D B C A commande optimale (critère quadratique) et filtrage de kalman

Présentation au sujet: "D B C A commande optimale (critère quadratique) et filtrage de kalman"— Transcription de la présentation:

1 D B C A commande optimale (critère quadratique) et filtrage de kalman
Joël Le Roux, EPU, Université de Nice ; Des équations similaires parce qu’on minimise un critère quadratique y(t) mémoire (retard) z-1 A B u(t) Commande (entrée) x(t+1) C + x(t) état sortie (mesure) x(t+1)=A.x(t)+B.u(t) D commande optimale : un système est dans un état initial connu ; comment l’amener à un état final donné en un nombre fini d’étapes et en minimisant un critère quadratique Justification fondée sur le principe de Bellman et une écriture récursive de la solution du problème de commande optimale

2 formalisation du critère 1
Le critère qu’on cherche à minimiser notez l’écriture! il fait intervenir les états et les commandes ; les matrices Q et R sont connues et définies positives

3 formalisation du critère 2
Le critère qu’on cherche à minimiser il fait intervenir les états et les commandes ; les matrices Q et R sont connues et définies positives

4 formalisation du critère 3
Le critère qu’on cherche à minimiser il fait intervenir les états et les commandes ; les matrices Q et R sont connues et définies positives

5 formalisation du critère 4
qu’on cherche à mettre sous la forme dans le cas scalaire

6 formalisation du critère 5
qu’on cherche à mettre sous la forme pour que les expressions soient identiques, il faut que

7 minimisation du critère 1
Factorisation en racines carrées (triangulaires) le critère est minimum quand le dernier terme est nul

8 minimisation du critère 2
evaluation du critère quand le minimum est atteint

9 minimisation du critère 3
evaluation du critère quand le minimum est atteint

10 minimisation du critère 4
evaluation du critère quand le minimum est atteint

11 expression finale des calculs de commande optimale
Equations correspondantes du filtre de Kalman

12 Illustration par une simulation
(mathcad) Cas élémentaire état initial état final voulu minimiser pénalisation si l’état final n’est pas

13 calcul récursif de la matrice P
traduit la pénalisation si l’état final n’est pas

14 calcul itératif de la commande

15

16

17 évolution de la position et de la vitesse en fonction de la commande

18 évolution en fonction du temps
iteration