2007 et des 1… L’invasion des « uns »

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1 2007 et des 1… L’invasion des « uns »
Collèges Labitrie (Tournefeuille) et Rambaut (Pamiers)

2 « Par quel nombre entier faut-il multiplier 2007 pour
Le problème : « Par quel nombre entier faut-il multiplier 2007 pour obtenir un résultat ne s’écrivant qu’avec des uns ? » SOMMAIRE : Quelques observations, Méthode de recherche par multiplication, Méthode de recherche par division, Passage à l’informatique. Collèges Labitrie (Tournefeuille) et Rambaut (Pamiers)

3 Quelques observations
Exemples d’obtention de nombres ne comportant que des uns Collèges Labitrie (Tournefeuille) et Rambaut (Pamiers)

4 Nombre de 1 Produit Résultat 1 1 x 1 2 1 x 11 11 3 37 x 3 111 4
EXEMPLES Nombre de 1 Produit Résultat 1 1 x 1 2 1 x 11 11 3 37 x 3 111 4 11 x 101 1 111 5 271 x 41 11 111 6 11 x 21 x 5 291 33 x 3 367 Collèges Labitrie (Tournefeuille) et Rambaut (Pamiers)

5 Nombre de 1 Produit Résultat 6 39 x 2 849 ; 77 x 1 443
EXEMPLES Nombre de 1 Produit Résultat 6 39 x ; 77 x 1 443 91 x ; 111 x 1 001 143 x 777 ; 231 x 481 259 x 481 ; 259 x 429 273 x 407 7 Impossible 8 11 x ; 73 x 101 x ; 137 x 9 3 x ; 37 x 111 x ; 333 x Collèges Labitrie (Tournefeuille) et Rambaut (Pamiers)

6 Quelques observations
Exemples d’obtention de nombres ne comportant que des uns Nombre de restes différents possibles Collèges Labitrie (Tournefeuille) et Rambaut (Pamiers)

7 Essais de division, en réalité : 2007 restes différents possibles.
LES RESTES Essais de division, en réalité : 2007 restes différents possibles. 1)Reste = 0, fin du problème. 2)Reste répétitif à un certain moment, le problème n’a pas de solution. Collèges Labitrie (Tournefeuille) et Rambaut (Pamiers)

8 Quelques observations
Exemples d’obtention de nombres ne comportant que des uns Nombre de restes différents possibles « Propriété » particulière… Collèges Labitrie (Tournefeuille) et Rambaut (Pamiers)

9 LA PROPRIETE 1 x = 11 12 x = 111 123 x = 1111 1234 x = 11111 12345 x = x = x = x = x = x = PROBLEME !! Collèges Labitrie (Tournefeuille) et Rambaut (Pamiers)

10 Donc, pour étendre la règle, on fait :
LA PROPRIETE 12 = 1 x 123 = 12 x 1234 = 123 x … En fait : Donc, pour étendre la règle, on fait : x = Et effectivement : x = x = x = x = x = Collèges Labitrie (Tournefeuille) et Rambaut (Pamiers)

11 Méthode de recherche par multiplication
Collèges Labitrie (Tournefeuille) et Rambaut (Pamiers)

12 Recherche par multiplication
6 021 Collèges Labitrie (Tournefeuille) et Rambaut (Pamiers)

13 Recherche par multiplication
Collèges Labitrie (Tournefeuille) et Rambaut (Pamiers)

14 Recherche par multiplication
2 007 x 4 = 8 028 Collèges Labitrie (Tournefeuille) et Rambaut (Pamiers)

15 Recherche par multiplication
Collèges Labitrie (Tournefeuille) et Rambaut (Pamiers)

16 Méthode de recherche par division
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17 Jusqu’à ce que le reste soit égal à zéro
Méthode par division 11 111 1 1 2 007 5 5 … 1 076 1 726 1 … Jusqu’à ce que le reste soit égal à zéro Collèges Labitrie (Tournefeuille) et Rambaut (Pamiers)

18 Passage à l’informatique
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19 Passage à l’informatique
But : laisser l’ordinateur faire les calculs Nous avons donc utilisé un logiciel tableur. Le programme de division : A B C D E 11 111 ENT (A1/2007) B1 x 2007 A1 – C1 D1 x E1 ENT (A2/2007) B2 x 2007 A2 – C2 D2 x 10 +1 Ce que cela donne : 11 111 5 10 035 1 076 10 761 726 7 261 Ce programme est reproduit jusqu’à avoir un reste égal à zéro. Collèges Labitrie (Tournefeuille) et Rambaut (Pamiers)

20 Passage à l’informatique
Le programme par multiplication : A B C D E F G 6 021 ENT (A1/10) ENT (B1/10) x 10 B1 – C1 Fonction spéciale E1/2007 B1 + E1 G1 ENT (A2/10) ENT (B2/10) x 10 B2 – C2 E2/2007 B2 + E2 La « fonction spéciale » est un programme qui renvoie le bon multiple de 2007 en fonction du nombre de la case D. A B C D E F G 6 021 602 600 2 14 049 7 14 651 1 465 1 460 5 16 056 8 17 521 Collèges Labitrie (Tournefeuille) et Rambaut (Pamiers)

21 1 Et enfin, le nombre recherché :
1 Collèges Labitrie (Tournefeuille) et Rambaut (Pamiers)

22 Vous ont présenté cet exposé :
Adam Benoumeur, Thomas Dabin, Julien Esnay, Victor Rischmann, Mattéo Miellet, Vincent Manoukian Y ont travaillé sans pouvoir venir : Naguy et Imen Helmy, Romain Pagola, les élèves du collège Rambaut de Pamiers. Collèges Labitrie (Tournefeuille) et Rambaut (Pamiers)

23 FIN Merci de votre attention
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