Problème Autre formulation :

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1 Problème Autre formulation :
Garçons ou filles : qui réussi le mieux au bac ? Cigarette et cancer : y a t il un lien ? Prévention routière : moins d’accident chez les verbalisés ? Autre formulation : Y a t il un lien entre sexe et réussite au bac ? Y a t il un lien entre cancer et cigarette ? Y a t il un lien entre accident et verbalisation ?

2 Mesures Données brutes Tableau des effectifs Tableau croisé

3 Théorie… Définition : Hypothèse nulle (=H0) : il n’y a pas de lien entre la variable sexe et la variable résultat. Si H0 est vrai : le pourcentage des Admis est le même chez les garçons que chez les filles

4 Variabilité biologique ou H0 est-elle rejetable ?
… et pratique Dans d’autres lycées : Pas de différence H0 n’est pas rejetable Différence énorme On rejette H0 Dans notre lycée : Variabilité biologique ou H0 est-elle rejetable ?

5 Problème Une différence significative cache probablement une cause
Quand peut-on considérer qu’une différence est significative ? Quand est-elle du à la variabilité biologique ? Pas de différence H0 n’est pas rejetable Différence énorme On rejette H0 Variabilité biologique ? Différence significative ? Dans notre lycée :

6 Solution Test du 2 (prononcez khi2) permet de trancher :
Le 2 est un indice que l’on calcule à partir d’un tableau croisé. Quand on l’a trouvé, il permet de décider si oui ou non les variations du tableau soit du au hasard : 2=0,062 2=0,062  Incertitude On ne sait pas si la différence est due au hasard des mesures ou a un lien entre les deux variables 2=8,68 2=8,68  Pas de hasard On en est sûr, une telle différence ne peut pas être due au hasard : il y a un lien entre les deux variables.

7 Calcul du 2 On utilise des tableaux :
Tableau des effectifs observés (tableau croisé) Tableau des effectifs théoriques Tableau des écarts bruts Tableau des écarts au carré et pondérés Formule du 2 Lecture de la table

8 1 : Effectifs observés

9 2 : Effectifs théoriques
total colonne x total ligne total général Pour chaque case : effectif théorique = Totaux Calcul par case Résultats

10 Tableau des écarts bruts
Pour chaque case : écart brut = effectifs observés – effectifs théoriques – Effectifs observés Effectifs théoriques = Tableau des écarts bruts

11 4 : Écarts au carré et pondérés
Pour chaque case : Écart au carré pondéré = (écart brut)2 effectif théorique

12  5 : Formule du 2 Le 2 est la somme des écarts au carré pondérés
2 =  (écart brut)2 effectif théorique 2 =0,035+0,015+0,009+0,004=0,63

13 Généralisation 1 : Effectifs observés
Y a t il un lien entre couleur des yeux et des cheveux ? 1 : Effectifs observés

14 2 : Effectifs théoriques
total colonne x total ligne total général Pour chaque case : effectif théorique =

15 Tableau des écarts bruts
Pour chaque case : écart brut = effectifs observés – effectifs théoriques – Effectifs observés Effectifs théoriques = Tableau des écarts bruts

16 4 : Écarts au carré et pondérés
Pour chaque case : Écart au carré pondéré = (écart brut)2 effectif théorique

17  5 : 2 2 = (écart brut)2 effectif théorique
2 =5,11+0,96+2,07+1,69+0,33+0,66+2,66+0,52+1,04+0,01+0,00+0,00=15,05

18 (effectifs observés – effectifs théoriques)2
2 en bref 2 = Le 2 que l’on calcule est également appelé 2 observé. On le note : 2Obs  (effectifs observés – effectifs théoriques)2 effectif théorique

19 Problème Quand un 2 est-il grand ? 2=2, 2=5,3

20 DDL=(Nombre de colonnes-1)x(Nombre de lignes-1)
DDL=Degré de liberté DDL=(Nombre de colonnes-1)x(Nombre de lignes-1) DDL = (2-1)x(2-1) = DDL=(4-1)x(3-1)=6

21 Lecture de la table Cette table permet de lire le 2 théorique (qu’on note 2Th) Au risque 10%, DDL 1, 2Th =2,706 Au risque 5% DDL 3, 2Th =7,815

22 Conclusion RAPPEL : Si le 2 observé est grand, on peut rejeter H0
Formellement : si le 2 observé est plus grand que le 2 théorique, cela signifie qu’il est grand et qu’on peut rejeter H0 si 2Obs <2Th, cela signifie que le 2 observé est petit et qu’on ne peut pas rejeter H0 2Obs >2Th => On rejette H0 2Obs <2Th => On ne rejette pas H0

23 On peut rejeter H0, il y a un lien entre C. Cheveux et C. Yeux
Conclusion Exemple sexe / réussite : 2Obs=0,63 DDL=1 Au risque 5% : 2Th=3,841 On ne peut pas conclure car le 2 observé est plus petit que le 2 théorique : On ne peut pas rejeter H0 Exemple C. Cheveux / C. Yeux : 2Obs=15,05 DDL=6 Au risque 5% : 2Th=12,592 On peut conclure car le 2 observé est plus grand que le 2 théorique : On peut rejeter H0, il y a un lien entre C. Cheveux et C. Yeux

24 Écarts au carré pondérés
Interprétation 2Obs=15,05 : le 2Obs, est grand. Pourquoi ? Écarts au carré pondérés Parce que Blond / Bleus = 5,11 et que Noir / Bleus = 2, Ces deux cases « apportent » beaucoup au 2

25 Écarts au carré pondérés
Interprétation Cases sur et sous représentées : Écarts au carré pondérés Sur le tableau des écarts, Blonds / Bleus = 9 : il y en a beaucoup On dit qu’ils sont sur-représentés Sur le tableau des écarts, Noirs / Bleus = -4,5 : il en manque beaucoup On dit qu’ils sont sous-représentés