Transformée de Hartley

Présentation au sujet: "Transformée de Hartley"— Transcription de la présentation:

1 Transformée de Hartley
Juillet 2014

2 Transformation de Hartley rapide (FHT - Fast Hartley Transform)
La transformée de Fourier exige de travailler avec des nombres complexes. Calculs plus compliqués. Additions et soustractions de nombres complexes Multiplication de nombres complexes La transformée de Hartley se fait dans le domaine réel. Prix à payer: on perd l’information de phase.

3 FHT - Fast Hartley Transform
Fonction de transformation: avec

4 FHT - Fast Hartley Transform
Dans un développement similaire au DFT: en posant n = n+N/2 dans la seconde partie:

5 FHT - Fast Hartley Transform
Identités trigonométriques: 2 cas à analyser pour simplifier les calculs: Si k impair Si k pair

6 FHT - Fast Hartley Transform
Si k impair:

7 FHT - Fast Hartley Transform
Si k pair:

8 FHT - Fast Hartley Transform
Ainsi, la fonction H(k) est pour k pair: … et pour k impair:

9 FHT - Fast Hartley Transform
Posons k = 2k pour k pair, alors H(k) devient: … et k = 2k+1 pour k impair, alors H(k) devient:

10 FHT - Fast Hartley Transform
Avec un peu de trigo. on calcule: … et

11 FHT - Fast Hartley Transform
Donc: et substituant n=N/2-n dans la seconde partie

12 FHT - Fast Hartley Transform
Finalement, si on pose: …et:

13 FHT - Fast Hartley Transform
Alors, il suffit d’utiliser: …et: Pour calculer la transformée

14 Exemple: FHT avec 8 points
Soit un signal échantillonné sur 8 points: x(0)=0; x(1)=1; x(2)=2; x(3)=1; x(4)=0; x(5)=-1; x(6)=-2; x(7)=-1.

15 Exemple: FHT avec 8 points

16 Exemple: FHT avec 8 points

17 Exemple: FHT avec 8 points

18 Exemple: FHT avec 8 points

19 Exemple: FHT avec 8 points