Julien Diard — LPNC-CNRS Cours M2R Sciences Cognitives, « Cognition bayésienne » — 2009 Comparaison et sélection Bayésienne de modèles Julien Diard Laboratoire.

Présentation au sujet: "Julien Diard — LPNC-CNRS Cours M2R Sciences Cognitives, « Cognition bayésienne » — 2009 Comparaison et sélection Bayésienne de modèles Julien Diard Laboratoire."— Transcription de la présentation:

1 Julien Diard — LPNC-CNRS Cours M2R Sciences Cognitives, « Cognition bayésienne » — 2009 Comparaison et sélection Bayésienne de modèles Julien Diard Laboratoire de Psychologie et NeuroCognition – CNRS UE Cognition bayésienne 30/11/2009 http://diard.wordpress.comhttp://diard.wordpress.com Julien.Diard@upmf-grenoble.fr

2 Julien Diard — LPNC-CNRS Cours M2R Sciences Cognitives, « Cognition bayésienne » — 2009 Plan Modélisation : choix des variables Comparaison et sélection de modèles –Cadre général : fit, complexité, capacité de généralisation –Méthodes de validation croisée –Apparté : mesures de distance entre distribution de probabilités Sélection bayésienne de modèles –Sélection probabiliste vs. Bayésienne –Tel monsieur Jourdain… un exemple –Apparté : vocabulaire –Sélection « bayésienne » de modèles : AIC, BIC, MDL, BMS –Sélection bayésienne de modèles Questions ouvertes 2

3 Julien Diard — LPNC-CNRS Cours M2R Sciences Cognitives, « Cognition bayésienne » — 2009 Plan Modélisation : choix des variables Comparaison et sélection de modèles –Cadre général : fit, complexité, capacité de généralisation –Méthodes de validation croisée –Apparté : mesures de distance entre distribution de probabilités Sélection bayésienne de modèles –Sélection probabiliste vs. Bayésienne –Tel monsieur Jourdain… un exemple –Apparté : vocabulaire –Sélection « bayésienne » de modèles : AIC, BIC, MDL, BMS –Sélection bayésienne de modèles Questions ouvertes 3

4 Julien Diard — LPNC-CNRS Cours M2R Sciences Cognitives, « Cognition bayésienne » — 2009 Importance des variables cachées 4

5 Julien Diard — LPNC-CNRS Cours M2R Sciences Cognitives, « Cognition bayésienne » — 2009 Modélisation d’une série temporelle 5

6 Julien Diard — LPNC-CNRS Cours M2R Sciences Cognitives, « Cognition bayésienne » — 2009 P(  y) 6

7 Julien Diard — LPNC-CNRS Cours M2R Sciences Cognitives, « Cognition bayésienne » — 2009 Variable cachée V1 = {Bleu, Rouge} V1=RV1=B 7

8 Julien Diard — LPNC-CNRS Cours M2R Sciences Cognitives, « Cognition bayésienne » — 2009 P(  y | [V1=R]) P(  y | [V1=B]) 8

9 Julien Diard — LPNC-CNRS Cours M2R Sciences Cognitives, « Cognition bayésienne » — 2009 V2 = {Bleu, Rouge} [V1=R] [V1=B] P(  y | [V1=R] [V2=R]) P(  y | [V1=R] [V2=B]) P(  y | [V1=B] [V2=R]) P(  y | [V1=B] [V2=B]) 9

10 Julien Diard — LPNC-CNRS Cours M2R Sciences Cognitives, « Cognition bayésienne » — 2009 Digression : entropie Déf : Exemple : [Shannon, 1948] 10

11 Julien Diard — LPNC-CNRS Cours M2R Sciences Cognitives, « Cognition bayésienne » — 2009 Exemple 2 : P(X), X = {-1, 0, 1} 11

12 Julien Diard — LPNC-CNRS Cours M2R Sciences Cognitives, « Cognition bayésienne » — 2009 Variables cachées, connaissance et entropie Théorème : Les variables cachées apportent de l’information P(  y | [V1=B] [V2=B]) P(  y) 12

13 Julien Diard — LPNC-CNRS Cours M2R Sciences Cognitives, « Cognition bayésienne » — 2009 Prédiction de la prochaine valeur ? P(  y) P(  y | [V1=B] [V2=B]) 13

14 Julien Diard — LPNC-CNRS Cours M2R Sciences Cognitives, « Cognition bayésienne » — 2009 Pour 2007, [V1=B] et [V2=B] 14

15 Julien Diard — LPNC-CNRS Cours M2R Sciences Cognitives, « Cognition bayésienne » — 2009 Plan Modélisation : choix des variables Comparaison et sélection de modèles –Cadre général : fit, complexité, capacité de généralisation –Méthodes de validation croisée –Apparté : mesures de distance entre distribution de probabilités Sélection bayésienne de modèles –Sélection probabiliste vs. Bayésienne –Tel monsieur Jourdain… un exemple –Apparté : vocabulaire –Sélection « bayésienne » de modèles : AIC, BIC, MDL, BMS –Sélection bayésienne de modèles Questions ouvertes 15

16 Julien Diard — LPNC-CNRS Cours M2R Sciences Cognitives, « Cognition bayésienne » — 2009 Sources 16

17 Julien Diard — LPNC-CNRS Cours M2R Sciences Cognitives, « Cognition bayésienne » — 2009 Devinette n° 1 Quel est le suivant ? –{1, 3, 5, 7, 9, 11, ?} –{1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ?} –{0, 4, 7, 6, 8, 2, 5, 8, 9, 3, ?} 17

18 Julien Diard — LPNC-CNRS Cours M2R Sciences Cognitives, « Cognition bayésienne » — 2009 Réponses –{1, 3, 5, 7, 9, 11, ?}  42 –{1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ?}  42 –{0, 4, 7, 6, 8, 2, 5, 8, 9, 3, ?}  42 18

19 Julien Diard — LPNC-CNRS Cours M2R Sciences Cognitives, « Cognition bayésienne » — 2009 Devinette n° 2 Combien de méthodes pour définir une relation mathématique ? 19

20 Julien Diard — LPNC-CNRS Cours M2R Sciences Cognitives, « Cognition bayésienne » — 2009 Combien de méthodes pour définir une relation mathématique ? –Par fonction analytique f E  F x |  f(x) –Par extension Ensemble de points (pas pratique pour un ensemble infini) 20

21 Julien Diard — LPNC-CNRS Cours M2R Sciences Cognitives, « Cognition bayésienne » — 2009 Quelle méthode pour la devinette ? Passage de points à une fonction Utilisation de la fonction pour prédire le point suivant ≅ Modélisation 21

22 Julien Diard — LPNC-CNRS Cours M2R Sciences Cognitives, « Cognition bayésienne » — 2009 Précaution Toute l’activité scientifique n’est pas que la modélisation –Modèle vs. Théorie –Modèle vs. Expérience 22

23 Julien Diard — LPNC-CNRS Cours M2R Sciences Cognitives, « Cognition bayésienne » — 2009 Modélisation Définition d’une classe de modèles Sélection du modèle –Qui maximise une mesure donnée Méthode très générale ! –Machine learning Réseau de neurone Algorithmes génétiques Apprentissage bayésien –Curve fitting –Optimisation –Regression 23 modélisation data set set of models set of parameters

24 Julien Diard — LPNC-CNRS Cours M2R Sciences Cognitives, « Cognition bayésienne » — 2009 Mesures de qualité de modèles Falsifiability –Existe-t-il des observations incompatibles ? Explanatory adequacy –Make sense of the data but also of established findings Interpretability –Réifiabilité : les paramètres sont liés à d’autres processus Faithfulness –La qualité du modèle vient de sa structure, pas de propriétés du calcul, de la simulation Goodness of fit Complexity (or simplicity) Generalizability 24 (Myung 03) (Léna Soler, Introduction à l’épistémologie, Ellipses, 2000)

25 Julien Diard — LPNC-CNRS Cours M2R Sciences Cognitives, « Cognition bayésienne » — 2009 Mesures de qualité de fit Residual Pourcentage de la variance –Percent variance accounted for PVAF Root mean square deviation RMSD = root mean square error RMSE 25

26 Julien Diard — LPNC-CNRS Cours M2R Sciences Cognitives, « Cognition bayésienne » — 2009 Mesures de qualité de fit Correlation coefficient R 2 –Pearson’s sample correlation coefficient –Simple correlation coefficient –Cross-correlation coefficient –Product-moment coefficient Formes multidimensionnelles –Matricielles –Multiple Correlation Coefficient R 26

27 Julien Diard — LPNC-CNRS Cours M2R Sciences Cognitives, « Cognition bayésienne » — 2009 Correlation coefficient 27

28 Julien Diard — LPNC-CNRS Cours M2R Sciences Cognitives, « Cognition bayésienne » — 2009 Correlation coefficient r = 0.816 Explorer les données ! 28

29 Julien Diard — LPNC-CNRS Cours M2R Sciences Cognitives, « Cognition bayésienne » — 2009 Fit vs complexity Fit to regularity –Intéressant à modéliser Fit to experimental noise –Pas intéressant 29

30 Julien Diard — LPNC-CNRS Cours M2R Sciences Cognitives, « Cognition bayésienne » — 2009 Théorème Par n points passe un unique polynôme de degré n-1 –n points (ou contraintes) –Polynôme degré n-1 a n paramètres f(x) = ax 2 + bx + c Par deux points passe une unique droite Par trois points passe une unique parabole 30

31 Julien Diard — LPNC-CNRS Cours M2R Sciences Cognitives, « Cognition bayésienne » — 2009 Théorème Par n points passe un unique polynôme de degré n-1 Idem –développement limité de Taylor –Transformée de Fourier avec assez de paramètres, on approxime tout 31

32 Julien Diard — LPNC-CNRS Cours M2R Sciences Cognitives, « Cognition bayésienne » — 2009 Fit vs complexity 32

33 Julien Diard — LPNC-CNRS Cours M2R Sciences Cognitives, « Cognition bayésienne » — 2009 Complexité d’un modèle = Nombre de paramètres + Forme fonctionnelle –M1 : y = sin(cos(ax)) a exp(-bx)/x b –M2 : y = ax b –M3 : y = ax + b 33 a=12 b=1

34 Julien Diard — LPNC-CNRS Cours M2R Sciences Cognitives, « Cognition bayésienne » — 2009 Fonctionnelle de Tikhonov Mesure à minimiser –R(M, Δ) = G M (Δ) + λ H(M) –G M (Δ) mesure de fit –H(M) mesure de complexité (indépendante de Δ) –λ : poids relatif Compromis à résoudre : complexity regularization (central en machine learning) 34

35 Julien Diard — LPNC-CNRS Cours M2R Sciences Cognitives, « Cognition bayésienne » — 2009 35

36 Julien Diard — LPNC-CNRS Cours M2R Sciences Cognitives, « Cognition bayésienne » — 2009 Generalizability 36

37 Julien Diard — LPNC-CNRS Cours M2R Sciences Cognitives, « Cognition bayésienne » — 2009 Mesure de generalisation –Mesure de la divergence moyenne (discrepancy) entre un modèle M et le vrai modèle M T –Mesure de divergence entre distribution de probabilité D –D(f,g) > D(f,f)=0 si f ≠ g 37

38 Julien Diard — LPNC-CNRS Cours M2R Sciences Cognitives, « Cognition bayésienne » — 2009 Mesure de generalisation Mesure de la divergence moyenne (discrepancy) entre un modèle M et le vrai modèle M T M T est évidemment inconnu 38

39 Julien Diard — LPNC-CNRS Cours M2R Sciences Cognitives, « Cognition bayésienne » — 2009 Plan Modélisation : choix des variables Comparaison et sélection de modèles –Cadre général : fit, complexité, capacité de généralisation –Méthodes de validation croisée –Apparté : mesures de distance entre distribution de probabilités Sélection bayésienne de modèles –Sélection probabiliste vs. Bayésienne –Tel monsieur Jourdain… un exemple –Apparté : vocabulaire –Sélection « bayésienne » de modèles : AIC, BIC, MDL, BMS –Sélection bayésienne de modèles Questions ouvertes 39

40 Julien Diard — LPNC-CNRS Cours M2R Sciences Cognitives, « Cognition bayésienne » — 2009 Cross-validation (CV) Estimer la généralisation du modèle sans connaître le vrai modèle –Partitionner les données Δ –Identification de paramètres sur la partie calibration –Estimation de la capacité de généralisation sur la partie validation 40

41 Julien Diard — LPNC-CNRS Cours M2R Sciences Cognitives, « Cognition bayésienne » — 2009 Méthodes de CV Split-sample, hold-out method Split-half cross-validation –Coupe en deux Δ = Δ 1, Δ 2 –Estime les paramètres sur Δ 1 –Calcule l’erreur de prédiction sur Δ 2  e 1 –Intervertir Δ 1, Δ 2, recommencer  e 2 Validation croisée –Erreur de prédiction finale : moyenne des erreurs de prédiction (e 1 + e 2 ) / 2 41

42 Julien Diard — LPNC-CNRS Cours M2R Sciences Cognitives, « Cognition bayésienne » — 2009 Méthodes de CV Leave-one-out cross-validation –Découper en n-1 données pour l’identification, et 1 donnée pour l’erreur de prédiction –Répéter n fois –Erreur de prédiction moyenne sur les n étapes 42

43 Julien Diard — LPNC-CNRS Cours M2R Sciences Cognitives, « Cognition bayésienne » — 2009 Méthodes de CV K-fold cross-validation –K blocs de taille n/K –Données pour l’identification : K-1 blocs (taille n-n/K) –Données pour la prédiction : 1 bloc (taille n/K) –Idem leave-n/K-out –Choix de K change le résultat 43

44 Julien Diard — LPNC-CNRS Cours M2R Sciences Cognitives, « Cognition bayésienne » — 2009 Méthode de CV Bootstrapping –Tirage avec replacement  subsamples au lieu de subsets des données –.632+ bootstrap method 63,2 % de Δ pour l’identification 44

45 Julien Diard — LPNC-CNRS Cours M2R Sciences Cognitives, « Cognition bayésienne » — 2009 Critique de la CV Large training set  overfitting Small training set  underfitting Trouver le bon découpage –même problème que trouver la bonne pondération dans la fonctionnelle de Tikhonov Rien résolu (mais facile à coder) 45

46 Julien Diard — LPNC-CNRS Cours M2R Sciences Cognitives, « Cognition bayésienne » — 2009 Plan Modélisation : choix des variables Comparaison et sélection de modèles –Cadre général : fit, complexité, capacité de généralisation –Méthodes de validation croisée –Apparté : mesures de distance entre distribution de probabilités Sélection bayésienne de modèles –Sélection probabiliste vs. Bayésienne –Tel monsieur Jourdain… un exemple –Apparté : vocabulaire –Sélection « bayésienne » de modèles : AIC, BIC, MDL, BMS –Sélection bayésienne de modèles Questions ouvertes 46

47 Julien Diard — LPNC-CNRS Cours M2R Sciences Cognitives, « Cognition bayésienne » — 2009 Mesures de distances entre distributions de probabilités Déf : Une métrique est une fonction g non-négative telle que –Inégalité triangulaire g(x,y)+g(y,z) ≥ g(x,z) –Symétrique g(x,y) = g(y,x) –g(x,x) = 0 –g(x,y) = 0 => x = y 47

48 Julien Diard — LPNC-CNRS Cours M2R Sciences Cognitives, « Cognition bayésienne » — 2009 Mesures de distances entre distributions de probabilités Kullback-Leibler –Distance / divergence de Kullback-Leibler –KL divergence –Information gain –Relative entropy Cross entropy Mutual information 48

49 Julien Diard — LPNC-CNRS Cours M2R Sciences Cognitives, « Cognition bayésienne » — 2009 KL divergence Pas une mesure de distance –D(p,q) ≠ D(q,p) –D(p,q) > 0 pour tout p,q –D(p,q) = 0 ssi p k = q k pour tout k 49

50 Julien Diard — LPNC-CNRS Cours M2R Sciences Cognitives, « Cognition bayésienne » — 2009 Cross entropy Entropie H(p), cross-entropie H(p,q) Relation avec la KL divergence 50

51 Julien Diard — LPNC-CNRS Cours M2R Sciences Cognitives, « Cognition bayésienne » — 2009 Mutual information mesurée en bits I(X,Y) = I(Y,X) I(X,Y) ≥ 0 51

52 Julien Diard — LPNC-CNRS Cours M2R Sciences Cognitives, « Cognition bayésienne » — 2009 Plan Modélisation : choix des variables Comparaison et sélection de modèles –Cadre général : fit, complexité, capacité de généralisation –Méthodes de validation croisée –Apparté : mesures de distance entre distribution de probabilités Sélection bayésienne de modèles –Sélection probabiliste vs. Bayésienne –Tel monsieur Jourdain… un exemple –Apparté : vocabulaire –Sélection « bayésienne » de modèles : AIC, BIC, MDL, BMS –Sélection bayésienne de modèles Questions ouvertes 52

53 Julien Diard — LPNC-CNRS Cours M2R Sciences Cognitives, « Cognition bayésienne » — 2009 En modélisation probabiliste Un modèle –Point expérimental δ = {x,y} –P(δ) = P(y | x) P(x) –P(δ | θ 1 ) = P(y | x θ 1 ) P(x | θ 1 ) –P(δ | θ 1 m 1 ) = P(y | x θ 1 m 1 ) P(x | θ 1 m 1 ) 53

54 Julien Diard — LPNC-CNRS Cours M2R Sciences Cognitives, « Cognition bayésienne » — 2009 En modélisation probabiliste Plusieurs modèles –Espace de paramètres Θ = {θ 1, θ 2, …} –Classe des modèles M = {m 1, m 2, …} –Un modèle : P(y | x [Θ = θ 1 ] [M = m 1 ]) Méta-modèle, modèle hiérarchique –P(Δ Θ M) = P(δ i Θ M) = P(x y Θ M) = P(y | x Θ M) P(x | Θ M) P(Θ | M) P(M) 54

55 Julien Diard — LPNC-CNRS Cours M2R Sciences Cognitives, « Cognition bayésienne » — 2009 Mesure de comparaison des modèles Probabilité d’un modèle m 1, au vu de données expérimentales Δ –P(Δ Θ M) = P(δ i Θ M) = P(x y Θ M) = P(y | x Θ M) P(x | Θ M) P(Θ | M) P(M) = P(δ i | Θ M) P(Θ | M) P(M) 55

56 Julien Diard — LPNC-CNRS Cours M2R Sciences Cognitives, « Cognition bayésienne » — 2009 56 Soient –Un seul modèle M –D = {d 1, …, d n }, un ensemble de données expérimentales –  un ensemble de paramètres de M Quel est le modèle le plus probable, au vu des données ? (Règle de Bayes) (Hyp i.i.d.)

57 Julien Diard — LPNC-CNRS Cours M2R Sciences Cognitives, « Cognition bayésienne » — 2009 57 Si P(  ) = uniforme – Modèle de maximum de vraisemblance Maximum Likelihood (MLE) Si P(  )  uniforme –Modèle = prior  vraisemblance Modèle de maximum a posteriori (MAP) Modèle bayésien Posterior Prior Vraisemblance

58 Julien Diard — LPNC-CNRS Cours M2R Sciences Cognitives, « Cognition bayésienne » — 2009 Goodness of fit en probabilités Maximiser la vraisemblance P(Δ | Θ M) P(Δ | Θ M) = Π i P(δ i | Θ M) max P(Δ | Θ M) = max log P(Δ | Θ M) = max log Π i P(δ i | Θ M) = max Σ i log P(δ i | Θ M) 58

59 Julien Diard — LPNC-CNRS Cours M2R Sciences Cognitives, « Cognition bayésienne » — 2009 Plan Modélisation : choix des variables Comparaison et sélection de modèles –Cadre général : fit, complexité, capacité de généralisation –Méthodes de validation croisée –Apparté : mesures de distance entre distribution de probabilités Sélection bayésienne de modèles –Sélection probabiliste vs. Bayésienne –Tel monsieur Jourdain… un exemple –Apparté : vocabulaire –Sélection « bayésienne » de modèles : AIC, BIC, MDL, BMS –Sélection bayésienne de modèles Questions ouvertes 59

60 Julien Diard — LPNC-CNRS Cours M2R Sciences Cognitives, « Cognition bayésienne » — 2009 60 Tel monsieur Jourdain… Un phénomène génère des couples x,y Un modèle –prédit y = F(x), F linéaire, F = ax + b –autorise du « bruit » dans les mesures On observe D = {d x1, …, d xn } Question –Quels sont les paramètres a, b les plus probables ?

61 Julien Diard — LPNC-CNRS Cours M2R Sciences Cognitives, « Cognition bayésienne » — 2009 61 Tel monsieur Jourdain…

62 Julien Diard — LPNC-CNRS Cours M2R Sciences Cognitives, « Cognition bayésienne » — 2009 62 Tel monsieur Jourdain…

63 Julien Diard — LPNC-CNRS Cours M2R Sciences Cognitives, « Cognition bayésienne » — 2009 Moindre carrés de l’erreur Comme –un Réseau de Neurones & Backpropagation (Mitchell 95, p167) –Une régression linéaire –… 63

64 Julien Diard — LPNC-CNRS Cours M2R Sciences Cognitives, « Cognition bayésienne » — 2009 64 Least square fitting sur Mathworld http://mathworld.wolfram.com

65 Julien Diard — LPNC-CNRS Cours M2R Sciences Cognitives, « Cognition bayésienne » — 2009 65 Pour aller plus loin… Inférence dans les cas non-linéaires Moindres carrés Bayésien Espace de modèles –  = {3x+2, 4x 3 -2x 2 +4} Priors hiérarchiques –P(  |  ) Rasoir d’Occam automatique…

66 Julien Diard — LPNC-CNRS Cours M2R Sciences Cognitives, « Cognition bayésienne » — 2009 Plan Modélisation : choix des variables Comparaison et sélection de modèles –Cadre général : fit, complexité, capacité de généralisation –Méthodes de validation croisée –Apparté : mesures de distance entre distribution de probabilités Sélection bayésienne de modèles –Sélection probabiliste vs. Bayésienne –Tel monsieur Jourdain… un exemple –Apparté : vocabulaire –Sélection « bayésienne » de modèles : AIC, BIC, MDL, BMS –Sélection bayésienne de modèles Questions ouvertes 66

67 Julien Diard — LPNC-CNRS Cours M2R Sciences Cognitives, « Cognition bayésienne » — 2009 Odds, posterior odds, evidence Un modèle à 2 cas : –Une hypothèse H, et 67

68 Julien Diard — LPNC-CNRS Cours M2R Sciences Cognitives, « Cognition bayésienne » — 2009 Odds, posterior odds, evidence Odds, log odds (stats) Posterior odds Odds en bijection avec p 68

69 Julien Diard — LPNC-CNRS Cours M2R Sciences Cognitives, « Cognition bayésienne » — 2009 Evidence Evidence en bijection avec p 69 Odds, posterior odds, evidence

70 Julien Diard — LPNC-CNRS Cours M2R Sciences Cognitives, « Cognition bayésienne » — 2009 Odds, posterior odds, evidence 70

71 Julien Diard — LPNC-CNRS Cours M2R Sciences Cognitives, « Cognition bayésienne » — 2009 Plan Modélisation : choix des variables Comparaison et sélection de modèles –Cadre général : fit, complexité, capacité de généralisation –Méthodes de validation croisée –Apparté : mesures de distance entre distribution de probabilités Sélection bayésienne de modèles –Sélection probabiliste vs. Bayésienne –Tel monsieur Jourdain… un exemple –Apparté : vocabulaire –Sélection « bayésienne » de modèles : AIC, BIC, MDL, BMS –Sélection bayésienne de modèles Questions ouvertes 71

72 Julien Diard — LPNC-CNRS Cours M2R Sciences Cognitives, « Cognition bayésienne » — 2009 Identification de paramètres vs Sélection de modèles Identification de paramètres  learning –P(θ | Δ) –P(θ | Δ M) Sélection de modèle –P(M θ | Δ) –P(M | Δ) 72

73 Julien Diard — LPNC-CNRS Cours M2R Sciences Cognitives, « Cognition bayésienne » — 2009 Comparaison de modèles Basés sur la vraisemblance –AIC Akaike Information Criterion –BIC Bayesian Information Criterion –MDL Minimum Description Length –BMS Bayesian Model Selection 73

74 Julien Diard — LPNC-CNRS Cours M2R Sciences Cognitives, « Cognition bayésienne » — 2009 AIC avec k le nombre de paramètres Modèle M qui minimise la mesure AIC Fonctionnelle de Tikhonov –AIC = lack of fit + complexity Dérive de l’approximation pour de larges ensembles de données de la KL divergence 74

75 Julien Diard — LPNC-CNRS Cours M2R Sciences Cognitives, « Cognition bayésienne » — 2009 BIC avec –k le nombre de paramètres –n le nombre de données Dérive de l’approximation pour de larges ensembles de données de la Bayesian Model Selection 75

76 Julien Diard — LPNC-CNRS Cours M2R Sciences Cognitives, « Cognition bayésienne » — 2009 MDL avec –k le nombre de paramètres –n le nombre de données –I(θ) la matrice d’information de Fisher Matrice des espérances des log des dérivées partielles de la vraisemblance selon les dimensions –|.| le déterminant de la matrice 76

77 Julien Diard — LPNC-CNRS Cours M2R Sciences Cognitives, « Cognition bayésienne » — 2009 MDL Mesure de complexité qui prend en compte la forme fonctionnelle Provient de la théorie de l’information –Compression des données Δ par modèle + déviation 77

78 Julien Diard — LPNC-CNRS Cours M2R Sciences Cognitives, « Cognition bayésienne » — 2009 BMS Vraisemblance –P(Δ | θ M) Vraisemblance marginale –P(Δ | M) = Σ θ P(Δ | θ M) P(θ | M) 78

79 Julien Diard — LPNC-CNRS Cours M2R Sciences Cognitives, « Cognition bayésienne » — 2009 Bayesian model selection Attention –BMS Bayesian model selection –BMS Bootstrap model selection 79

80 Julien Diard — LPNC-CNRS Cours M2R Sciences Cognitives, « Cognition bayésienne » — 2009 Plan Modélisation : choix des variables Comparaison et sélection de modèles –Cadre général : fit, complexité, capacité de généralisation –Méthodes de validation croisée –Apparté : mesures de distance entre distribution de probabilités Sélection bayésienne de modèles –Sélection probabiliste vs. Bayésienne –Tel monsieur Jourdain… un exemple –Apparté : vocabulaire –Sélection « bayésienne » de modèles : AIC, BIC, MDL, BMS –Sélection bayésienne de modèles Questions ouvertes 80

81 Julien Diard — LPNC-CNRS Cours M2R Sciences Cognitives, « Cognition bayésienne » — 2009 « vraie » Bayesian model selection Prior sur M uniforme ou pas Prior sur les paramètres θ uniformes ou pas 81

82 Julien Diard — LPNC-CNRS Cours M2R Sciences Cognitives, « Cognition bayésienne » — 2009 Bayesian model selection Intégrale sur l’espace des paramètres –MAP si on la fait –méthodes de Monte-Carlo (voire, méthode de Gibbs (Mitchell 95)) si on tire aléatoirement dans θ pour approximer Gibbs sampling Metropolis-Hastings Random walk methods –Approximation du log vraisemblance autour de BMSL Bayesian Model Selection Laplace approximation 82

83 Julien Diard — LPNC-CNRS Cours M2R Sciences Cognitives, « Cognition bayésienne » — 2009 Bayes Factor Extension du odds Ratio de vraisemblances marginales si prior uniforme sur M –P(M 1 ) = P(M 2 ) 83

84 Julien Diard — LPNC-CNRS Cours M2R Sciences Cognitives, « Cognition bayésienne » — 2009 Bayesian Model Selection –n’a pas la forme d’une fonctionnelle de Tikhonov –et pourtant, mesure la complexité des M 84

85 Julien Diard — LPNC-CNRS Cours M2R Sciences Cognitives, « Cognition bayésienne » — 2009 BMS et mesure de complexité « Occam automatique » : intuition Si et P(Δ | θ) concentré autour de –Alors P(θ 2 | Δ) pénalisé par la normalisation sur Θ 2 (espace plus grand) 85

86 Julien Diard — LPNC-CNRS Cours M2R Sciences Cognitives, « Cognition bayésienne » — 2009 Rasoir d’Occam automatique 86 MacKay, 03

87 Julien Diard — LPNC-CNRS Cours M2R Sciences Cognitives, « Cognition bayésienne » — 2009 Plan Modélisation : choix des variables Comparaison et sélection de modèles –Cadre général : fit, complexité, capacité de généralisation –Méthodes de validation croisée –Apparté : mesures de distance entre distribution de probabilités Sélection bayésienne de modèles –Sélection probabiliste vs. Bayésienne –Tel monsieur Jourdain… un exemple –Apparté : vocabulaire –Sélection « bayésienne » de modèles : AIC, BIC, MDL, BMS –Sélection bayésienne de modèles 3 Questions ouvertes 87

88 Julien Diard — LPNC-CNRS Cours M2R Sciences Cognitives, « Cognition bayésienne » — 2009 Distinguabilité des modèles Sélectionner un modèle, ok Boucle expérimentale –où prendre la prochaine donnée expérimentale ? –Notion d’expérience cruciale (discriminante) Distinguer les modèles 88 modélisation data set set of models set of parameters ?

89 Julien Diard — LPNC-CNRS Cours M2R Sciences Cognitives, « Cognition bayésienne » — 2009 Distinguabilité des modèles Modèle de distinguabilité –Extension du méta-modèle de fit –P(Δ Θ M) = P(y | x Θ M) P(x | Θ M) P(Θ | M) P(M) 89

90 Julien Diard — LPNC-CNRS Cours M2R Sciences Cognitives, « Cognition bayésienne » — 2009 Distinguabilité des modèles 90

91 Julien Diard — LPNC-CNRS Cours M2R Sciences Cognitives, « Cognition bayésienne » — 2009 Question ouverte Deux problèmes inverses –Perception Phénomène = f -1 (stimuli) –Modélisation Modèle = f -1 (observations) Doit-on conclure que le cerveau construit des modèles comme un scientifique le fait ? Le cerveau est-il bayésien ? 91

92 Julien Diard — LPNC-CNRS Cours M2R Sciences Cognitives, « Cognition bayésienne » — 2009 Question ouverte Pourquoi 42 ? 92

93 Julien Diard — LPNC-CNRS Cours M2R Sciences Cognitives, « Cognition bayésienne » — 2009 Merci de votre attention ! Questions ?