Illustration dans le plan complexe du repliement spectral

Présentation au sujet: "Illustration dans le plan complexe du repliement spectral"— Transcription de la présentation:

1 Illustration dans le plan complexe du repliement spectral
lors de l’échantillonnage d’un mouvement régulier de rotation dont on modifie la fréquence début Certaines transitions du diaporama sont automatiques pour les modifier sous powerpoint sélectionner diaporama>transition>avancer>choisir manuellement eu lieu d ’automatiquement ou modifier la durée d ’affichage de la diapositive

2 Le repliement spectral dû à l’échantillonnage
stroboscope Le repliement spectral dû à l’échantillonnage est similaire à l’effet stroboscopique : Photographie recopiée du site Illustration par le mouvement d’une roue au cinéma (24 images par seconde) à la télévision (25 images par seconde)

3 Fréquence de la rotation
24 fois plus petite que la fréquence d’échantillonnage fréquence faible temps fréquence 1 2 24 Hz 1 s

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6 Lorsque la fréquence est faible on suit bien le mouvement

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28 On suit très bien le mouvement

29 Fréquence de la rotation
fréquence augmentée Fréquence de la rotation 12 fois plus petite que la fréquence d’échantillonnage On augmente la fréquence temps fréquence 1 2 24 Hz 1 s

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41 On suit encore le mouvement

42 Fréquence de la rotation
4 fois plus petite que la fréquence d’échantillonnage fréquence moitié temps fréquence On augmente la fréquence jusqu ’à la moitié de la fréquence d ’échantillonnage: il n ’est plus possible de suivre le mouvement , on ne sait plus dans quel sens s ’effectue la rotation 1 2 6 12 24 Hz 1 s Le mouvement est moins bien suivi

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47 Le mouvement est moins bien suivi

48 Fréquence de la rotation
fréquence moitié Fréquence de la rotation 2 fois plus petite que la fréquence d’échantillonnage temps fréquence On augmente la fréquence jusqu ’à la moitié de la fréquence d ’échantillonnage: il n ’est plus possible de suivre le mouvement , on ne sait plus dans quel sens s ’effectue la rotation 1 2 12 24 Hz 1 s Le sens de rotation n’apparaît plus

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55 Le sens de rotation n’apparaît plus

56 Une fréquence positive
Augmentation de la fréquence de rotation au delà de la moitié de la fréquence d’échantillonnage fréquences négatives Une fréquence positive apparaît comme Une fréquence négative n ’est rien d ’autre qu ’un sens de rotation opposé une fréquence négative

57 Mouvement à fréquence positive (convention du sens des aiguilles)

58 Mouvement à fréquence positive (convention du sens des aiguilles)

59 Mouvement à fréquence positive (convention du sens des aiguilles)

60 Mouvement à fréquence positive (convention du sens des aiguilles)

61 Mouvement à fréquence positive (convention du sens des aiguilles)

62 Mouvement à fréquence positive (convention du sens des aiguilles)

63 Mouvement à fréquence positive (convention du sens des aiguilles)

64 Changement de signe : fréquence négative
changement de sens

65 Changement de signe : fréquence négative

66 Changement de signe : fréquence négative

67 Changement de signe : fréquence négative

68 Changement de signe : fréquence négative

69 Changement de signe : fréquence négative

70 Changement de signe : fréquence négative

71 un peu en dessous de la fréquence d ’échantillonnage
Fréquence de la rotation légèrement plus petite que la fréquence d’échantillonnage : le mouvement apparaît inversé un peu en dessous de la fréquence d ’échantillonnage Au delà de la moitié de la fréquence d ’échantillonnage une fréquence apparaît comme une fréquence négative temps 1 s fréquence -1 1 2 23 24 Hz

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96 Au lieu de la fréquence w,
on observe la fréquence w - wech qui est négative w - wech = = -1

97 un peu au dessus de la fréquence d ’échantillonnage
Fréquence de la rotation égale à la fréquence d’échantillonnage : la rotation ne se voit plus, la roue paraît immobile un peu au dessus de la fréquence d ’échantillonnage Au delà de la fréquence d ’échantillonnage, on confond la fréquence avec la fréquence obtenue en lui soustrayant la fréquence d ’échantillonnage temps 1 s fréquence w - wech = = 0 -1 1 2 24 25 Hz

98 un peu au dessus de la fréquence d ’échantillonnage
Fréquence de la rotation plus grande que la fréquence d’échantillonnage : résultat identique au premier cas, repliement spectral un peu au dessus de la fréquence d ’échantillonnage Au delà de la fréquence d ’échantillonnage, on confond la fréquence avec la fréquence obtenue en lui soustrayant la fréquence d ’échantillonnage temps 1 s fréquence w - wech = = 1 -1 1 2 24 25 Hz

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111 Au lieu de la fréquence w,
on observe la fréquence w - wech Repliement spectral

112 condition de nyquist 1 Un mouvement sinusoïdal réel est la somme
de deux composantes complexes l’une de fréquence positive et l’autre de fréquence négative condition de nyquist 1 2 cos wt = e jwt + e - jwt 2j sin wt = e jwt - e - jwt L ’interprétation d ’un mouvement monodimensionnel réel se fait en le considérant comme la somme de deux mouvements de sens opposés dans le plan -w w fréquence

113 Pour ne pas perdre d’information lors de l’échantillonnage
d’un mouvement réel, sa fréquence doit être inférieure à la moitié de la fréquence d’échantillonnage. condition de nyquist 2 On en déduit la condition de nyquist shannon -1/2wech 1/2wech -w w fréquence

114 Effet stroboscopique : Plateau, von Stampfer (1830)
Analyse du mouvement, Chronophotographie : Muybridge, Marey (1870) Cinématographe : Edison, Lumière (1890) Théorie de l’échantillonnage pour les transmissions : Nyquist (1928), Shannon (1948) références Rechercher les références bibliographiques Consultez les différents sites qui leur sont consacrés ! Une illustration sonore du repliement