Introduction aux systèmes numériques

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1 Introduction aux systèmes numériques
Lesson 1 Représentation de l’information en numérique JELASSI. Khaled M.C Département Génie Electrique Laboratoire d’Informatique Industrielle, Postal : E.N.I.T BP N° Tunis

2 Table des matières Notions de numérotation et de base
Bases 10, 2, 8, 16 Opérations Conversions Codage des information par calculateur Words et bytes (mots et octets) Opérations élémentaires sur octets Codage des entiers entiers Positifs entiers Négatifs Inversion complément à 1 complément à 2 opérations arithmétiques et overflow Codage des nombres Codage des réels Codage des caractères ASCII Codage 7bit et 8bit base 3, base 16, …

3 Numérotation Base Décimale Nombres dans une base B
« humain » nombres (base 10) chiffres compris entre 0-9 Nombres ‘ successions de chiffres ’ chiffre positif pour le poids (puissance de 10 en général) Nombres dans une base B Convention de notation B < 10 Symboles 0-9 B >= 10 Symboles lettres (A, B, C, D, …) Exemples Base 2 Base 8 (octal) Base 16 (hexadecimal) 98AF56B3E79D04 Formule Générale 1234 = 1x x x10 +4 = 1x x x x100 dndn-1…d2d1d0 =  di x 10i i=0 n (dndn-1…d2d1d0)B =  di x Bi i=0 n

4 Numérotation Nombres Binaires Nombres en octal
Nombres traités par calculateur Calculateur comprend uniquement 2 chiffres Seulement 2 chiffres (0 and 1) Base = 2 Nombres en octal Plus simple à représenter qu ’en binaire Puissance de 2 représentation compact 1 chiffre octal comprend trois chiffre binaires Base 8 (octal) = 1x27 + 1x25 + 1x22 + 1x20 = = 16510 = 7x85 + 3x84 + 2x83 + 4x81 + 6x80 = 7x x x x8 + 6x1 = =

5 Numérotation Nombre en Octal 0 = 000 1 = 001 2 = 010 3 = 011 4 = 100
8 = 23 1 chiffre octal représente 3 chiffres binaires 3 chiffre en octal pour un octet ‘ byte ’ « un bit sera perdu » Octal <-> Binaire ‘ conversion ’ Conversion octal -> binaire = Conversion binaire -> octal = 0 = 000 1 = 001 2 = 010 3 = 011 4 = 100 5 = 101 6 = 110 7 = 111 111 011 010 000 100 110 (00) 1 2 3 7

6 Numérotation Base Hexadécimale
Simplifie encore la représentation ‘ code visuel ’ Puissance de 2 Représentation Compact des nombres binaires un chiffre hexa représente 4 chiffres binaires Base 16 16 = 24 1 chiffre hexa représente 4 chiffres binaires 2 chiffres hexa représentent 1 octet ‘ byte ’ plus compact que la base représentation en octal « pas de bit perdu » Conversion Hexa <-> binaire Conversion hexa -> binaire E6F30B = Ex x164 + Fx x162 + Bx160 = 14x x x x x160 = 14x x x x = 0 = = = C = 1100 1 = = = D = 1101 2 = = A = 1010 E = 1110 3 = = B = 1011 F = 1111 E6F30B16 = E 6 F 3 0 B 1110 0110 1111 0011 0000 1011

7 Numérotation Base Hexadécimale 1010 0110 0011 1010 A 6 3 A
Conversion binaire -> hexa = A63A16 A 6 3 A

8 OPERATIONS ARITH. Opérations arithmétiques 721 + 297 1018 1011010001
Similaires aux opérations dans la base 10 Chiffres limités à la base B Exemple Décimal Binaire Octal Hexadécimal 721 + 297 1018 = 1321 + 0451 17728 = 2D1 + 129 3FA16 =

9 Numérotation Conversions (dndn-1…d2d1d0)B =  di x Bi 1966 16
Décimale à la base B Suite des restes de div. successives par B Exemple Comment représenter en hexadecimal ? (dndn-1…d2d1d0)B =  di x Bi i=0 n 122 16 46 32 14 = 7AE16

10 Numérotation Conversion (dndn-1…d2d1d0)B =  di x Bi q0 = d0
Base B vers base Décimale Calcul des sommes Si on Inverse le process Exemple Comment représenter 7AE16 en décimal ? Par Sommation Par Division (dndn-1…d2d1d0)B =  di x Bi i=0 n q0 = d0 q1 = q0xB + d1 q2 = q1xB + d2 … qn = qn-1xB + dn 7AE16 = 7x x = q0 = 7 q1 = 7x = 122 q2 = 122x = 1966

11 Numérotation Conversion de base Conversions entre Base B et Base n
Chiffres en base B groupés par n chiffres Binaire  Octal Groupement de chiffres binaires par groupe de 3 Binaire  Hexadécimal Groupement de chiffres binaires par groupe de Octal  Binaire Représentation du chiffre octal en binaire Hexadécimal  Binaire Représentation du chiffre hexa en binaire

12 Codage des variables Words et Bytes ‘ mots et octets ’ b0 b7 b6 b5 b4
Information (caractères, nombres, …) stockés en cellules mémoire la cellule et l ’unité adressable la plus petite de la mémoire d ’un calculateur Cellule est composé de n bits Bit = binary digit (0 ou 1) Exemples Octet = Cellule 8-bit structure interne d ’une cellule de n-bits Words La cellule n ’est pas assez « large » pour représenter des ‘ integers ’, ‘ reals ’, caractères Groupement (concaténation) de cellules(bytes) Lecture/écriture de/vers mémoire Manipulation par instructions b0 b7 b6 b5 b4 b3 b2 b1 Most Significant Bit Least

13 Opérations sur octets opérations logiques
NOT AND OR XOR opérations de décalages SHR, SHL, ROR, ROL, RLC, RRC décalage à droite décalage à gauche rotation à droite rotation à gauche

14 Codage des entiers Entiers Positifs Entiers Négatives 27 = 00011011
valeur limitée à la taille d ’un mot de 16 bits N-bits word 2n valeurs possibles Byte 8 bits 28 valeurs possibles values Entiers Négatives bit de Signe nécessaire MSB est un bit de signe 0 = nombre positif 1 = nombre négatif Cellule mémoire de N-bits Bit n est le bit de signe les n-1 bits restant représentent la valeur absolue -2n-1 < range < 2n-1 Le chiffre zéro peut être codé par: Opérations Arithmétiques Exemples 27 = -27 = 127 = -127 =

15 Codage des entiers Entiers Négatifs 00100010 = 34 + 10010110 = -105
1-Complement Inverser chaque bit de l ’entier positif bit = 1 – bit MSB = bit de signe Cellule mémoire N-bits Bit n est le bit de signe 0 -> positif 1 -> négatif n-1 bits pour stocker la valeur -2n-1 < range < 2n-1 2 codages possibles pour la valeur 0 Exemples 27 = > -27 = 127 = > -127 = Opérations Arithmétiques = 34 = -105 = = -71 = 127 = -15 = = 111 = = 112

16 Codage des entiers Entiers Négatifs 00100010 = 34 + 10010111 = -105
Complément à 2 Inverser chaque bit de l ’entier positif, ajouter 1 MSB = bit de signe cellule de N-bits Bit n est le bit de signe 0 -> positif 1 -> négatif restent n-1 bits pour stocker la valeur -2n-1 <= range < 2n-1 plage asymétrique un seul codage pour 0 Exemples 27 = > -27 = 127 = > -127 = 1 = > -1 = -128 = Opérations Arithmétiques = 34 = -105 = = -71 = 127 = -15 = = 112

17 Codage des entiers Overflow 01111111 = 127 + 01111111 = 127
Cellule N-bit -> limite la plage du nombre 1-complement : ] -2n-1, 2n-1 [ 2-complement : [ -2n-1, 2n-1 [ cellule de 8 bits = byte (n = 8) = 254 >= 128 !!!! = -189 <= 128 !!!! Solutions représentation sur plusieurs octets librairie mathématique spéciale = 127 = 127 = = -2 ??? = -111 = -78 = = 67 ???

18 Codage sur des octets Nombre > plage de la cellule
Cellule = byte (n = 8) 576 >= 2n-1 = 128 Concaténer plusieurs octets pour un nombre 2 bytes -> n=16 -> [ -215, 215 [ = [ ,32768 [ 4 bytes -> n=32 -> [ -231, 231 [ = [ -2x109,2x109 [ 8 bytes -> n=64 -> [ -263, 263 [ = [ -8x1018,8x1018 [ Les microprocesseurs comprennent: instructions arithmétiques manipulant des mots de:  1, 2, 4 octets Langages de programmation: Notion de short integer, integer, long integer Librairies spéciales Fonctions spécifiques de manipulation des entiers de n’importe quelle taille

19 (dndn-1…d2d1d0,d-1 d-2…d-m)B =  di x Bi
Codage des Réels Notations Notation par virgule fixe Fraction se fait par le point ou la virgule Formule Générale Similaire à celle des nombres entiers Exemple Notation Scientifique ‘ virgule flottante ’ Nombre = m x 10e m = mantisse (nombre à virgule fixe) e = exposant « corrige » la valeur de la mantisse Exemples 3,1415 = 3,1415 x 100 = 0,31415 x 101 = 31,415 x 10-1 -0, = -2,678 x 10-3 10000 = 1 x 104 = 10 x 103 0,1 x 10-68 plusieurs représentations du même nombre normalisation de la représentation est alors nécessaire n (dndn-1…d2d1d0,d-1 d-2…d-m)B =  di x Bi i=-m 123,45 = 1x x x x x10-2 = ,4 + 0,05

20 Codage des Réels Virgule Fixe 01101110 = 0 1 1 0 . 1 1 1 0 = 6,875 6
Le point fractionnaire est implicitement fixé à la position k k > 0 Nombre divisé par 2k k = 0 Equivalent à la représentation entière classique k < 0 Nombre multiplié par 2k Exemples k = 4 k= -4 Problèmes k fixé k << : précision médiocre pour les petits nombres k >> : bonne précision pour les petits nombres mais la plage est limitée = = 6,875 6 2-1 2-2 2-3 2-4 0,5 + 0,25 + 0,125 = 0,875 = = 1760

21 Codage des Réels Méthode par virgule flottante 2p-1 ………… 222120 m e’ s
Basée sur la notation scientifique des humains 3 parties bit ‘s’ de signe exposant ‘e’  codage comme un nombre positive sur n bits mantisse m partie entière sur p bits nombre fractionnaire sur p bits Nombres négatives inverser bit de signe inverser tous les bits … Normalisation plusieurs représentations sont possibles mantisse MSB à gauche 2p-1 ………… Bit de signe exposant mantisse m e’ s 2-12-2………2-p+12-p s e’ m Bit de signe mantisse exposant

22 Codage des réels Virgule flottante Point de fraction
Exemples (s,e,.m) = (1bit,7bits,16bits) 237,0 = ( ) Point de fraction e’ = 80 e = 80 – 64 = 16 mx2e = 216x( ) = Point de fraction e’ = 72 e = 72 – 64 = 8 mx2e = 28x( ) =

23 Codage des Réels Virgule flottante Point de fraction
Exemples (s, e, .m) = (1bit, 7bits, 16bits) 5, ( ) Point de fraction e’ = 67 e = 67 – 64 = 3 mx2d = 23x( ) =

24 Codage des caractères Représentation des caractères
Représentation graphique «adoptée par l ’humain» lettres, chiffres, punctuations exemples a b c d … y z 0 1 … 8 9 ; : ? ! … Codage par calculateur chaque symbole est codé par un entier caractères graphiques lettres, chiffres, ponctuations caractères de contrôle hérites des protocoles de transmission plusieurs codages sont définis Plusieurs tables de différents caractères existent Codage sur 7-bit Codage sur 8-bit Codage multi-octets

25 Codage des caractères IA5 b8 b7 b6 b5 b4 b3 b2 b1 0-716 0-F16
ITU-T T.50, ANSI ASCII Codage sur 7-bits (par un octet) MSB set to 0 Convention de codage b8 b7 b6 b5 b4 b3 b2 b1 0-716 0-F16 1 2 3 4 5 6 7 NUL DLE SP P p SOH DC1 ! A Q a q STX DC2 " B R b r ETX DC3 # / £ C S c s EOT DC4 ¤/ $ D T d t ENQ NAK % E U e u ACK SYN & F V f v BEL ETB ' G W g w 8 BS CAN ( H X h x 9 HT EM ) I Y i y LF SUB * : J Z j z VT ESC + ; K k FF IS4 , < L l CR IS3 - = M m SO IS2 . > N n SI IS1 / ? O _ o DEL

26 Codage des caractères IA5 23 = # 24 = ¤ 40 = @ 5B = [ 5C = \ 5D = ]
Version internationale Utilisation texte en Englais texte en Latin sans accents et sans caractères spéciaux (e.g. Allemand «ß») Exemple Université 23 = # 24 = ¤ 40 5B = [ 5C = \ 5D = ] 5E = ^ 60 = ` 7B = { 7C = | 7D = } 7E = ~ 55 6E

27 Codage des Caractères Teletex ITU-T T.61
initialement lié transmissions par télécopie Caractères de contrôle Caractères graphiques de Control en Latin Anglais, Français, Allemand, … Caractères graphiques Non alphabétiques chiffres, fractions, ponctuation, … Caractères de combinaison « ^ »

28 Codage des caractères Telecopie 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F NUL DLE
1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F NUL DLE SP P p SOH DC1 ! Q a q ‘ Æ æ STX DC2 " R b r ’ ETX DC3 # / £ S c s ^ EOT DC4 ¤/ $ T d t $ x ~ ENQ NAK % U e u ACK SYN & V f v # IJ ij BEL ETB ' G W g w BS CAN ( H X h ÷ HT EM ) I Y i y Ø ø LF SUB * : J Z j z VT ESC + ; K [ k ß FF IS4 , < L l | CR IS3 - = M ] m SO IS2 . > N n Ŋ ŋ SI IS1 / ? O _ o DEL