Modélisation et calcul scientifique

Présentation au sujet: "Modélisation et calcul scientifique"— Transcription de la présentation:

1 Modélisation et calcul scientifique
Jocelyne Erhel Equipe SAGE - INRIA et IRISA - Rennes Équipe commune avec le CNRS et l’université de Rennes 1 Travail en collaboration avec Géosciences Rennes (CNRS et université de Rennes 1) avec le laboratoire PPRIME (CNRS et université de Poitiers) Avec le laboratoire CDCSP (CNRS et université de Lyon)

2 Comprendre (ex: astrophysique) Prédire (ex: météo)
Modélisation et simulation Comprendre (ex: astrophysique) Prédire (ex: météo) Gérer (ex: ressources pétrolières) Décider (ex: finances)

3

4 L’eau potable en Bretagne:  70% eaux de surface
© L’eau potable en Bretagne:  70% eaux de surface  Quelques captages profonds ©Yves Chaux

5 ©

6 ©

7 Variables physiques Lois de conservation Lois de comportement
Modélisation Variables physiques Lois de conservation Lois de comportement

8 Charge hydraulique H H = P/ρg + z
Cascade: l’eau tombe par gravité Puits artésien : l'eau jaillit par pression. H = P/ρg + z P pression, ρ densité, g constante de gravité, z profondeur

9 Gradient de charge hydraulique
©

10 Gradient de charge hydraulique
En dimension 1: position x et fonction H(x) Points x et x+dx H’(x) est le gradient de H au point x

11 Gradient de charge hydraulique
En dimension 2: position (x,y) et fonction H(x,y) Points (x,y) et (x+dx,y); points (x,y) et (x,y+dy) Vecteur gradient Grad(H)

12 Vitesse de l’eau Loi de la conservation de la masse:
Ce qui sort du tuyau y est entré Arrosage : les bons tuyaux ! | © Olivier Desvaux En dimension 1: position x; vitesse V(x); source Q(x) Conservation de la masse: V’(x)=Q(x)

13 Vitesse de l’eau En dimension 2 : vecteur V(x,y) avec deux composantes Divergence de V: flux de vitesse en un point

14 Notion de perméabilité
Type de roche Perméabilité (m/s) graviers 3 10-1 sables 6 10-4 limons 3 10-8 vase argileuse 1m=3 s 1m=28 mn 1m=386 j 1m=63 ans

15 Loi de Darcy V = -K * grad(H)
La vitesse est proportionnelle au gradient de charge Le coefficient K est la perméabilité de l’aquifère HISTOIRE DES FONTAINES PUBLIQUES DE DIJON. APPENDICE. - NOTE D. Détermination des lois d'écoulement de l'eau à travers le sable. HENRY DARCY INSPECTEUR GENERAL DES PONTS ET CHAUSSEES. 1856

16 Modèle de l’écoulement
H = charge Hydraulique ; V = vitesse ; K = perméabilité Flux nul Conservation de la masse div(V) = Q Loi de Darcy V = -K * grad(H) Conditions aux limites H=0 H=1 Il existe une solution H et elle est unique Flux nul En général, on ne sait pas calculer la solution H

17 Discrétisation du domaine Problème approché Analyse de convergence
Discrétisation numérique On sait calculer une solution approchée Discrétisation du domaine Problème approché Analyse de convergence

18 Solution approchée : discrétisation spatiale
On superpose une grille de calcul, comme les pixels d’une photo numérique div(V) = Q V = -K * grad(H) Conditions aux limites Plus la grille est fine, plus la solution approchée est précise Et plus le volume de données et le temps de calcul augmentent

19 Modélisation de l’écoulement : système d’équations approché
On écrit les équations dans chaque petit carré de la grille On obtient un système d’équations linéaire H1 H2 H3 H4 Les inconnues sont H1,H2,H3,H4

20 Algorithme de résolution Développement d’un logiciel Validation
Simulation numérique Algorithme de résolution Développement d’un logiciel Validation

21 système d’équations linéaires
N mailles : N équations avec N inconnues Algorithme de résolution par éliminations successives des inconnues Stocker 8N2 octets Faire N3 opérations (Flops) N=1000 : 8 Mega-octets et 1 Giga-Flops N=100000=105 : 80 Giga-octets et 1015 Flops (1 Peta-Flops)

22 Système d’équations linéaires
0 + a = a et 0 x a = 0 On ne stocke que les éléments non nuls de la matrice On ne fait les opérations qu’avec ces éléments non nuls Une matrice creuse Temps de calcul en fonction de la taille N Les algorithmes sont plus compliqués

23 Calcul parallèle et distribué
Grappe de PC Inria Grid’5000 ©INRIA/Photo Jim Wallace Modèle numérique 16,8 millions d’inconnues en 76 secondes avec 32 processeurs

24 Cas compliqué hétérogène
Validation et visualisation Cas simple homogène Cas compliqué hétérogène

25 Charge H et vitesse V dans un milieu homogène

26 Charge H et vitesse V dans un milieu hétérogène
C:\Documents and Settings\erhel.irisa\Mes documents\Mes doc\EXPOSES\DEMO-HYDROGRID\matlab Lancer hydro

27 Charge dans un réseau 3D de fractures

28 Pour en savoir plus