Graphes et Applications Thème de léquipe « Combinatoire et Algorithmique » LaBRI – janvier 2008.

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1 Graphes et Applications Thème de léquipe « Combinatoire et Algorithmique » LaBRI – janvier 2008

2 Léquipe... 10 chercheurs et enseignants-chercheurs –3 professeurs –5 maîtres de conférences –2 chargés de recherche CNRS Formation par la recherche –5 doctorats en cours (dont 1 en cotutelle avec Taiwan) –10 thèses soutenues entre 2005 et 2007 2 chargés de recherche CNRS, 2 maîtres de conférences Projets, contrats –2 équipes-projets LaBRI-INRIA (Cépage, RealOpt) –projets nationaux et internationaux Animation du GT « Graphes » du GDR IM (Info-Math) Nombreuses collaborations internationales Chine, Israël, République Tchèque, Russie, Slovaquie, Taiwan,...

3 Thèmes de recherche Problèmes classiques de théorie des graphes –Flots, cycles et couverture –Homomorphismes et colorations Applications –Algorithmique et communications dans les réseaux –Grands graphes –Optimisation combinatoire –Structures de données compactes, routage

4 Deux illustrations arbitrairement choisies Homomorphismes et colorations de graphes orientés Structures de données compactes

5 Homomorphismes et colorations de graphes orientés (1) Coloration (classique) de graphes (non orientés) Nombre chromatique : = 3 Homomorphisme de G vers H : c : V(G) V(H), t.q. uv E(G) c(u)c(v) E(H) (G) = k G K k & G K k-1

6 Homomorphismes et colorations de graphes orientés (2) Homomorphismes de graphes orientés Colorations de graphes orientés (1) (2)

7 Homomorphismes et colorations de graphes orientés (3) Quelques exemples.

8 Homomorphismes et colorations de graphes orientés (4) Borner le nombre chromatique orienté dune famille de graphes Famille de graphes Graphe cible Propriétés structurelles « bonnes propriétés » Borne supérieure : Borne inférieure : Exhiber un graphe particulier... non-existence dun contre- exemple minimal...

9 Homomorphismes et colorations de graphes orientés (5) Exemple : la famille des arbres orientés Famille des arbres Tout arbre contient un sommet de degré 0 ou 1 Tout sommet a un successeur et un prédécesseur Borne supérieure : Borne inférieure :

10 Homomorphismes et colorations de graphes orientés (6) Quelques questions ?... Nombre chrom. orienté des graphes planaires ? Version orientée du « Théorème des 4 couleurs » Borne inférieure = 17, borne supérieure = 80 Nombre chrom. orienté des graphes cubiques ? Borne inférieure = 7, borne supérieure = 11 Conjecture : 7 pour les graphes cubiques connexes

11 Structures de données compactes (1) Contexte général : on stocke de linformation sur les sommets dun graphe (pour une certaine famille) on souhaite pouvoir répondre à certaines requêtes en utilisant uniquement cette information locale Contraintes : minimiser la taille des informations locales minimiser les temps de calcul (de linformation locale, de réponse aux requêtes)

12 Structures de données compactes (2) Exemple 1 : graphe = un arbre on souhaite pouvoir déterminer si deux sommets quelconques u et v sont voisins ou non

13 Structures de données compactes (3) Solution : numérotation « quelconque » L(u) = u et v voisins ssi u = père(v) ou v = père(u) taille info = 2log n temps réponse = O(1)

14 Structures de données compactes (5) Exemple 2 : graphe = un arbre on souhaite pouvoir déterminer si, pour deux sommets quelconques u et v, u est ancêtre de v ou v est ancêtre de u

15 Structures de données compactes (6) Solution : numérotation « en profondeur » L(u) = u ancêtre de v ssi n°(u) n°(v) n°(u)+nb(u) taille info = 2log n temps réponse = O(1)

16 Structures de données compactes (7) Questions typiques ?... Différentes familles de graphes Arbres, graphes planaires, planaires extérieurs, graphes de degré borné, graphes dintervalles,... Différentes requêtes Adjacence, plus petit ancêtre commun (arbres), distance, distance approchée,... Bornes inférieures, bornes supérieures...