Équations trigonométriques

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1 Équations trigonométriques
Équations élémentaires

2 Deux angles ont même sinus
sin x = sin a ils sont ssi équivalents supplémentaires x = 180° - a +k.360° x = a + k.360°

3 Deux angles ont même cosinus
cos x = cos a ils sont ssi équivalents opposés x = a + k.360°

4 Deux angles ont même tangente
tan x = tan a ils sont ssi équivalents anti supplémentaires x = a + k.180° C.E. : x  90° + k. 180°

5 Angles supplémentaires
Exemple 1 Angles équivalents Angles supplémentaires

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8 Équations trigonométriques
Équations élémentaires Équations et angles associés

9 - sin a - cos a Rappels sur les angles associés = sin (-a)
par les  opposés - cos a par les  supplémentaires = cos (-a) par les  complémentaires sin a = cos ( -a)

10 sin x = sin (π/2 - 2x ) x = π/2 - 2x 3x = π/2 + 2kπ x = π/6 + 2kπ/3
Exemple 2 : Par la méthode des angles complémentaires Solution en utilisant le sinus sin x = sin (π/2 - 2x ) x = π/2 - 2x 3x = π/2 + 2kπ x = π/6 + 2kπ/3 x = π – (π/2 - 2x) -x = π/2 + 2kπ x = -π/2 + 2kπ

11 Solution en utilisant le cosinus
cos (/2 – x) = cos 2x /2 – x = 2x x = /2 + 2k x = /6 + 2k/ (/2 – x) = 2x x = -/2 + 2k

12 Équations trigonométriques
Équations élémentaires Équations et angles associés Équations et formules de trigonométrie

13 mise en évidence de 2 sin x
Exemple 3 : En utilisant les formules de duplication 2 sin x . cos x = 2 sin x mise en évidence de 2 sin x 2 sin x . ( cos x – 1) = 0 En utilisant la règle du produit nul  x = k sin x = 0 cos x = 1  x = 2k  S = { k  , k Z }

14 Exemple 4 : En utilisant Simpson Nous devons donc résoudre 2 sin 3x cos x = 0 sin 3x = 0  3x = k  x = k cos x = 0  x = k/2

15 k/2 2/3 /3 k = 0 : x = 0 k = 1 : x = /3  k = 2 : x =2/3 4/3 5/3 k = 3 : x =  3/2 k = 4 : x = 4/3 K = 5 : x = 5/3

16 En utilisant les angles associés
sin 4x = - sin 2x sin 4x = sin (-2x) Angles équivalents Angles supplémentaires 4x = -2x + 2k 4x =  - (-2x) + 2k 2x =  + 2k 6x = 2k x = /2+ k x = k/3 S = { k/3 , k /2 }

17 k/2 2/3 /3   4/3 5/3 3/2

18 S = -/2 +2k ; /6 +2k ; 5/6 +2k , kZ 
sin x = cos 2x Exemple 5 : En utilisant les formules de Carnot cos 2x = 1 – 2sin2 x sin x = 1 – 2 sin² x équation du second degré en sin x 2 sin² x + sin x – 1 = 0 2 X2 + X – 1 = 0 X = -1 = sin x X = -1/2 = sin x S = -/2 +2k ; /6 +2k ; 5/6 +2k , kZ 

19 sin x = sin (π/2 - 2x ) x = π/2 - 2x 3x = π/2 + 2kπ x = π/6 + 2kπ/3
Exemple 5 : Par la méthode des angles complémentaires Solution en utilisant le sinus sin x = sin (π/2 - 2x ) x = π/2 - 2x 3x = π/2 + 2kπ x = π/6 + 2kπ/3 x = π – (π/2 - 2x) -x = π/2 + 2kπ x = -π/2 + 2kπ

20 Exemple 6 : sin x + sin 2x + sin 3x = 0

21 Exemple 7: cos 2x +9 cos x +5 = 0 On remarque que les angles ne sont pas les mêmes! On transforme donc l’énoncé: On obtient une équation du second degré qui ne pose aucune difficulté ! Les solutions sont :

22 Équations trigonométriques
Équations élémentaires Équations et angles associés Équations et formules de trigonométrie Equations homogènes en sin x et cos x

23 Equations homogènes en sin x et cos x
Une équation est homogène en sin x et cos x, de degré n si, pour chacun de ses termes, la somme des puissances de sin x et de cos x égale n.

24 haute puissance de cos x (ou de sin x);
Pour résoudre une équation homogène en sin x et cos x dont les termes ne comportent plus aucun facteur commun en cos x ou en sin x, • on divise les deux membres de l’équation par la plus haute puissance de cos x (ou de sin x); on vérifiera que les solutions de cos x = 0 (ou de sin x = 0) ne sont pas des solutions de l’équation homogène; • on prend ensuite tan x (ou cot x) comme inconnue auxiliaire ; • on résout l’équation en tan x (ou cot x) obtenue.

25 Exemple 8: cos3 x − 3 sin2x cos x = 0
cos x = 0 ( x = ) n’est pas solution: en effet,

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27 Équations trigonométriques
Équations élémentaires Équations et angles associés Équations et formules de trigonométrie Equations homogènes en sin x et cos x a cos x + b sin x = c

28 Première méthode 1er cas : c = 0 2ième cas : c est différent de 0

29 L’équation s’écrit a cos x + b sin x = 0
1er cas : c = 0 L’équation s’écrit a cos x + b sin x = 0 Elle est homogène et cos x = 0 n’est pas solution ! On est ramené à une équation élémentaire

30 L’équation s’écrit a cos x + b sin x = c
2ième cas : c est non nul L’équation s’écrit a cos x + b sin x = c On pose valeurs particulières

31 Méthode générale On remplace sinx et cos x par les formules
en t=tan a/2. L’équation se transforme en une équation rationnelle en la variable t: a+c 0