Programme de première Probabilités conditionnelles Indépendance

Présentation au sujet: "Programme de première Probabilités conditionnelles Indépendance"— Transcription de la présentation:

1 Programme de première Probabilités conditionnelles Indépendance
ST2S 2007 Programme de première Probabilités conditionnelles Indépendance

2 Extraits du programme de première STG 2007
page 4: …..L’objectif est d’entraîner les élèves à décrire quelques expériences aléatoires simples et à calculer des probabilités. Il s’agit d’éviter tout développement théorique et d’introduire la notion de probabilité en s’appuyant sur la notion de fluctuation d’échantillonnage mise en évidence par simulation. On soulignera les propriétés des fréquences et la relative stabilité de la fréquence d’un événement donné lorsque l’expérience est répétée un grand nombre de fois. L’usage de la calculatrice ou du tableur permet d’enrichir le champ des expériences aléatoires simples. L’utilisation de sur des exemples simples de fonctions logiques (SI … ALORS… SINON) est recommandée en vue de la préparation de certains concours. (page 3)

3

4 Un exemple

5 Corrigé succinct dans le même ouvrage:

6 Corrigé proposé: faire un dessin de l’urne
Réponse a) Soit A : « tirer deux nombres consécutifs » A = {{1;2}, {2;3}, {3;4}, {4;5}, {5;6} } Comme il y a équiprobabilité des événements élémentaires, p(A) = corrigé du même type pour l’événement B.

7 Hasard et modélisation
Le problème des bancs. Un jardin public comporte 3 bancs à deux places chacun . Deux personnes arrivent et s’assoient au hasard. Quelle est la probabilité qu’elles soient assises sur le même banc? 3 4 5 2 6 1

8 Autre univers, autre modélisation
Chaque personne tire au hasard le banc sur lequel elle s’assoit: en notant B1, B2 et B3 les bancs: exemple de résultat: (B1,B3),

9 Dans cette représentation, l’expérience est modélisée par deux tirages successifs avec remise dans une urne: B1 B3 B2

10 l’univers comporte 9 événements élémentaires équiprobables:
Choix de la 1ère personne Choix de la deuxième chc

11

12 Programme de terminale

13 Donc…

14 Un exemple d’introduction des probabilités conditionnelles
1200 4000 2800 200 800 1000 2000 3000

15 On choisit une personne au hasard dans cette population, avec l’hypothèse d’équiprobabilité: événement A:  le client a acheté  événement B:  le client a bénéficié d’un conseil  1200 4000 2800 200 800 1000 3000 2000

16 Sachant que la personne interrogée a bénéficié d’un conseil, quelle est la probabilité qu’elle achète un article?

17

18 Avec un arbre: A B A

19 Avec des diagrammes

20 C: le client a moins de 25 ans
0,6 C A 0,4 B C 0,5 0,5 C 0, 3 A 0,7 C 0,4 0,6

21 La même avec trois événements A,B,C

22

23 Règles : A chaque niveau, les événements forment une partition de l’univers. les probabilités sur les branches secondaires sont toujours des probabilités conditionnelles la probabilité d’un chemin (ou trajet) est le produit des probabilités marquées sur ses branches ; la probabilité d’un événement est la somme des probabilités des chemins y conduisant. Remarques : La somme des probabilités des branches primaires est égale à 1. La somme des probabilités des branches secondaires issues d’un même nœud est égale à 1.

24 Exemple: le paradoxe des événements rares
On étudie un test de détection d’une maladie sur une population qui comporte une proportion p=0,1 de personnes malades. Si la personne est malade, la probabilité que le test soit positif est 0,99. Si la personne n’est pas malade, le test est négatif avec une probabilité de 0,99. 1- Traduire le nombre 0,99 à l’aide de probabilités conditionnelles 2- On fait subir le test à une personne prise au hasard, quelle est la probabilité à 0,01 près qu’il soit positif? 3- Sachant qu’une personne de cette population a un test positif, quelle est la probabilité qu’elle soit malade?

25 T M 0,99 p T M 1-p 0,01 2) Soit p(T) = 0,108 3)

26 Le paradoxe Ici Avec p=0,001 sachant que la personne a un test positif, la probabilité qu’elle soit malade est d’environ 0,09, malgré la fiabilité des tests.

27 Indépendance: 0,48 0,8 0,6

28 Définition: deux événements A et B sont indépendants lorsque:
Si p(B) est non nul, cela revient à :

29 Indépendance dans le cas d’équiprobabilité
Si B est non vide, A et B sont indépendants si et seulement si la proportion de dans B est égale à la proportion de A dans

30 Deux utilisations de l’indépendance
Vérifier l’indépendance de deux événements (exemple des naissances filles garçons) 2. D’après les conditions de l’expérience, on sait que deux événements A et B sont indépendants, on en déduit la probabilité de

31 Quelques exemples d’utilisation d’un tableur
Fréquences conjointes et indépendance

32 2. Simulation de tirages successifs sans remise: trois tirages, 100 simulations de trois tirages

33 3. Le problème des anniversaires
Quelle est la probabilité que, dans un groupe de n personnes, il y en ait au moins deux qui fêtent leur anniversaire le même jour? Simulations

34 Fin