et la matrice diagonale sigma contenant les valeurs singulières. Parmi les valeurs singulières, on distingue S valeurs singulières non nulles. Les S vecteurs singuliers correspondant forment le sous-espace signal et les autres forment le sous-espace bruit. Nous avons une propriété intéressante: pour tout vecteur a non nul de c3. le vecteur g appartient au sous-espace signal. Donc sa projection sur le sous-espace bruit est nul. Donc 1sur sa projection sur le sous-espace bruit est infini. Pour estimer la position de l’inclusion, on prend un cube de recherche et à chaque point du maillage de ce cube on calcule 1 sur pnoiseg(x); cette fonction atteint théoriquement l’infini et en pratique atteint un maximum à la position du centre de chaque inclusion. Signal z y x  29/09/2008 Identification électromagnétique de petites inclusions enfouies

37 Reconstruction en espace libre (a=λ/20, f=500MHz, εr=5)
Inclusion diélectrique 3 vs 3 vs Dans cette simulation la fréquence est de 500MHz, on considère une sphère diélectrique de rayon lambda/20 et de permittivité relative 5 en espace libre le réseau d’émetteur/récepteur est constitué de 21x21 dipôles orienté verticalement, la sphère est à une distance 5lambda de ce réseau En utilisant les données asymptotiques, on obtient ce spectre des valeurs singulières de la matrice MSR. On distingue clairement 3 valeurs singulières dominantes comme prévu théoriquement pour une petite inclusion diélectrique. Si on considère que le sous-espace signal est formé par les 3 vecteurs singuliers correspondant à ces 3 valeurs singulières alors l’algorithme MUSIC détecte parfaitement la position du centre de l’inclusion. Maintenant si on considère le champ diffracté calculé par la méthode numérique CDM, alors on obtient un spectre continu Cette continuité est due à la discrétisation de l’inclusion sphérique en 4224 éléments. On arrive quand même à distinguer les 3 premières valeurs singulières. Et si on base notre algorithme MUSIC sur ces 3 valeurs singulières alors on détecte bien la position du centre de l’inclusion. Données asymptotiques Données CDM 20 % iso-surface 29/09/2008 Identification électromagnétique de petites inclusions enfouies

38 Reconstruction en espace libre (a=λ/20, f=500MHz, εr=5)
Inclusion diélectrique 3 vs 35 vs Même si on considère ces 35 valeurs singulières on détecte aussi bien la position de l’inclusion. Données asymptotiques Données CDM 20 % iso-surface 29/09/2008 Identification électromagnétique de petites inclusions enfouies

39 Reconstruction en espace libre (SNR 10dB)
Inclusion diélectrique 3 vs 3 vs Il est intéressant de comparer maintenant les spectres des matrices MSR si on ajoute un bruit gaussien additif de signal sur bruit = 10db au champ diffracté calculé par la formule asymptotique à gauche et la méthode CDM à droite. Maintenant en présence de ce bruit les 2 spectres sont pratiquement identiques et on ne distingue plus que les 3 premières valeurs singulières qui permettent de détecter dans les 2 cas la position exacte de la sphère. Données asymptotiques Données CDM 20 % iso-surface 29/09/2008 Identification électromagnétique de petites inclusions enfouies

40 2 sphères couplées (2 sphères identiques)
6 vs z y x Considérons maintenant 2 sphères diélectriques identiques couplées Ces sphères sont de rayon lambda/20 et de permittivité relative égale à 5. Les 2 sphères sont séparées d’une distance d=lambda/9 de centre à centre. La matrice MSR calculée par la formule asymptotique donne 6 valeurs singulières non nulles. Si on applique la méthode MUSIC sur les 3 vecteurs singuliers correspondant alors on détecte à première vue une seule tache. Mais si on fait une sorte de Zoom, en considérant un cube de recherche plus petit, alors la méthode Music nous détectons bien les 2 centres des 2 sphères couplées. On déduit alors la Super localisation de l’imagerie MUSIC. 60 % iso-surface 29/09/2008 Identification électromagnétique de petites inclusions enfouies

41 2 sphères couplées (2 sphères identiques)
Courbe de l'estimateur MUSIC le long de l'axe x qui traverse les centres des deux sphères avec et sans prendre l'effet du couplage o coordonnées bisphériques + modèle Foldy-Lax sans couplage z Cette super localisation est obtenue lorsque les données sont calculées avec le tenseur de polarisation d’une sphère isolée, ou avec le tenseur qui prend en compte du couplage qui est calculé avec les coordonnées bisphériques, ou même les données calculées par le modèle Foldy-Lax, on voit bien que les 3 courbes de l’estimateur MUSIC sur l’axe X sont ici identiques lorsque mes 2 sphères sont séparées de seulement lambda/9 y x 29/09/2008 Identification électromagnétique de petites inclusions enfouies

42 2 sphères couplées (différents niveaux de bruit)
sans bruit bruit de 20dB --- bruit de 10dB -.- bruit de 5dB z Maintenant on va voir l’effet d’un bruit additif Ici la distance entre les 2 sphères sont : d=lambda/9, lambda/4 , lambda/2 et lambda En bleu on affiche l’estimateur MUSIC sans bruit ajouté, En vert on a ajouté un bruit à 20dB de signal sur bruit En rouge il s’agit de 10dB Et en cyan 5dB On voit que pour les distances lambda/9 et lambda/4 : dès qu’on ajoute un bruit, l’estimateur MUSIC ne donne plus qu’une seule tâche qui est centrée au milieu des 2 centres. Par contre, pour les distances lambda/2 et lambda : même en présence d’un bruit l’estimateur Music donne bien 2 taches. y x Courbe de l'estimateur MUSIC le long de l'axe x qui traverse les centres des deux sphères pour différents niveaux de bruit. 29/09/2008 Identification électromagnétique de petites inclusions enfouies

43 Identification électromagnétique de petites inclusions enfouies
2 sphères couplées Pour deux sphères couplées de différentes permittivités. sans bruit bruit de 20dB --- bruit de 10dB -.- bruit de 5dB z y x Si les 2 sphères ne sont pas de même permittivité, alors les données bruitées donnent une seule tâche qui n’est pas centrée entre les 2 sphères mais on verra que le centre de la tache sera du côté de la sphère de plus grande permittivité. Notons ici que Ammari a déjà montré que dans le cadre de la formule asymptotique du champ diffracté par une collection de petites inclusions couplées, une approximation mathématiquement consiste à considérer le champ diffracté à partir d’une inclusion virtuelle positionnée au centre de masse des autres inclusions. 29/09/2008 Identification électromagnétique de petites inclusions enfouies

44 Reconstruction en espace libre: semi-axes:(λ/10, λ/20, λ/30), εr=5)
ellipsoïde diélectrique 3 vs 3 vs 40 vs ---- prendre une PAUSE ---- Prenons maintenant le cas d’un ellipsoide droit c’est-à-dire non incliné de semi axes : lambda/10 , lambda/20 et lambda/30 Les données asymptotiques à gauche donnent comme prévu 3 valeurs singulières non nulles Les données CDM à droite donnent comme pour le cas d’une sphère un spectre décroissant. Et comme tout à l’heure, la méthode MUSIC détecte bien la position de l’ellipsoide avec les 3 premières valeurs singulières ou l’ensemble de ces 40 valeurs singulières. Données asymptotiques Données CDM 20 % iso-surface 29/09/2008 Identification électromagnétique de petites inclusions enfouies

45 Détermination de l’orientation d’un ellipsoïde
Ellipsoïde allongé Milieu: Fréquence de travail : 500MHZ Le réseau: Ligne de 21 dipôles sur l’axe x orientés selon x (-3,3) et y Ligne d’antennes est symétrique par rapport à l’axe z. Inclusion: Rayons de l’inclusion : ( 1, 1, 3) Position: Permittivité: Voici une méthode pour déterminer l’angle d’inclinaison d’un ellipsoide incliné : Cette méthode a été proposée par David Chambers en 2006. une fois qu’on a détecté la position de l’ellipsoide, on prendre une seule ligne de dipoles et on les déplace au-dessus de la position estimée. Puis on fait pivoter la ligne de dipoles par rapport à l’axe vertical et on analyse le comportement des 3 principales valeurs singulières. x z y On fait tourner l’ellipsoïde selon 29/09/2008 Identification électromagnétique de petites inclusions enfouies

46 Les valeurs singulières d’un ellipsoïde
Ellipsoïde allongé Les 3 valeurs singulières en fonction de Pour un ellipsoide allongé, voici 3 courbes chacune pour un des 3 premières valeurs singulières On dessine la valeur singulière en fonction de l’angle TETA entre 0 et PI/2 et en fonction de l’angle PHI entre –PI et PI Si on fait une coupe pour TETA =PI/4 , en bleu la première valeur singulière en fonction de l’angle PHI, en vert la 2ème valeur singulière et en Rouge la 3ème valeur singulière. On voit que pour PHI=-PI, 0 et PI c’est-à-dire lorsque le réseau de dipole est parallèle à l’orientation PHI de l’ellipsoide, la première valeur singulière atteint son minimum et la 2ème valeur singulière atteind son maximum. Le comportement s’inverse lorsque la ligne de dipoles est perpendiculaire à l’orientation PHI de l’ellipsoide. C’est une manière donc de déterminer l’orientation PHI d’un ellipsoïde allongé incliné. Lorsque 1ère valeur singulière: atteint un minimum et 2ème valeur singulière: atteint un maximum 3ème valeur singulière: très petite La ligne d’antennes et l’ellipsoïde allongé sont orientés parallèlement 29/09/2008 Identification électromagnétique de petites inclusions enfouies

47 Reconstruction des objets étendus (CDM)
20 % iso-surface ---- Prendre une PAUSE ----- Nous avons commencé une étude pour les objets étendus, basée sur des champs diffractés calculés par la méthode CDM pour une sphère de diamètre 80% lambda. Le spectre nous donne 86 valeurs singulières non nulles et l’imagerie MUSIC semble nous donner une information sur la taille de l’objet surtout à 1% d’isosurface. 86 vs 1 % iso-surface 29/09/2008 Identification électromagnétique de petites inclusions enfouies

48 Reconstruction en demi-espace
Données asymptotiques 3 vs z y x d 8x8 dipôles --- Pause – PAUSE – PAUSE --- Dans ce dernier transparent je vais vous parler rapidement de l’imagerie music en demi-espace PAUSE ----- De même manière que l’espace libre, Pour le cas demi-espace, on distingue 3 valeurs singulières non nulles pour une inclusion diélectrique. temps de calcul MATLAB pour obtenir cette image est assez long. Car pour chaque point du cube de recherche on calcule la dyade de Green de chaque dipôle émetteur, ce qui fait de l’ordre de 600 milles intégrales numériques à calculer à chaque simulation. J’ai alors programmé les méthodes approchées proposée par CHEW, La méthode la plus performante : Leading Order Approximation me faisait passer le temps de calcul d’une journée à seulement une heure de calcul sous MATLAB. La résolution se dégrade un peu par rapport au cas des dyades de Green exactes, mais on obtient une bonne estimation de la position des inclusions. Green approché 80% iso-surface 80% iso-surface 29/09/2008 Identification électromagnétique de petites inclusions enfouies

49 Identification électromagnétique de petites inclusions enfouies
Conclusion Utilisation des données CDM pour éviter le crime inverse Problème de choix du nombre de valeurs singulières significatives (surtout sans bruit additif). L’imagerie MUSIC donne une super localisation pouvant distinguer 2 petites sphères très proches. Avec un bruit additif on ne distingue plus qu’un seul objet qui rejoint la remarque d’Ammari sur l’objet équivalent en centre de masse. Validation de la méthode de détermination de l’inclinaison d’un ellipsoïde aplati ou allongé proposé par David Chambers Détection des objets étendus à partir de données CDM. L’algorithme MUSIC semble donner une information sur la taille de l’objet. Pour conclure : Pour éviter le crime inverse nous avons utilisé des données CDM pour appliquer la méthode MUSIC Nous avons vu qu’il y avait toujours un problème de choix du nombre de valeurs singulières significatives, qui se simplifie en présence d’un bruit additif. Nous avons montré que l’imagerie MUSIC donnait une super résolution pouvant distinguer 2 petites sphères très proches. Mais avec un bruit additif on ne distingue plus qu’un seul objet qui rejoint la remarque d’Ammari sur l’objet équivalent en centre de masse. Nous avons validé la méthode de détermination de l’inclinaison d’un ellipsoïde aplati ou allongé proposé par David Chambers Enfin nous avons abordé brièvement la détection des objets étendus à partir de données CDM. L’algorithme MUSIC semble donner une information sur la taille de l’objet. 29/09/2008 Identification électromagnétique de petites inclusions enfouies

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Perspectives Étude approfondie des objets étendus Analyse des vecteurs singuliers de la matrice MSR Étude du cas d'inclusions anisotropes dans un milieu isotrope ou anisotrope Étude de la configuration demi-espace avec une interface rugueuse On peut citer un certain nombre de perspectives à se travail comme : L’étude… L’Analyse… Et l’étude …. 29/09/2008 Identification électromagnétique de petites inclusions enfouies

51 Identification électromagnétique de petites inclusions enfouies
Messieurs les membres du jury, Mesdames et messieurs Bonjour et merci pour votre présence, J’ai le plaisir de vous présenter mes travaux de recherche intitulé : « Identification … » Ses travaux ont été menés au laboratoire L2S à Supélec Souhir GDOURA 29/09/2008

52 Tenseur de polarisation généralisé
cas de 2 sphères couplées z d a1 a2 (on fait varier d) Deux sphères de rayons différents (même permittivité) Comportement des éléments du tenseur de polarisation de la sphère 2 Comportement des éléments du tenseur de polarisation de la sphère 1 a2=0.03 m a1=0.015 m Ici j’ai voulu montrer graphiquement que la sphère de plus grand rayon se libère plus rapidement de l’effet du couplage que la sphère de plus petit rayon. Donc j’ai pris 2 sphères de même permittivité, l’une ayant un rayon le double de l’autre. On obtient 2 courbes en fonction de la distance. La petite sphère n’atteint la valeur d’une sphère isolée à 1% près qu’à partir d’une distance d=2.6 alors que la grande sphère se comporte comme une sphère libre à partir de 1.4 seulement. Donc cela confirme bien que la grande sphère se libère facilement de l’effet de la petite sphère alors que la petite sphère reste plus longtemps influencée par la grande sphère. Une expérience équivalente pour des sphères de même rayon et de permittivités relatives différentes donne un résultat semblable. 29/09/2008 Identification électromagnétique de petites inclusions enfouies

53 Effet de la discrétisation CDM
N=1  L=1 N=2  L=8 N=3  L=27 N=4  L=64 N=5  L=125 N=8  L=512 Objet = cube de côté λ/10 et єr=3 29/09/2008 Identification électromagnétique de petites inclusions enfouies

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Super-localisation sans bruit bruit de 20dB --- bruit de 10dB -.- bruit de 5dB 29/09/2008 Identification électromagnétique de petites inclusions enfouies

55 2 sphères couplées (CDM)
Données asymptotique Données CDM 6 vs 9 vs 50 vs deux sphères diélectriques de même rayon λ/20 et de différentes permittivités (5є0, 3є0). (-0,075;0;0,175) et (0,075; 0;0,175m) d= λ/4 8 vs 9 vs 50 vs 29/09/2008 Identification électromagnétique de petites inclusions enfouies

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Champ rétropropagé N=4  32; sv 192 c=0.06 1% isosurface 29/09/2008 Identification électromagnétique de petites inclusions enfouies

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Champ rétropropagé 29/09/2008 Identification électromagnétique de petites inclusions enfouies

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Champ rétropropagé 29/09/2008 Identification électromagnétique de petites inclusions enfouies

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Champ rétropropagé 29/09/2008 Identification électromagnétique de petites inclusions enfouies

63 Identification électromagnétique de petites inclusions enfouies
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Effet du couplage d=0.11λ z x d y Plan y = 0 d=0.2λ d=0.4λ 29/09/2008 Identification électromagnétique de petites inclusions enfouies

65 Effet du couplage Sphère proche de l’interface z y x d Plan y = 0
Essayons maintenant de voir l’effet du couplage entre la sphère et l’interface sur le champ diffracté. Pour cela, on considère un dipôle électrique élémentaire émettant à une fréquence de 300MHz illuminant une sphère diélectrique de rayon=Lambda/20 Et de permittivité relative 3 placée dans le milieu inférieur à une distance D de l’interface. on trace sur le plan y=0 pour différentes distances D, la différence d’amplitude de la composante verticale entre les champs Eisolé (calculé à l’aide du tenseur de polarisation sans prendre en compte le couplage) et Ebisphèrique (calculé par le tenseur de polarisation calculé en coordonnées bisphériques). On voit bien que l’effet du couplage n’est visible qu’au voisinage immédiat de la sphère Et au niveau du demi espace supérieur l’effet du couplage n’est visible que lorsque la sphère et très proche de l’interface interface y Milieu+ Milieu - x d 29/09/2008 Identification électromagnétique de petites inclusions enfouies