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1 ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ S. DRAPIER 107 Méthodes de Changement dÉchelle : Inclusions - Homogénéisation des Milieux Aléatoires _______________________________________________________________________________________________________________________________ Partie 4 A: Problèmes d inclusions - Opérateurs de Green 1 - Inclusion en milieu infini 1.1 problème homogène, 1.2 problème inhomogène et tenseur d'influence de Hill, 1.3 problème inhomogène avec chargement à l'infini, 1.4 estimation aux faibles concentrations. 2 - Opérateur de Green 2.1 solution élémentaire en milieu infini, 2.2 opérateur de Green modifié, 3 - Bilan

2 ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ S. DRAPIER 108 Méthodes de Changement dÉchelle : Inclusions - Homogénéisation des Milieux Aléatoires _______________________________________________________________________________________________________________________________ Motivations Solution pour une inclusion dans un milieu Inclusion - Eshelby Opérateur de Green Tenseur de localisation Homogénéisation des milieux à distribution aléatoires estimations dordre 1et 2 Idée : connaître la solution pour une inclusion dans un milieu de nature différente connaître la solution dune inclusion, possédant des déformations initiales, constituée du même matériau que le milieu

3 ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ S. DRAPIER 109 Méthodes de Changement dÉchelle : Inclusions - Homogénéisation des Milieux Aléatoires _______________________________________________________________________________________________________________________________ 1. Inclusion dans un milieu 1.1 Problème de linclusion homogène - Eshelby Utilisation des déformations libres - scénario d Eshelby Rappel : déformation libre = déformation dun milieu sans générer de contraintes, si le milieu est libre de changer de morphologie dilatation volumique résultant dune élévation de température déformations résiduelles, plasticité,... Inclusion : V (domaine) déformation libre dans linclusion t (x I) 2 3 1 déformation totale dans linclusion (mesurable) x t I Totale CompatibleLibre

4 ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ S. DRAPIER 110 Méthodes de Changement dÉchelle : Inclusions - Homogénéisation des Milieux Aléatoires _______________________________________________________________________________________________________________________________ I V I V Solution proposée par Eshelby (1957) État naturel initial relaxé Incompatibilité de déformation Équilibre final V I I S E : tenseur d'EshelbyV : milieu infiniI : inclusion t : déformation libre homogène L : tenseur des modules du milieu infini I

5 ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ S. DRAPIER 111 Méthodes de Changement dÉchelle : Inclusions - Homogénéisation des Milieux Aléatoires _______________________________________________________________________________________________________________________________ Problème formulé par Eshelby (1957)

6 ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ S. DRAPIER 112 Méthodes de Changement dÉchelle : Inclusions - Homogénéisation des Milieux Aléatoires _______________________________________________________________________________________________________________________________ Problème homogène doù lexpression des contraintes (en utilisant la symétrie de L ) : et léquilibre statique : Efforts quil faut imposer sur la frontière de linclusion pour la ramener à une forme compatible Linclusion I a les mêmes propriétés que le milieu V qui lentoure Les déformations doivent être compatibles I

7 ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ S. DRAPIER 113 Méthodes de Changement dÉchelle : Inclusions - Homogénéisation des Milieux Aléatoires _______________________________________________________________________________________________________________________________ V V I I A résoudre n

8 ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ S. DRAPIER 114 Méthodes de Changement dÉchelle : Inclusions - Homogénéisation des Milieux Aléatoires _______________________________________________________________________________________________________________________________ Résolution : fonction de Green en élasticité linéaire V 2 3 1 x x' u(x)u(x) f(x)f(x) Fonction de Green : g ij (x-x') permet d exprimer le déplacement u(x) dans la direction x i résultant de lapplication d'une force unitaire f en x' dans la direction x j On montre pour Eshelby : pour un milieu non contraint Eshelby Cadre mathématique au §2.1

9 ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ S. DRAPIER 115 Méthodes de Changement dÉchelle : Inclusions - Homogénéisation des Milieux Aléatoires _______________________________________________________________________________________________________________________________ Propriétés du tenseur dEshelby : tenseur du 4 ieme ordre partiellement symétrique Dépend uniquement du coefficient de Poisson et des facteurs géométriques de linclusion expressions analytiques dans les cas simples : ellipsoïde isotrope, déformation uniforme dans linclusion mais

10 ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ S. DRAPIER 116 Méthodes de Changement dÉchelle : Inclusions - Homogénéisation des Milieux Aléatoires _______________________________________________________________________________________________________________________________ Tenseur dEshelby 2 3 1 l d

11 ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ S. DRAPIER 117 Méthodes de Changement dÉchelle : Inclusions - Homogénéisation des Milieux Aléatoires _______________________________________________________________________________________________________________________________ 2 3 1

12 ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ S. DRAPIER 118 Méthodes de Changement dÉchelle : Inclusions - Homogénéisation des Milieux Aléatoires _______________________________________________________________________________________________________________________________ : tenseur de polarisation (symétrique) tel que -L: t Équation de comportement dans l'inclusion : I = L: I + Pour généraliser la démarche précédente, on peut passer par la polarisation Contrainte qui apparaîtrait dans linclusion si après la transformation (thermique, …) on bloquait la déformation Autres tenseurs (Hill, 1965) Déformation dans l'inclusion : I = -P: (P = S E :L -1 = S E :M) Contrainte dans l'inclusion : I = -Q: t (Q = L - L:P:L) Propriétés de P (plus intéressantes que S E ) symétrique, défini positif Généralisation

13 ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ S. DRAPIER 119 Méthodes de Changement dÉchelle : Inclusions - Homogénéisation des Milieux Aléatoires _______________________________________________________________________________________________________________________________ = L: I + L I : I + 1.2 Problème inhomogène et tenseur d'influence de Hill (L * )² = L: dans V\I C.A. dans V = L: I + dans I, S.A. dans V Extension de la solution dEshelby homogène (ellipsoïdale) L I =L+ L I Symétrique non nul, mais pas forcément défini positif : polarisation = contrainte correspondant à t si inclusion seule, i.e. sans matériau V\I = -L I : t V I LILI L

14 ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ S. DRAPIER 120 Méthodes de Changement dÉchelle : Inclusions - Homogénéisation des Milieux Aléatoires _______________________________________________________________________________________________________________________________ L* exprime la réaction du milieu infini sur l'inclusion en réponse à la déformation que celle-ci lui impose, (illustration ci-après) tenseur symétrique, défini positif, de la dimension des modules délasticité dépend uniquement des modules du milieu et de la géométrie de linclusion I = -P : déformation constante dans linclusion L * =P -1 -L = (S E :M) -1 -L L * =P -1 -L = (S E :M) -1 -L Tenseur dinfluence de Hill Eshelby I = - [L * + L I ] -1 : Hypothèse : champ de polarisation homogène dans linclusion

15 ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ S. DRAPIER 121 Méthodes de Changement dÉchelle : Inclusions - Homogénéisation des Milieux Aléatoires _______________________________________________________________________________________________________________________________ V I n L Cavité dans un milieu Interprétation du tenseur d influence de Hill : u=.xT=(L: ).nu=.x T=(-L * : ).n I n L Élément de matière Effort à imposer pour induire un déplacement u On vérifie = -L*: Si linclusion est beaucoup plus rigide que le milieu, on montre que Linclusion impose sa déformation libre au milieu (la part d origine élastique de la contrainte est négligeable)

16 ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ S. DRAPIER 122 Méthodes de Changement dÉchelle : Inclusions - Homogénéisation des Milieux Aléatoires _______________________________________________________________________________________________________________________________ 1.3 Problème inhomogène avec chargement à l'infini = L: dans V\I C.A. dans V = L: I + dans I, avec L I = L+ L I S.A. dans V o = L: o chargement à l'infini I - o =-L * :[ I - o ] (une seule inclusion inhomogène noyée dans le milieu infini) I = -P: + o Déformation et contraintes homogènes dans linclusion : Élasticité linéaire : superposition des champs macro aux solutions I = - L I :P: + L I o + o

17 ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ S. DRAPIER 123 Méthodes de Changement dÉchelle : Inclusions - Homogénéisation des Milieux Aléatoires _______________________________________________________________________________________________________________________________ Remarque : inhomogénéité et Eshelby avec chargement à l Remarques : Solution indépendante des propriétés mécaniques de linclusion : L * =L:[(S E ) -1 -I] I = [L * + L I ] -1 :[L * +L]: o La solution précédente sapplique au cas où la déformation est COMPATIBLE (la déformation libre est nulle) I - o = -L * :[ I - o ] dans V\I C.A. dans V = L I : I dans I S.A. dans V o = L: o chargement à l'infini Localisation

18 ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ S. DRAPIER 124 Méthodes de Changement dÉchelle : Inclusions - Homogénéisation des Milieux Aléatoires _______________________________________________________________________________________________________________________________ C.A. dans V (dérive d'un champ de dép.) 0 loin de (I 1 I 2 ) = L: dans V\(I 1 I 2 ) = L I1 : + 1 dans I 1 = L I2 : + 2 dans I 2 S.A. dans V 1.4 Plusieurs inclusions V I1I1 I2I2 Superposition : ( 1 = 2 = 0 ) + ( 1 = 0 2 = ) Équations linéaires ( 1 2 ) Eshelby avec 2 inclusions disjointes (centrées en x i ) subissant une transformation homogène caractérisée respectivement par 1 et 2

19 ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ S. DRAPIER 125 Méthodes de Changement dÉchelle : Inclusions - Homogénéisation des Milieux Aléatoires _______________________________________________________________________________________________________________________________ Solution polarisation dans I 1 polarisation dans I 2 Dans I 1 par exemple : déformation = déf. homogène induite par 1 + effet à distance de 2 (déf. Inhomogène) Effets des polarisations Généralisation Pas de généralisation possible avec plusieurs inhomogénéités car = L i : + i = L : L i - L + i Généralisation possible avec plusieurs inclusions homogènes i nest pas constant dans I i : varie

20 ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ S. DRAPIER 126 Méthodes de Changement dÉchelle : Inclusions - Homogénéisation des Milieux Aléatoires _______________________________________________________________________________________________________________________________ Problème inhomogène à une inclusion : i : polarisation due à l'inclusion I i x i : centre de l'inclusion I i g i : tenseur symétrique dépendant de L et de la forme de I i Plusieurs inclusions et chargement à l'infini : Déformation homogène dans I o Déformation non homogène dans I i

21 ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ S. DRAPIER 127 Méthodes de Changement dÉchelle : Inclusions - Homogénéisation des Milieux Aléatoires _______________________________________________________________________________________________________________________________ 1.5 Estimation aux faibles concentrations L m : tenseur des modules de la matrice L i : tenseur des modules des inclusions L* m : tenseur dinfluence construit à partir des modules de la matrice et des formes des inclusions Déformation homogène dans une inclusion : Inclusions distantes les unes des autres : (milieu infini=matrice) seule la polarisation de l'inclusion sur elle même est considérée milieu = VER, L = L m, L I = L i contrainte macroscopique : Cas d'un composite à particules (fraction volumique c i ) : Tenseur des modules effectifs (estimation au 1 er ordre) : i =[L * m + L i ] -1 :[L * m +L]: déf. macroscopique L FC = L m + c i [L i - L m ]:[L* m + L i ] -1 :[L* m +L m ]

22 ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ S. DRAPIER 128 Méthodes de Changement dÉchelle : Inclusions - Homogénéisation des Milieux Aléatoires _______________________________________________________________________________________________________________________________ 2. Opérateur de Green 2.1 Solution élémentaire ( g ) de l élasticité en milieu infini Soient x V et o (x) S.A., avec f o un effort constant appliqué sur le volume v centré en x o. On a u o (x), o (x) C.A., et u o 0, o 0 loin de x o. Linéarité et invariance des champs par translation donc : g tel queu o (x) = g(x-x o ).f o v o (x) = h(x-x o ).f o v o (x) = L:h(x-x o ).f o v g : opérateur de Green = distribution de tenseurs d'ordre 2 h : champ de tenseur d'ordre 3

23 ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ S. DRAPIER 129 Méthodes de Changement dÉchelle : Inclusions - Homogénéisation des Milieux Aléatoires _______________________________________________________________________________________________________________________________ 2.2 Opérateur de Green modifié, solution d'un problème d'élasticité Soient (x) S.A. avec f et (x) C.A. tels que : (x) = L: (x) + (x) PTV avec (u, ) et o : PTV avec (u o, o ) et : - dérivations h' ijk (x)=h jki (-x) opérateur de Green modifié en déformation Donne le champ de déplacement dû à une polarisation élémentaire v en x o

24 ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ S. DRAPIER 130 Méthodes de Changement dÉchelle : Inclusions - Homogénéisation des Milieux Aléatoires _______________________________________________________________________________________________________________________________ 2.3 Problème d'inclusions Soit une inclusion I de forme ellipsoïdale dans un domaine V, I centrée à l'origine, la polarisation homogène dans I alors : Propriétés de pour tout x 0 : - symétrique - homogène de degré -3 - faible variation loin de l'origine, singularité en 0 Eshelby - rappel : polarisation -L: t En symétrisant / (i,j), (k,l ), on retrouve ijkl

25 ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ S. DRAPIER 131 Méthodes de Changement dÉchelle : Inclusions - Homogénéisation des Milieux Aléatoires _______________________________________________________________________________________________________________________________ 3. Bilan 1/ Eshelby inclusion I = L: I + polarisation 2/ Problème inhomogène ( L I,L ) et tenseur de Hill = L: I + I = -P: solution L * =P -1 -L = (S E :M) -1 -L Tenseur dinfluence de Hill = -L*: I - o =-L * :[ I - o ] 3/ Inhomogénéité et Eshelby avec chargement à l I = [L * + L I ] -1 :[L * +L]: o V I o, o V I Déformation libre nulle LOCALISATION

26 ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ S. DRAPIER 132 Méthodes de Changement dÉchelle : Inclusions - Homogénéisation des Milieux Aléatoires _______________________________________________________________________________________________________________________________ Hashin - Strikman : polarisation homogène/phase Mori - Tanaka : milieu = matrice Autocohérent : milieu = composite (définition implicite) Estimations courantes I - o =-L * :[ I - o ] I =[L * + L I ] -1 :[L * +L]: o I - o =-L * :[ I - o ] I =[L * + L I ] -1 :[L * +L]: o Moyenne sur les VER Lessentiel