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1 ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ S. DRAPIER 85 Méthodes de Changement dÉchelle : homogénéisation des milieux à structure périodique _______________________________________________________________________________________________________________________________ Partie 3 : Propriétés linéaires des composites à microstructure périodique 1 Notions spécifiques aux microstructures périodiques 1.1 Cellule de base 1.2 Champs de déformation et de contrainte périodiques 1.3 Méthode des échelles multiples 2 Propriétés élastiques effectives 2.1 Loi de comportement effective 2.2 Problème local 2.3 Exemple 1D 3 Méthode des éléments finis 4 Exemples

2 ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ S. DRAPIER 86 Méthodes de Changement dÉchelle : homogénéisation des milieux à structure périodique _______________________________________________________________________________________________________________________________ Propriétés linéaires des composites à microstructure périodique Intérêt par rapport à lhomogénéisation des microstructures aléatoires : - présente dans les composites (UD, tissus, tricots, …), milieux poreux, mousses,... - cadre mathématique rigoureux (méthode des échelles multiples) - calculs numériques (utilisation de codes de calculs EF)

3 ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ S. DRAPIER 87 Méthodes de Changement dÉchelle : homogénéisation des milieux à structure périodique _______________________________________________________________________________________________________________________________ 1.1 Choix dune cellule de base : 1.1 Choix dune cellule de base : périodicité + taille minimale 1 1 2 2 3 3 d l périodicité Définit le milieu par translation le long de trois vecteurs Propriétés effectives indépendantes de son choix (non unicité de son choix)

4 ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ S. DRAPIER 88 Méthodes de Changement dÉchelle : homogénéisation des milieux à structure périodique _______________________________________________________________________________________________________________________________ 1 1 2 2 l d Conditions en déformations périodiques : Par exemple, on impose E 11 seul : Direction de périodicité 0 Rappel : conditions homogènes au contour du VER déformations périodiques si d l 1.2 Champ de déformation et de contrainte périodique

5 ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ S. DRAPIER 89 Méthodes de Changement dÉchelle : homogénéisation des milieux à structure périodique _______________________________________________________________________________________________________________________________ 1 2 123 Variation lente à l échelle de la structure 0 Direction de périodicité u1u1 Variation rapide à léchelle des constituants u 1 = u 1 0 + u 1 Déplacements dans les cellules :

6 ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ S. DRAPIER 90 Méthodes de Changement dÉchelle : homogénéisation des milieux à structure périodique _______________________________________________________________________________________________________________________________ Conditions de déplacement micro périodiques (u # ) Contraintes anti-périodiques ( -# ) contraintes S.A. (-n) = - n n 1 l d 1 2

7 ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ S. DRAPIER 91 Méthodes de Changement dÉchelle : homogénéisation des milieux à structure périodique _______________________________________________________________________________________________________________________________ y1y1 y2y2 Y 1.3 Méthode des échelles multiples zoom x x1x1 x2x2 Homothétie 1/ : zoom xcxc

8 ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ S. DRAPIER 92 Méthodes de Changement dÉchelle : homogénéisation des milieux à structure périodique _______________________________________________________________________________________________________________________________ Hypothèses : en HPP les champs u,, sont fonctions des 2 variables x et y supposées indépendantes périodique en y (y-périodique) Règles de dérivation Champs u,, variation lente variation rapide on montre que macro = = E micro = 0 (pèriodicité)

9 ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ S. DRAPIER 93 Méthodes de Changement dÉchelle : homogénéisation des milieux à structure périodique _______________________________________________________________________________________________________________________________ 2. Propriétés élastiques effectives 2.1 Loi de comportement effective Loi de comportement micro Équation déquilibre Loi de comportement effective et problème associé moyennes + périodicité seule inconnue O O

10 ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ S. DRAPIER 94 Méthodes de Changement dÉchelle : homogénéisation des milieux à structure périodique _______________________________________________________________________________________________________________________________ u 1 unique à un vecteur constant près 0 défini de manière unique 2.2 Problème local À résoudre Données pb délasticité avec déformation résiduelle homogène ou de thermo-élasticité 6 problèmes sur la cellule de base ( E ij ) + conditions de périodicité problèmes linéaires solution dépend linéairement des données E ij Sur la cellule de base inconnue u 1

11 ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ S. DRAPIER 95 Méthodes de Changement dÉchelle : homogénéisation des milieux à structure périodique _______________________________________________________________________________________________________________________________ FM FM FM x1x1 2.3 Exemple 1D : Composite 1D u(x) déplacement longi. f(x) force de volume Problème global À résoudre (problème local) Données O xcxc Échelles multiples O Équilibres

12 ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ S. DRAPIER 96 Méthodes de Changement dÉchelle : homogénéisation des milieux à structure périodique _______________________________________________________________________________________________________________________________ Composite 1D Résolution problème local On remarque que par périodicité: F M 0 y ½ -½ u 1 (y)

13 ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ S. DRAPIER 97 Méthodes de Changement dÉchelle : homogénéisation des milieux à structure périodique _______________________________________________________________________________________________________________________________ 2. Résolution par éléments finis On utilise la linéarité / E ij dép. macro dép. micro kh Quand kh connus S kh (x,y) = S kh (y) : E kh (x) = : E kh

14 ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ S. DRAPIER 98 Méthodes de Changement dÉchelle : homogénéisation des milieux à structure périodique _______________________________________________________________________________________________________________________________ Les composites à fibres longues Pas de dépendance en y 3 On peut décomposer ces déformations en 2 catégories 11 22 12 3 problèmes plans 2 problèmes anti-plans 23 y1y1 y2y2 + le même tourné de /2 x1x1 x2x2 x3x3

15 ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ S. DRAPIER 99 Méthodes de Changement dÉchelle : homogénéisation des milieux à structure périodique _______________________________________________________________________________________________________________________________ Composites à fibres longues, à matériaux constitutifs isotropes ( (y), (y) ), on montre qu on doit résoudre 4 pbs plans + 2 pbs de type laplacien 1 ers pbs plans données E ( 2 nds pbs plans donnée E pbs anti-plans données E pbs plans avec 3 déformations résiduelles solution évidente pour les composites usuels ( E f >> E m ) similaire à un pb de thermique (de type laplacien)

16 ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ S. DRAPIER 100 Méthodes de Changement dÉchelle : homogénéisation des milieux à structure périodique _______________________________________________________________________________________________________________________________ 4.1 Matériau composite isotrope de type Al/SiCp à renforts sphériques 4. Exemples Module dYoung : 33

17 ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ S. DRAPIER 101 Méthodes de Changement dÉchelle : homogénéisation des milieux à structure périodique _______________________________________________________________________________________________________________________________ Conditions aux limites périodiques : - bords latéral et supérieur restent droits, - sur les deux autres bords : conditions de déplacement nul Chargement imposé sur le bord supérieur : r z Bord latéral Bord supérieur u z =0 u r =0 u z =u 3 Module dYoung

18 ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ S. DRAPIER 102 Méthodes de Changement dÉchelle : homogénéisation des milieux à structure périodique _______________________________________________________________________________________________________________________________ E composite / E matrice Fraction volumique Module dYoung pour un matériau composite isotrope de type Al/SiCp (renforts sphériques)

19 ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ S. DRAPIER 103 Méthodes de Changement dÉchelle : homogénéisation des milieux à structure périodique _______________________________________________________________________________________________________________________________ 4.2 Composite organique Verre/Epoxyde à fibres longues (Léné, 1984) matériaux constitutifs isotropes : (y), (y) symétries

20 ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ S. DRAPIER 104 Méthodes de Changement dÉchelle : homogénéisation des milieux à structure périodique _______________________________________________________________________________________________________________________________ Modules dYoung pour un Verre/Epoxyde à fibres longues

21 ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ S. DRAPIER 105 Méthodes de Changement dÉchelle : homogénéisation des milieux à structure périodique _______________________________________________________________________________________________________________________________ Modules de cisaillement pour un Verre/Epoxyde à fibres longues

22 ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ S. DRAPIER 106 Méthodes de Changement dÉchelle : homogénéisation des milieux à structure périodique _______________________________________________________________________________________________________________________________ Comparaison avec lhomogénéisation de type désordre parfait : Les matériaux étudiés ne sont pas les mêmes en principe Ici bonne prise en compte des hétérogénéités locales de ou u La solution par MEF est relativement lourde ici / modèles de type self-consistent Il existe dautres mèthodes (Transformées de Fourier rapides) Utilisation outil numérique -> traitement des comportements endommagés, plasticité,...