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Du point A on veut placer le vecteur w = 4 u + 2v
w = 4 u + 2v A V u
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Du point A on place le vecteur : u
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puis le vecteur : 2 u A u u V u
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puis le vecteur : 3 u A u u u V u
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enfin le vecteur : 4 u A u u u u V u
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maintenant le vecteur : v
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Et le vecteur : 2 v V V A u u u u V u
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Voici les vecteurs 4 u et 2 v 2 V A 4 u V u
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Pour faire leur somme on applique la règle du parallélogramme
2 V A 4 u V u
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Le vecteur en rouge est : W = 4 u + 2 v
W = 4 u v W = 4 u v 2 V A 4 u V u
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On trace deux axes W = 4 u v 2 V A 4 u V u
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Que l’on nomme (ox) et (Oy)
W = 4 u v 2 V A 4 u V O x u
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W = AB y B W = 4 u v 2 V A 4 u V O x u
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On vient de construire un repère
u et v sont appelés vecteurs unitaires y B W 2 V A 4 u V O x u
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Calculons OA en fonction de u et v
Calculons OA en fonction de u et v y B W 2 V A 4 u V O x u
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La règle du parallélogramme donne OA = 2 u + 3 v y
OA = 2 u v y B W 3V A V O x u 2u
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On fait de même avec le vecteur : OB y
W A V O x u
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Et on obtient OB = 6 u v y 5 V B W A V O x u 6u
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Et on retrouve le système de coordonnées classique
B 5 W A 3 1 V O x u 1 2 6
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En conclusion y B 5 A O x Au lieu d’écrire :
W A 3 1 O V x u 1 2 6 Au lieu d’écrire : OA = 2u + 3v on écrira OA(2 ; 3) et A(2 ; 3) Et de même OB = 6u + 5v put s’écrire OB(6 ; 5) et B(6 ; 5) En remarquant que OB + AB = OA soit encore OB – OA = 6u + 5v – 2u – 3v On a AB = (6 – 2)u + (5 – 3)v ce qui peut s’écrire AB(6 – 2 : 5 – 3)
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Dans le repère (O ; I ; J ) xA xB yA yB O A B
Dans le repère (O ; I ; J ) Le vecteur AB peut s’écrire deux façons différentes AB = (xB – xA) i + yB – yA) j Ou alors : AB (xB – xA; yB – yA) Tout point M du plan a les mêmes coordonnées que le vecteur OM xA xB yA yB O A B J i
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