THEOREME DE PYTHAGORE Chapitre 8 1) Vocabulaire

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1 THEOREME DE PYTHAGORE Chapitre 8 1) Vocabulaire
2) Théorème de Pythagore 3) Réciproque du théorème de Pythagore

2 ABC est un triangle rectangle en A.
1) Vocabulaire Hypoténuse B A C Côtés de l’angle droit Côtés de l’angle droit ABC est un triangle rectangle en A.

3 2) Théorème de Pythagore
a) Construction b) Énoncé du théorème c) Exemples d) Contraposé

4 a) Construction

5 b) Énoncé du théorème donc a ² + b ² = c ² aire 1 + aire 2 = aire 3
L’aire de ce carré est b ² L’aire de ce carré est a ² 2 1 a b c L’aire de ce carré est c ² 3 donc a ² + b ² = c ² aire 1 + aire 2 = aire 3

6 AB ² + AC ² = BC ² Si un triangle est rectangle, alors
le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des 2 autres côtés. B Si ABC est un triangle rectangle en A, alors AB ² + AC ² = BC ² A C

7 c) Exemples Utilisation : Exemple 1 Calculer EF.
Dans un triangle rectangle, le théorème de Pythagore permet de calculer la longueur d’un côté si on connaît la longueur des deux autres côtés. Exemple 1 D Calculer EF. On sait que Le triangle DEF est rectangle en F. d’après le théorème de Pythagore, on a donc : EF ² + ED ² = DF ² EF ² + 6 ² = 10 ² EF ² + 36 = 100 EF ² + 36 – 36 = 100 – 36 EF ² = 64 EF = 8 cm. 6 cm 10 cm E F

8 Exemple 2 Calculer BC. C 10 cm On sait que B
Le triangle ABC est rectangle en A. d’après le théorème de Pythagore, on a donc : BC ² = AB ² + AC ² BC ² = 8 ² + 10 ² BC ² = BC ² = 164 BC ≈ 12,8 cm. B 8 cm A On utilise la touche de la calculatrice

9 d) Contraposé Dans un triangle, si le carré du plus grand côté n’est pas égal à la somme des carrés des 2 autres côtés, alors ce triangle n’est pas rectangle. N MNP est un triangle dont le plus grand côté est [MP] ; MP ² MN ² + NP ² Si M Alors le triangle MNP n’est pas rectangle. Exemple P Ce triangle est-il rectangle ? Dans le triangle ABC, le plus grand côté est [AB] et AB ² = 7 ² = 49 ; AC ² + BC ² = 5 ² + 6 ² = = 61 C 5 cm 6 cm A 7 cm On a AB ² AC ² + BC ², Donc le triangle ABC n’est pas rectangle. B

10 Si un triangle EFG est tel que Alors ce triangle est rectangle en E.
3) Réciproque du théorème de Pythagore Si un triangle EFG est tel que FG ² = EF ² + EG ², Alors ce triangle est rectangle en E. Utilisation : La réciproque du théorème de Pythagore permet de démontrer qu’un triangle est rectangle.

11 Exemple Démontrer que le triangle suivant est rectangle. C 3,3 cm A
B Dans le triangle ABC, le plus grand côté est BC et BC ² = 6,5 ² = 42,25 ; AC ² + AB ² = 3,3 ² + 5,6 ² = 42,25 Donc BC ² = AC ² + AB ², et, d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A.