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suIenm:aTicéncMNucrUbFatu
CINEMATIQUE DU POINT MATERIEL
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suIenm:aTic (Cinématique)
suIenm:aTic KWCakarsikSaclnarbs;GgÁFatuTaMgLayedayminKitBIbuBVehtu EdlbgáeGaymanclnaTaMgenaHeT. La cinématique est l’étude des mouvements des corps indépendamment des causes qui les produisent.
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TItaMgrbs;cMnucrUbFatukñúglMhr Position d’un point dans l’espace
kñúgtMruy TItaMgrbs;cMnucrUbFatu A enAxN³ t RtUVv)ankMNt;edayvuicT½r Dans un référentiel , la position d’un point matériel M à l’instant t est définie par le vecteur r(t), appelé vecteur position.
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TItaMgrbs;cMNucrUbFatukñúglMh
Position d’un point dans l’espace kUrGredaenedkat = Oxyz kUGredaensuILaMg c = Oz kUGredaenb:UEl p = Or cm¶aycr nigbmøas;TI smIkar):ar:aEmRténKnøg- smIkarKnøg Gab;suIsExSekag nigviFIKNnaGab;suIsExSekag
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TItaMgrbs;cMNucrUbFatukñúglMh
Position d’un point dans l’espace kUrGredaenedkat = Oxyz kUGredaensuILaMg c = Oz kUGredaenb:UEl p = Or smIkar):ar:aEmRt smIkarKnøg Gab;suIsExSekag cm¶aycr nigbmøas;TI
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kUrGredaenedkat = Oxyz / Coordonné cartésiennes
uz y O ux uy x P
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kUrGredaenedkat = Oxyz / Coordonné cartésiennes (suite)
kñúgRbB½n§kUrGredaenedkatTItaMgrbs;cMnucrUbFatu AenAxN³eBlmYykMNt;eday³ CavuicT½rÉktaelIG½kS Ox, Oy, Oz ehAfa)asedkat Edl
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kUrGredaenedkat = Oxyz … Coordonné cartésiennes…
Exemple1 cUredATItaMgrbs;cMnucrUbFat A EdlmankUGredaenr (3,2,5)
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kUrGredaensuILaMg = Oz Coordonnées cylindrique
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kUrGredaensuILaMg = Oz Coordonnées cylindrique (suite)
kñúgRbB½n§kUrGredaensuILaMgTItaMgrbs;cMnucrUbFatu AenAxN³eBlmYykMNt;eday³ ehAfa )asénkUGredaensuILaMg (base locales des coordonées cylindriques) CavuicT½rÉkata r:adüal (vecteur unitaire radial) CavuicT½rÉkata GUtUr:adüal (vecteur unitaire ortho radial)
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Relation entre =(Oxyz), C=(Oz)
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Relation entre u et u
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kUrGredaensuILaMg = Oz Coordonnées cylindrique (suite)
Exemple 2 cUredATItaMgrbs;cMnucrUbFat A EdlmankUGredaenr (3,30o,5) .
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kUrGredaenb:UEl = Or Coordonnées polaire
P x y O u u Pour z = 0, on note que les coordonnées cylindriques s’identifient aux coordonnées polaires du plan xOy
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kUrGredaenb:UEl = Or Coordonnées polaire (suite)
En générale r A x y O ur u vecteur unitaire radial vecteur unitaire ortho radial r hAfakaMb:UEl (rayon polaire) hAfamuMb:UEl (angle polaire)
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kUrGredaenEs‘Vr = Or Coordonnées sphérique
A(r,,) A(x,y,z) A(x,y,z) A(r,, )
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kUrGredaenEs‘Vr = Or Coordonnées sphérique (suite)
ehAfa )asénkUGredaenEs‘V (base locales des coordonées sphériques)
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cm¶aycr nigbmøas;TI / Parcours et déplacement
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cm¶aycr nigbmøas;TI / Parcours et déplacement (suite)
A’(t’) A(t) O
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cm¶aycr nigbmøas;TI / Parcours et déplacement (suite)
Exemple Distance ou parcours Déplacement
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smIkar):ar:aEmRt rW smIkareBl l’équation paramétrique ou l’équation horaire
Dans coordonnées cartésiennes: Dans coordonnées polaire: Dans coordonnées cylindrique:
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smIkarKnøg L’équation de la courbure trajectoire
Dans coordonnées cartésiennes: Dans coordonnées polaire: Dans coordonnées cylindrique:
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Exemple:
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Gab;suIsExSekag / abscisse curviligne
A(t) S(t) (C) trajectoire (+) O (t = 0)
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karKNnaGab;suIsExSekag /Calculer abscisse curviligne
En utilisant coordonnées cartésiennes: En utilisant coordonnées cylindrique: En utilisant coordonnées polaire:
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Exemple
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Vitesse d’un point par rapport à un référentiel
Vitesse moyenne Vitesse moyenne de parcours Vitesse moyenne de déplacement Vitesse instantanée (garndeur vectorielle) Composantes cartésiennes Composantes cylindriques Composantes polaires Composantes de Frenet
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Vitesse moyenne Vitesse moyenne de parcours
Par définition, la vitesse moyenne de parcours est: Où S - le parcours du point pendant t = t2 – t1
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Vitesse moyenne … Vitesse moyenne de déplacement
Par définition, la vitesse moyenne de déplacement est:
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Exemple:
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Vitesse instantanée La vitesse instantanée (ou vecteur vitesse instantanée) d’un point par rapport à un référentiel est égale à la dérivée sa position (ou vecteur-position) par rapport au temps calculée dans ce référentiel
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Vitesse instantanée … Composantes cartésiennes Comme , il vient :
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Composantes cylindriques
Vitesse instantanée … Composantes cylindriques Le vecteur position du point A en coordonnées cylindriques s’exprime:
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Vitesse instantanée … Composantes polaires
Pour Z = 0 => dans coordonnées polaire :
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tangent à la trajectoire normal à la trajectoire , tel que:
Vitesse instantanée … Composantes de Frenet Les composantes de Frenet sont relatives au trièdre défini en un point de la trajectoire (c) par les trois vecteurs unitaires suivantes: tangent à la trajectoire normal à la trajectoire , tel que: vecteur unitaire bi- normale
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Vitesse instantanée … Composantes de Frenet relation de Frenet Où S - représente l’abscisse curviligne sur (c) orienté R- le rayon de courbure
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Accélération d’un point par rapport àun référentiel
Définition Composantes cartésiennes Composantes polaire Composantes Frenet
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Exemple:
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Définition L’accélération d’un point A par rapport à un référentiel est le vecteur suivant
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Composantes cartésiennes de l’accélération
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Composantes polaire
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Composantes de Frenet
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Composantes de Frenet de
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Exemple
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Mouvement d’un référentiel ’par rapport à un référentiel
Nous appellerons : - mouvement absolu, le mouvement de A par rapport à ; - mouvement relatif, le mouvement de A par rapport à ’; mouvement entraînement, le mouvement de ’ par rapport à . x z y O z’ x’ y’ O’ ’
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Mouvement d’un référentiel ’par rapport à un référentiel
mouvement de translation mouvement de rotation autour d’un axe de mouvement le plus général de ’ par rapport à
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mouvement de translation
Le référentiel d’espace ’est en translation par rapport à un référentiel , si les bi points A et B de ’ , au cours de mouvement sont équipollents entre. Donc le vecteur AB est en constante dans x y z O z’ x’ y’ O’ ’ A’’ B’’ A’ B’ A B
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mouvement de rotation autour d’un axe de
Les points situé sur cet axe commun à ’ et , noté OZ, ont une vitesse nulle. Un point A fixe dans ’ décrit, par rapport à , un cercle de centre H et de rayon HA, H étant la projection A sur l’axe de rotation
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mouvement le plus général de ’ par rapport à (1)
x z y O z’ x’ y’ O’ ’ A
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mouvement le plus général de ’ par rapport à (2)
[M] l’opérateur qui caractérise le mouvement de ’/ Dans , l’opérateur [M] se met sous la forme matricielle(3×3)
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mouvement le plus général de ’ par rapport à (3)
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mouvement le plus général de ’ par rapport à (4)
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mouvement le plus général de ’ par rapport à (5)
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mouvement le plus général de ’ par rapport à (6)
En introduisant le produit vectoriel d’un vecteur équivalent
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mouvement le plus général de ’ par rapport à (7)
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mouvement le plus général de ’ par rapport à (8)
Pour bi- points A et B de ’ avec AB = Cte :
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mouvement le plus général de ’ par rapport à (9)
i) Cas le repère ’ est en rotation autour d’un axe dans ii) Cas le repère ’ est en translation par rapport à
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Composition de mouvements
Dérivé temporelle d’un vecteur dans et ’ Loi de composition des vitesses Loi de composition des accélérations Loi de composition des vitesses angulaire
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Dérivé temporelle d’un vecteur dans et ’
y’ z z’ ’ O’ A x’ O y x
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Dérivé temporelle d’un vecteur dans et ’
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Dérivé temporelle d’un vecteur dans et ’ …
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Loi de composition des vitesses
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Loi de composition des vitesses …
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Exemple:
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Loi de composition des accélérations
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Loi de composition des accélérations …
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Loi de composition des accélérations …
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Loi de composition des accélérations …
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Loi de composition des accélérations …
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Exemple:
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Loi de composition des vitesses angulaire
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Loi de composition des vitesses angulaire …
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