Le hasard et la 0-connaissance Université Paris II Michel de Rougemont Algorithme et hasard Protocoles interactifs et.

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1 Le hasard et la 0-connaissance Université Paris II Michel de Rougemont mdr@lri.fr http://www.lri.fr/~mdr Algorithme et hasard Protocoles interactifs et 0-connaissance

2 Fondements de la sécurité Ce qui est interdit est difficile Fonctions difficiles à calculer –Factorisation –Isomorphisme de graphes O-connaissance Sécurité « prouvée » mathématiquement

3 Hasard et algorithme 2 paquets1 paquet Mikado

4 Marche aléatoire : espace log n sur un graphe symétrique à n sommets a b c d e e b c d a Au départ du sommet a, 2 tirages 00vers c 01vers d 10vers e 11vers b

5 Modèles du hasard Calcul en temps polynomial avec le hasard (classe BPP, 1980) : Machine de Turing probabiliste Primalité est facile Factorisation est difficile Machine quantique Factorisation est facile (Shor, 1996) Modèles biologiques (Adleman 1995)

6 Isomorphisme de graphes 1 2 3 4 5 12 3 4 5 Permutation : 1 2 3 4 5 1 3 2 4 5 Preuve de lisomorphisme: 13245

7 Non-Isomorphisme de graphes 1 2 3 4 5 12 3 4 5 Aucune Permutation ne maintient un isomorphisme: 1 2 3 4 5 1 3 2 4 5 ne maintient pas (1,4) Preuve du non-isomorphisme: Enumérer n! Permutations (120)

8 Protocole : non-Isomorphisme de graphes A B Bob veut se convaincre quAlice sait si G1 et G2 ne sont pas isomorphes avec une preuve courte. G1 et G2 connus de A et B, n=1000

9 Protocole : non-Isomorphisme de graphes A B B tire au sort i=1 ou 2 et choisit Gi (ex: G1) B tire au sort une permutation h : (ex: 24153) B calcule h(Gi)=H et lenvoie à A B demande i à Alice Alice envoie j à Bob : Si (i=j), G1 non iso à G2 Si i = j, G1 iso à G2 h(Gi)=H j=1 k

10 Preuve Interactive A B Bob pose des questions à Alice (qui peut mentir) Bob utilise le hasard. Après un temps court (polynomial), Bob Accepte ou rejette.

11 O-connaissance de lisomorphisme A B Preuve classique : A transmet h (ex: 13245) Preuve interactive : Alice génère h aléatoire, Calcule h(G1)=H, transmis à Bob: tire i au sort Alice envoie h, liso. entre H et Gi h(G1)=H i=1 h k

12 O-connaissance A B Alice ne compromet pas son secret (h) Alice envoie h mais on ne peut pas déduire facilement h à partir de h.

13 O-connaissance dun secret ? A B Secret Bob demande : 6542 B1+B3 > 7 B2-B4 <3 3B1-2B2>9 OUI NON Alice répond :

14 Applications : sécurité de lutilisateur A B Alice peut donner des informations qui ne peuvent pas être utilisées à son insu. Bob interagit avec une personne qui peut mentir.

15 Utilisateur rationnel ? A B Bob peut-il conclure sur : lhonnêteté dAlice la rationalité dAlice ?

16 Enchères combinatoires A1 B Ai sont en compétition pour des sous-ensembles de N objets. Ai a-t-il intérêt à bluffer ? A2 A3 A4

17 Modèles statistiques Economie Macroéconomie vs. Microéconomie Physique statistique Chaleur, climat, …

18 Conclusion 1.Sens et dénotation en Informatique 2.Calcul et hasard 3.Applications du hasard en logique : preuves interactives 4.Applications à la sécurité : O-connaissance 5.Protection de lutilisateur

19 Conclusion 1.Confidentialité des messages 2.Authentification 3.Mise en œuvre : Certificats pour la gestion des clés. 4.Problèmes des PKIs 5.Autres techniques : O-connaissance