Définitions et applications

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1 Définitions et applications
ANALYSE CEPSTRALE Définitions et applications notes de cours Analyse Cepstrale

2 ANALYSE CEPSTRALE contenu
Annulation d ’écho Définitions cepstre de puissance cepstre complexe propriétés Quelques applications mesures de fonction de transfert et de coefficient de réflexion annulation d ’échos analyse des vibrations d ’engrenages notes de cours Analyse Cepstrale

3 ANALYSE CEPSTRALE le problème de l ’annulation d ’échos
x(t)= s(t) + sr(t) s(t) son direct , sr(t) son réfléchi le problème de l ’annulation d ’échos comment extraire s(t) de x(t), i.e, supprimer l ’écho ? notes de cours Analyse Cepstrale

4 Signal + Echo formulation du problème
Hypothèses simplificatrices la réflexion ne génère qu ’un retard et une atténuation sr(t)= a0.s(t-t0) x(t)=s(t)+a0.s(t-t0) Dans le domaine fréquentiel notes de cours Analyse Cepstrale

5 Signal + Echo illustration
Domaine temporel Domaine fréquentiel s(t) a0s(t-t0) t0 [X(f)]2 notes de cours Analyse Cepstrale

6 Signal + Echo propriétés de la phase
Imag 1 Réel 2.pi.f.t0 notes de cours Analyse Cepstrale

7 Signal + Echo Effet du logarithme
On prend le « Log » pour rendre additif l ’effet de l ’écho On en prend la Transformée de Fourier (inverse) t f notes de cours Analyse Cepstrale

8 Le cepstre Plusieurs définitions
Cepstre de puissance: Cepstre complexe: notes de cours Analyse Cepstrale

9 Cepstre de puissance Propriétés
Cx() = [TF-1(Ln(Sxx(f))]2 fréquence  temps relation avec la fonction d ’autocorrélation R()=TF-1 (Sxx(f)) Sxx(f) est réel et pair  le CEPSTRE DE PUISSANCE EST REEL, PAIR notes de cours Analyse Cepstrale

10 Cepstre complexe Propriétés
Cx() = TF-1[Ln(X(f)] X(f)=XRéel(f) + j.XImag(f)=[X(f)].ej(f) Ln(X(f))=Log[X(f)] + j. (f) x(t) est réel  Xréel pair et Ximag impair  (f) est impair [X(f)] est pair  Ln [X(f)] est pair le CEPSTRE COMPLEXE EST REEL ET CAUSAL notes de cours Analyse Cepstrale

11 Cepstres de puissance et complexe Cas de signaux à minimum de phase
Soit x(t) , X(f) = TF(x(t)) = [X(f)].ej(f) x(t) à minimum de phase  H{ln[X(f)]}= (f) Cx() = TF-1 { Ln (X(f))} = Ln[X(f)] + j. (f) Cx() est réel et causal (>0) c ’est la somme d’une partie paire et d ’une partie impaire TF-1{Ln[X(f)2]} est la partie paire, ie, le cepstre de puissance TF-1{(f)} est la partie impaire, ie, le cepstre de phase 1 2 notes de cours Analyse Cepstrale

12 Cepstre complexe Redéploiement de la phase
Cx() = TF-1 { Ln (X(f)) } = Ln[X(f)] + j. (f) pour évaluer (f), on obtient une fonction variant entre - et +  , qu ’il est nécessaire de « redéployer » (Unwrapping) (f) doit être une fonction continue en f. Il existe des algorithmes dédiés (algorithmze de Triboulet 1977) f notes de cours Analyse Cepstrale

13 Cepstre Propriétés, application à la déconvolution
Système linéaire temps : y(t)=h(t)*x(t) produit de convolution fréquence : Y(f)=H(f).X(f) produit cepstre : Cy() = Ch() + Cx() somme (du fait du Log!) d ’où les applications de déconvolution pour séparer x (t) (l ’entrée) de h(t) (le milieu) annulation d ’échos, identification des sources (sismique, etc..) x(t) y(t) h(t) notes de cours Analyse Cepstrale

14 Déconvolution via le cepstre Exemple de l ’annulation d ’échos
x(t)=s(t)+a0.s(t-t0), X(f)=S(f)[1+a0.e-2jft0] cx(t) = cs(t) +TF-1{Ln(1+a02+2a0.cos(2 ft0)} on « liftre »  cs(t) S(f)= TF{exp(cs(t))} et s(t)=TF-1{S(f)} remarque: le processus de reconstruction suppose les signaux à minimum de phase t t notes de cours Analyse Cepstrale

15 Cepstre complexe Exemple d ’annulation d ’échos
notes de cours Analyse Cepstrale

16 notes de cours Analyse Cepstrale
Cepstre Vocabulaire vocabulaire (Bogert 1963): Spectre Cepstre Fréquence Quéfrence Filtrage Liftrage Harmonique Rahmonique Période Répiode Phase Saphe Amplitude Gamnitude notes de cours Analyse Cepstrale

17 Cepstre ANNEXES A: Propriétés de symétrie et de parité par Transformées de Fourier Directe et inverse B: Systèmes à minimum de phase C: caractérisation de matériaux (acoustique) notes de cours Analyse Cepstrale

18 Annexe A: Propriétés de la Transformée de Fourier (1/3)
ie, x(t)  X(f)  x(-t)  X(-f)  x(t) TF directe sur x(t) = TF inverse sur x(-t) F F F F notes de cours Analyse Cepstrale

19 Annexe A: Propriétés de la Transformée de Fourier (2/3)
x(t) réel X(f) = X*(-f) Re(X(f)) = Re(X(-f)) Im(X(f) = - Im(X(-f)) x(t) réel pair x(t) = x(-t)X(f)=X(-f) Im(X(f)) = 0 x(t) réel impair x(t) = -x(-t) Re (X(f)) = 0 notes de cours Analyse Cepstrale

20 Annexe A: Propriétés de la Transformée de Fourier (3/3)
Signal temporel Spectre réel, pair réel, pair réel, impair imag, impair imag, pair imag, pair imag, impair réel, impair réel complexe conjugué pair complexe conjugué pair réel notes de cours Analyse Cepstrale

21 Annexe B: Systèmes à minimum de phase (1/2)
Plusieurs définitions : x(n) est à minimum de phase ssi ln[X(w)] et Arg(X(w)) forment une paire de Hilbert H{Ln[X(w)]} = Arg(X(w)) un système linéaire de fonction de transfert H(w) est dit à minimum de phase ssi H(w) est stable et d ’inverse stable, ie, ses pôles et ses zéros sont à l ’intérieur du cercle unité (système discret), ou à gauche de l ’axe jw (système continu) notes de cours Analyse Cepstrale

22 Annexe B: Systèmes à minimum de phase (2/2)
X1(f) = TF(x1(t)) X2(f) = TF(x2(t)) (1)  X1(f)  =  X2(f)  (2) Arg(X1(f))>Arg (X2(f)) Si x1(t) est tel que (1) et (2) sont vérifiées quelque soit x2(t) vérifiant (2), alors x1 est dit à phase minimum.( en réalité maximum) x1(n) x2(n) Arg(X(f) notes de cours Analyse Cepstrale

23 Annexe C: Caractérisation de matériaux (1/3)
Caractérisation acoustique d’un matériau: x(t)= p(t) + (r1 /r2).p(t)*h(t-t0) r1, r2 coefficients de réflexion t0=(r2-r1)/c X(f)=P(f){1+(r1/r2).H(f).e-2fto} on veut estimer h(t) la réponse impulsionnelle de la surface réfléchissante ou on veut estimer r1, r2 Haut parleur micro notes de cours Analyse Cepstrale

24 Annexe C: Caractérisation de matériaux (2/3)
Expression du cepstre de puissance [X(f)]2=[P(f)]2.{1+(r1/r2).H(f). e-2fto} .{1+(r1/r2).H*(f). E+2fto} on utilise le développement Ln(1+z)=z-z2/2+ z3/3,…. Pour [z]<1 d ’où: 2.Ln [X(f)] = 2.Ln(P(f)] + {(r1/r2).H(f). E+2fto - 1/2.(r1/r2)2.(H(f). E+2fto)2 + 1/3.(r1/r2)3 .H*(f). E+2fto +…...} le cepstre est de la forme: Cx (t) = Cp(t) + (r1/r2).Ch(t-t0)-1/2.(r1/r2)2.Ch(t-t0)* Ch(t-t0)…+... X (t) = P(t) + (r1/r2).h(t-t0) -1/2.(r1/r2)2.h(t-t0)* h(t-t0)…+... notes de cours Analyse Cepstrale

25 Annexe C: Caractérisation de matériaux (3/3)
Illustration du cepstre de puissance on peut retrouver h(t) si le cepstre de p(t) est « séparable » P(t) a1.h(t-t0) a2.h(t-t0)* h(t-t0) t0 2t0 notes de cours Analyse Cepstrale