Similitude et dissimilitude dans les systèmes dinformation Philippe Balbiani Institut de recherche en informatique de Toulouse.

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1 Similitude et dissimilitude dans les systèmes dinformation Philippe Balbiani Institut de recherche en informatique de Toulouse

2 Introduction Information : définie en termes dobjets et de propriétés Propriété : décrite en termes dattributs et de valeurs dattributs

3 Plan Systèmes dinformation Relations dérivées des systèmes dinformation Opérateurs dérivés des systèmes dinformation Logiques dérivées des systèmes dinformation

4 Systèmes dinformation Ensemble des « objets » : OB Ensemble des « attributs » : AT Ensemble des « valeurs de lattribut a » : VAL a f : (x,a) OB AT f(x,a) VAL a Système dattributs : (OB,AT,(VAL a ) a AT,f)

5 Systèmes dinformation S=(OB,AT) est : « total » ssi x OB a AT a(x) « déterministe » ssi x OB a AT Card(a(x))1 x OB, A AT : x est « A-déterministe » ssi a A Card(a(x))1 D(A)={x OB : x est A-déterministe}

6 Systèmes dinformation Couleur des pétales Mois de plantation F1F1 {rose}{février, mars} F2F2 {jaune, rose}{mars, avril, mai} F3F3 {jaune, rose, rouge} {mars, avril, mai} F4F4 {rouge}{février, mars} F5F5 {jaune, rouge}{mars, avril, mai}

7 Systèmes dinformation Langue étrangèreLangage de programmation P1P1 {français, italien}{Ada, C ++, Java} P2P2 {allemand, anglais}{Ada} P3P3 {français, italien, russe} {Ada, C ++ } P4P4 {français, italien}{Prolog, Scheme} P5P5 {français, italien}{Prolog, Scheme} P6P6 {anglais}{Ada, C ++ }

8 Systèmes dinformation S=(OB,AT), A AT : S est « A-séparable » ssi a A u,v VAL a ({x OB : u a(x)}=({y OB : v a(y)} ssi u=v) S est « séparable » ssi S est AT-séparable

9 Systèmes dinformation Ensemble des « objets » : OB Ensemble des « propriétés » : PR f : x OB f(x) PR Système de propriétés : S=(OB,PR,f)

10 Systèmes dinformation Langage de programmation P1P1 {Ada, C ++, Java} P2P2 {Ada} P3P3 {Ada, C ++ } P4P4 {Prolog, Scheme} P5P5 P6P6 {Ada, C ++ }

11 Relations dérivées Relations de similitude S=(OB,AT), x,y OB, A AT : x ind(A) y ssi a A a(x)=a(y) : « indiscernabilité forte » x fin(A) y ssi a A a(x) a(y) : « inclusion avant forte » x bin(A) y ssi a A a(x) a(y) : « inclusion arrière forte »

12 Relations dérivées Relations de similitude S=(OB,AT), x,y OB, A AT : x wind(A) y ssi a A a(x)=a(y) : « indiscernabilité faible » x wfin(A) y ssi a A a(x) a(y) : « inclusion avant faible » x wbin(A) y ssi a A a(x) a(y) : « inclusion arrière faible »

13 Relations dérivées Relations de similitude S=(OB,AT), x,y OB, A AT : x icom(A) y ssi a A a(x)=-a(y) : « incomplémentarité forte » x sim(A) y ssi a A a(x) -a(y) : « similarité positive forte » x nim(A) y ssi a A a(x) -a(y) : « similarité négative forte »

14 Relations dérivées Relations de similitude S=(OB,AT), x,y OB, A AT : x wicom(A) y ssi a A a(x)=-a(y) : « incomplémentarité faible » x wsim(A) y ssi a A a(x) -a(y) : « similarité positive faible » x wnim(A) y ssi a A a(x) -a(y) : « similarité négative faible »

15 Relations dérivées Relations de dissimilitude S=(OB,AT), x,y OB, A AT : x div(A) y ssi a A a(x)=a(y) : « diversité forte » x rnim(A) y ssi a A a(x) a(y) : « similarité négative droite forte » x lnim(A) y ssi a A a(x) a(y) : « similarité négative gauche forte »

16 Relations dérivées Relations de dissimilitude S=(OB,AT), x,y OB, A AT : x wdiv(A) y ssi a A a(x)=a(y) : « diversité faible » x wrnim(A) y ssi a A a(x) a(y) : « similarité négative droite faible » x wlnim(A) y ssi a A a(x) a(y) : « similarité négative gauche faible »

17 Relations dérivées Relations de dissimilitude S=(OB,AT), x,y OB, A AT : x com(A) y ssi a A a(x)=-a(y) : « complémentarité forte » x rort(A) y ssi a A a(x) -a(y) : « orthogonalité droite forte » x lort(A) y ssi a A a(x) -a(y) : « orthogonalité gauche forte »

18 Relations dérivées Relations de dissimilitude S=(OB,AT), x,y OB, A AT : x wcom(A) y ssi a A a(x)=-a(y) : « complémentarité faible » x wrort(A) y ssi a A a(x) -a(y) : « orthogonalité droite faible » x wlort(A) y ssi a A a(x) -a(y) : « orthogonalité gauche faible »

19 Relations dérivées S=(OB,AT), x,y OB, A AT, Bool expression booléenne : x R(=,,Bool)(A) y ssi a A Bool(a(x),a(y))= x R(,,Bool)(A) y ssi a A Bool(a(x),a(y)) x R(=,,Bool)(A) y ssi a A Bool(a(x),a(y))= x R(,,Bool)(A) y ssi a A Bool(a(x),a(y))

20 Relations dérivées S=(OB,AT), A AT, a AT : ind(A) est réflexive, symétrique et transitive fin(A) et bin(A) sont réflexives et transitives icom(A) est symétrique; si A alors icom(A) est réflexive; icom(a) est co-3-transitive sim(A) et nim(A) sont faiblement réflexives et symétriques; si S est total alors sim(A) est réflexive

21 Relations dérivées S=(OB,AT), A AT, a AT : wind(A) est réflexive et symétrique; wind(a) est transitive wfin(A) et wbin(A) sont réflexives; wfin(a) et wbin(a) sont transitives wicom(A) est réflexive, symétrique et co-3-transitive wsim(A) est réflexive et symétrique wnim(A) est faiblement réflexive et symétrique

22 Relations dérivées S=(OB,AT), A AT, a AT : div(A) est symétrique; si A alors div(A) est irréflexive; div(a) est co-transitive Si A alors rnim(A) et lnim(A) sont irréflexives; rnim(a) et lnim(a) sont co-transitives com(A) est symétrique et 3-transitive; si A alors com(A) est irréflexive rort(A) est symétrique; si A alors rort(A) est irréflexive lort(A) est faiblement co-réflexive et symétrique

23 Relations dérivées S=(OB,AT), A AT, a AT : wdiv(A) est irréflexive, symétrique et co-transitive wrnim(A) et wlnim(A) sont irréflexives et co-transitives wcom(A) est irréflexive et symétrique; wcom(a) est 3- transitive wrort(A) est symétrique; si S est total alors wrort(A) est irréflexive wlort(A) est faiblement co-réflexive et symétrique

24 Relations dérivées S=(OB,AT), A,B AT, Bool expression booléenne, R {R(=,,Bool), R(,,Bool)} : R( )=OB OB R(A B)=R(A) R(B) Si A B alors R(A) R(B)

25 Relations dérivées S=(OB,AT), A,B AT, Bool expression booléenne, R {R(=,,Bool), R(,,Bool)} : R( )= R(A B)=R(A) R(B) Si A B alors R(A) R(B)

26 Relations dérivées ind(a) : {x 1, x 2 }, {x 3, x 4 }, {x 5, x 6, x 7 } ind(b) : {x 1, x 3 }, {x 2, x 4 }, {x 5 }, {x 6, x 7 } ind(a) ind(b) : {x 1 }, {x 2 }, {x 3 }, {x 4 }, {x 5 }, {x 6, x 7 } ind(a) ind(b) : {x 1, x 2, x 3, x 4 }, {x 5, x 6, x 7 } ab x1x1 11 x2x2 12 x3x3 21 x4x4 22 x5x5 33 x6x6 34 x7x7 34

27 Relations dérivées S=(OB,AT), x,y OB, A,B AT : c x,y ={a AT : x div(a) y} c x,x = c x,y =c y,x x ind(A) y ssi c x,y A=

28 Relations dérivées abcde x1x1 -++++ x2x2 +0--- x3x3 +---0 x4x4 0--0- x5x5 +---- x6x6 0+-0+

29 ind(a) : {x 1 }, {x 2, x 3, x 5 }, {x 4, x 6 } ind(b) : {x 1, x 6 }, {x 2 }, {x 3, x 4, x 5 } ind(c) : {x 1 }, {x 2, x 3, x 4, x 5, x 6 } ind(d) : {x 1 }, {x 2, x 3, x 5 }, {x 4, x 6 } ind(e) : {x 1, x 6 }, {x 2, x 4, x 5 }, {x 3 }

30 Relations dérivées x1x1 x2x2 x3x3 x4x4 x5x5 x6x6 x1x1 // x2x2 AT // x3x3 AT{b, e} // x4x4 AT{a, b, d} {a, d, e} // x5x5 AT{b}{e}{a, d} // x6x6 {a, c, d} {a, b, d, e} {b, e}{a, b, d, e}

31 Relations dérivées S=(OB,AT), x,y OB : x fin y ssi x fin(AT) y x bin y ssi x bin(AT) y x wfin y ssi x wfin(AT) y x wbin y ssi x wbin(AT) y x sim y ssi x sim(AT) y x nim y ssi x nim(AT) y x wsim y ssi x wsim(AT) y x wnim y ssi x wnim(AT) y

32 Relations dérivées S=(OB,AT), x,y OB : x fin x Si x fin y et y fin z alors x fin z Si x sim y alors y sim y Si x sim y alors y sim x Si x sim y et y fin z alors x sim z x sim x ou x wfin y x sim y ou y wnim z ou x wfin z

33 Relations dérivées S=(OB,AT), x,y OB : x wfin x Si x wfin y et y fin z alors x wfin z Si x fin y et y wfin z alors x wfin z Si x wsim y alors y wsim y Si x wsim y alors y wsim x Si x wsim y et y fin z alors x wsim z x wsim x ou x fin y x wsim y ou y wnim z ou x fin z

34 Relations dérivées S=(OB,AT), x,y OB : x bin x Si x bin y et y bin z alors x bin z Si x nim y alors y nim y Si x nim y alors y nim x Si x nim y et y bin z alors x nim z x nim x ou x wbin y x nim y ou y wsim z ou x wbin z

35 Relations dérivées S=(OB,AT), x,y OB : x wbin x Si x wbin y et y bin z alors x wbin z Si x bin y et y wbin z alors x wbin z Si x wnim y alors y wnim y Si x wnim y alors y wnim x Si x wnim y et y bin z alors x wnim z x wnim x ou x bin y x wnim y ou y wsim z ou x bin z

36 Relations dérivées S=(OB,PR,f), x,y OB : x fin y ssi f(x) f(y) x bin y ssi f(x) f(y) x sim y ssi f(x) -f(y) x nim y ssi f(x) -f(y)

37 Relations dérivées S=(OB,PR,f), x,y OB : x fin x Si x fin y et y fin z alors x fin z Si x sim y alors y sim y Si x sim y alors y sim x Si x sim y et y fin z alors x sim z x sim x ou x fin y x sim y ou y nim z ou x fin z

38 Relations dérivées S=(OB,PR,f), x,y OB : x bin x Si x bin y et y bin z alors x bin z Si x nim y alors y nim y Si x nim y alors y nim x Si x nim y et y bin z alors x nim z x nim x ou x bin y x nim y ou y sim z ou x bin z

39 Opérateurs dérivés S=(OB,AT), X OB, A,B AT : L(A)(X)= {ind(A)(x) : x OB et ind(A)(x) X} U(A)(X)= {ind(A)(x) : x OB et ind(A)(x) -X} L(A)(X)=-U(A)(-X) U(A)(X)=-L(A)(-X) Si A B alors : ind(A) ind(B) L(A)(X) L(B)(X) U(A)(X) U(B)(X)

40 Opérateurs dérivés S=(OB,AT), X,Y OB, A AT : L(A)(X) X X U(A)(X) L(A)(X Y)=L(A)(X) L(A)(Y) U(A)(X Y)=U(A)(X) U(A)(Y) L(A)(L(A)(X))=L(A)(X) U(A)(U(A)(X))=U(A)(X) L(A)(OB)=OB U(A)( )=

41 Opérateurs dérivés S=(OB,AT), X OB, A,B AT : L(A B)(X) L(A)(X) L(B)(X) U(A B)(X) U(A)(X) U(B)(X) L(A B)(X) L(A)(X) L(B)(X) U(A B)(X) U(A)(X) U(B)(X) Si XOB alors L( )(X)= ; L( )(OB)=OB Si X alors U( )(X)=OB; U( )( )=

42 Opérateurs dérivés TailleDistanceSatellite MercureSProcheNon VénusSProcheNon TerreSProcheOui MarsSProcheOui JupiterLLointaineOui SaturneLLointaineOui UranusMLointaineOui NeptuneMLointaineOui PlutonSLointaineOui

43 Opérateurs dérivés A={Taille, Distance, Satellite}, X={Mercure, Vénus, Jupiter, Saturne, Pluton} : L(A)(X)={Jupiter, Saturne} U(A)(X)={Mercure, Vénus, Terre, Mars, Jupiter, Saturne, Pluton}

44 Opérateurs dérivés S=(OB,AT), X OB, A,B AT : Pos(A)(X)=L(A)(X) Neg(A)(X)=-U(A)(X) BL(A)(X)=X -L(A)(X) BU(A)(X)=-X U(A)(X) B(A)(X)=BL(A)(X) BU(A)(X) Si A B alors : BL(A)(X) BL(B)(X) BU(A)(X) BU(B)(X)

45 Opérateurs dérivés S=(OB,AT), X,Y OB, A AT : BL(A)(X Y) BL(A)(X) BL(A)(Y) BU(A)(X Y) BU(A)(X) BU(A)(Y) BL(A)(X Y) BL(A)(X) BL(A)(Y) BU(A)(X Y) BU(A)(X) BU(A)(Y) BL(A)( )= BU(A)( )=OB BL(A)(OB)=OB BU(A)(OB)=

46 Opérateurs dérivés S=(OB,AT), X OB, A,B AT : BL(A B)(X) BL(A)(X) BL(B)(X) BU(A B)(X) BU(A)(X) BU(B)(X) BL(A B)(X) BL(A)(X) BL(B)(X) BU(A B)(X) BU(A)(X) BU(B)(X) Si XOB alors BL( )(X)=X; BL( )(OB)= Si X alors BU( )(X)=-X; BU( )( )=

47 Logiques dérivées Logique SIM 1 : Syntaxe : ::=P ( ) [fin] [bin] [sim] [nim] Sémantique : M=((OB,PR,f),V) V(P) OB M, x sat [fin] ssi y W si x fin y alors M, y sat … M, x sat [all] ssi y W M, y sat

48 Logiques dérivées Logique SIM 2 : Syntaxe : ::=P ( ) [fin] [bin] [wfin] [wbin] [sim] [nim] [wsim] [wnim] Sémantique : M=((OB,AT),V) V(P) OB M, x sat [fin] ssi y W si x fin y alors M, y sat …

49 Logiques dérivées Logique S4+5 : Syntaxe : ::=P ( ) [ind] [fin] [bin] Sémantique : M=((OB,PR,f),V) V(P) OB M, x sat [ind] ssi y W si x ind y alors M, y sat …

50 Logiques dérivées Logique IL : Syntaxe : ::=P ( ) [ind] [fin] [sim] Sémantique : M=((OB,PR,f),V) V(P) OB M, x sat [ind] ssi y W si x ind y alors M, y sat …

51 Logiques dérivées Logique MLSim : Syntaxe : ::=P ( ) [ind] [wind] [wsim] Sémantique : M=((OB,AT),V) V(P) OB M, x sat [ind] ssi y W si x ind y alors M, y sat …

52 Logiques dérivées REL : Syntaxe : Bool::=e -Bool (Bool Bool) ::=ind(Bool) ( ) ::=P ( ) [ ] Sémantique : M=((OB,AT),V) V(e) AT V(P) OB R(ind(Bool))=ind(V(Bool)) R( )=R( ) R( ) M, x sat [ ] ssi y W si x R( ) y alors M, y sat

53 Logiques dérivées DAL : Syntaxe : Bool::=e -Bool (Bool Bool) ::=ind(Bool) ( ) ( ) ::=P ( ) [ ] Sémantique : M=((OB,AT),V) V(e) AT V(P) OB R(ind(Bool))=ind(V(Bool)) R( )=R( ) R( ) M, x sat [ ] ssi y W si x R( ) y alors M, y sat

54 Conclusion Représentabilité des relations dérivées Axiomatisation et complétude des logiques dérivées Décidabilité et complexité des logiques dérivées