3/4 X X 1/4 1/2 a(2(1+u)t) a a b(4t-2(1-u/2)) u u a a b b c c b b c c c(4(1-u/2)t-3+2u) Homotopie entre les lacets a * (b * c) et (a * b) * c. Le paramètre.

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1 3/4 X X 1/4 1/2 a(2(1+u)t) a a b(4t-2(1-u/2)) u u a a b b c c b b c c c(4(1-u/2)t-3+2u) Homotopie entre les lacets a * (b * c) et (a * b) * c. Le paramètre t (horizontal) est celui du lacet, u (vertical) est celui de déformation. Les côtés verticaux sont envoyés sur le point base x 0 de X. Les formules sont portées dans les zones correspondantes. En particulier les points sur les deux lignes séparant les zones sont dimage x 0.

2 X X 1/2 a(((2-u)t) a a u u a a e e x0x0 Homotopie entre les lacets a * e et a, a est un lacet quelconque, e est le lacet constant. Le paramètre t (horizontal) est celui du lacet, u (vertical) est celui de déformation. Les côtés verticaux et le triangle de droite sont envoyés sur le point base x 0 de X.

3 X X 1/2 a(2t), 0t(1-u)/2 a a a(1-u) u u a a a(1-2t), (1+u)/2t1 Homotopie entre les lacets a * a et e. Le lacet a est défini par a(t)=a(1-t). Le paramètre t (horizontal) est celui du lacet, u (vertical) est celui de déformation. Les côtés verticaux sont envoyés sur le point base x 0 de X.

4 X X 1/2 c 1 (6t/(3-u)), 0t1/2-u/6 c1c1 c1c1 a(6t-3+u), 1/2-u/6t1/2 a(6t-3+u), 1/2-u/6t1/2 u u c2c2 c2c2 Homotopie entre un chemin c 1* c 2 et c 1* a * a op * c 2. Avec c 1 un chemin de y à z, c 2 de z à t, a de z à x 0. Lhomotopie laisse fixe les extrémités. 1/3 2 2/3 1/2 c1c1 c1c1 c2c2 c2c2 a a a op c 2 (6t/(3-u)-(3+u)/(3-u)), 1/2+u/6t1 t t z z y y z z z z x0x0 x0x0 a(-6t+3+u), 1/2+u/6t1 a(-6t+3+u), 1/2+u/6t1 Le chemin parcouru au paramètre de déformation u est c 1 entre les temps 0 et 1/2-u/6; a de z à a(u) du temps 1/2-u/6 au temps 1/2; a op de a(u) à z du temps 1/2 au temps 1/2+u/6; c 2 entre les temps 1/2+u/6 et 1. a op (t)=a(1-t)

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