QSL,27 Novembre 20011 Vérification probabiliste Université Paris II Michel de Rougemont 1.Algorithmes probabilistes qui.

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1 QSL,27 Novembre 20011 Vérification probabiliste Université Paris II Michel de Rougemont mdr@lri.fr http://www.lri.fr/~mdr 1.Algorithmes probabilistes qui vérifient une propriété. 2.Vérification formelle de programmes probabilistes. 3.Applications des deux approches.

2 QSL,27 Novembre 20012 Vérification Logique et Complexité Calcul : f(x) =y Verification : x,y donnés, decider si f(x)=y Pour une définition de f, quelle est la complexité de la vérification? Verification formelle Pour un programme (circuit, C,…) qui calcule une fonction g, comment savoir si

3 QSL,27 Novembre 20013 cf: George Boole The Laws of Thought, 1854 Part I: propositional logic, Part II: probability cf: John von Neumann The Report on EDVAC, 1945 Theory of Games and Economic Behavior, 1944 (cf: Alan Turing On Computable Numbers, 1936 Studies in Quantum Mechanics, 1932-35) Ref. C. Papadimitriou: Logique et Probabilité

4 QSL,27 Novembre 20014 Vérification probabiliste Fonctions classiques sur des matrices booléennes Calcul probabiliste t Il existe un algorithme proba. A 1.Si f(x)=1, Prob[ A accepte] > 2/3 2.Si f(x)=0, Prob[ A rejette ] > 2/3

5 QSL,27 Novembre 20015 Vérification polynomiale NP Il existe une fonction t.q. L est dans NP sil existe une fonction g dans P t.q. Pour la fonction : On ne connaît pas de telle fonction g!! La fonction est le complément de Cest une fonction de co-NP.

6 QSL,27 Novembre 20016 Vérification probabiliste P V 0 (1/2) 1 (1/2) L admet une preuve interactive, sil existe un protocole t.q pour tout x : 1.Si, Prob [ P.V(x)=1] =1 2.Si, Prob [ P.V(x)=1] < 1/2 Comment vérifier avec un protocole? 2.V choisit {1,2} et construit 2.P envoit. 3.Si, P.V=1, sinon P.V=0

7 QSL,27 Novembre 20017 Vérification polynomiale probabiliste : IP=PSPACE Soit Il existe un protocole IP qui vérifie si Perm(A)=b Soit kSAT la fonction qui décide de la satisfaisabilité de k- clauses: #kSAT est la fonction de comptage. SkSAT =Prob [ x satisfait] Perm, S2SAT, S3SAT sont #P- complètes.

8 QSL,27 Novembre 20018 Vérification probabiliste dune preuve : PCP

9 QSL,27 Novembre 20019 Checker,Testeur de Blum Checker pour f (Blum, Kannan, ~1990) P C x y Un checker est un programme probabiliste avec oracle P t. q pour tout x,k : Si P=f, C(x,k) = Correct Si P(x)!=f(x), Prob[ C(x,k) =Buggy] >1- ½^k Correct Buggy

10 QSL,27 Novembre 200110 Checker pour Graph-Iso P (G, H) = si G iso H, (1, ) sinon 0 P C G,H (1, ) ou 0 Correct Buggy C(G,H, k): Si P (G, H)=(1, ), verifier que G= (H) Si P (G, H)=0, choisir Si =1, G= (G). Si P(G,G)=0, Buggy Si =2, H= (H), Si P(G,H)=1, Buggy Après k essais, Correct

11 QSL,27 Novembre 200111 Distance d(f,g) = | {x : f(x) != g(x)}| / | D| Un auto-testeur pour f est un programme T(P, ) t.q. –Si d(P,f)=0, alors T(P, )=Correct –Si d(P,f) > alors T(P, )=Buggy Correcteur. Division (x,y) : Majorité { x.r/y.r : r aléa.} Auto testeur

12 QSL,27 Novembre 200112 Classe de fonctions ou de propriétés Goldreich, Golwasser, Ron ~1995 Un test pour F est un algorithme probabiliste A t.q. –Si f est dans F, A accepte –Si f est loin de F, A rejette –T(A) indépendante de n Exemple: k-colorabilité de graphes Test de propriété G Gi sous graphe aléatoire

13 QSL,27 Novembre 200113 Quelles propriétés de graphes (matrices) admettent des testeurs? –Alon et al., STOC 99: Sigma 2 testeurs Compression. Tests et complexité descriptive Epsilon-equivalent

14 QSL,27 Novembre 200114 Vérification formelle Preuves: –Programme correct vs. preuve Modèles –Système de transition du programme –Propriété à vérifier : formule fi – U mod fi Function f(x) Int x; For (0;i;j) {……} Programme nest plus une boite noire.

15 QSL,27 Novembre 200115 Vérification par modèle Système de transition (Structure de Kripke Formules –LTL, CTL, CTL* sur U,s |= (p1 U Accept) => G |= F Vérifier : comparer les OBDDs s P1 P2 P3 Accept

16 QSL,27 Novembre 200116 Branching programs Succinct representation of relations Intractable for: –Multiplication –Connectivity, Bipartition OBDD : Oriented Binary Decision Diagram v1 v2 0 1 R(v1,v2,….vn) vn

17 QSL,27 Novembre 200117 Vérification probabiliste Propriétés : LTL : p1 U p2 Prob [ p1 U p2 ] > a Espace probabiliste: Ensemble des chemins Prob [ p1 U p2 ]=3/8 p1 p2

18 QSL,27 Novembre 200118 Calcul de la probabilité Calcul de Prob [ p1 U p2 ] –C.Y. 95, Hanson et Johnson 94 S1= { s : M |= P1(s) } S+= { s : M |= E(p1 U p2 )}, S0=S-S+ Soit xi = Prob [ p1 U p2 ] depuis i xi = 1 si i dans S1 xi= 0 si i dans S0 xi= Somme p(i,j) xj X= A.X +B, système de taille N !!

19 QSL,27 Novembre 200119 Système PRISM Université de Birmingham, Marta Kwiatkowska SMV : propriétés déterministes AX+B=C : probabilistes AX+B < C : non-déterministes Vérification de protocoles : Consensus de Aspnes et Herlihy, CAV 2001

20 QSL,27 Novembre 200120 Protocoles cryptographiques https (SSL, Secure Socket layer) –Authentification du serveur (certificat) –(Clé de session).RSA –Cryptage.DES Implémentations –Netscape, Open-SSL, Apache-SSL Propriété : – clé de session reste secréte!! –Difficile de décoder –Authentification correcte –……

21 QSL,27 Novembre 200121 Protocoles cryptographiques Process Equivalence Mitchell, Scedrov, 1998,99 P= epsilon Q si pour tout programme (contexte ) C, v Prob[C.P =v] - Prob[C.P =v] < epsilon Pn= f Qn si pour tout programme (contexte ) C, v Prob[C.P =v] - Prob[C.P =v] < 1/f(n) P= Q si Pn = f Qn pour tout polunome f Exemple : Générateur aléatoire = Générateur pseudo aléatoire

22 QSL,27 Novembre 200122 Abstraction Probabiliste Test de propriété : k-colorabilité Abstraction dun programme? Programmme correct => U,G |= F Program loin detre correct => Prob [U,G |= not F]>2/3 Collaboration F. Magniez, S. Laplante, R. Lassaigne, S. Peyronnet.

23 QSL,27 Novembre 200123 Abstraction Probabiliste Abstraction dun programme? Programme C A[i,j] B[i,j] sous-graphe aléatoire Variables u, v u, v Taille de lOBDD : 2,m=1/epsilon m

24 QSL,27 Novembre 200124 Conclusion Vérification de propriétés: –Testeurs Vérification de programmes: –Déterministes : Modèles, OBDD –Probabiliste : systèmes linéaires –Non déterministe : encadrements Approximation de la vérification –Testeurs