1 Programme de mathématiques du cycle terminal de la série Littéraire.

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1 1 Programme de mathématiques du cycle terminal de la série Littéraire

2 2 Classe de première : Option obligatoire au choix Classe de terminale : Enseignement de Spécialité Horaire : 3 heures Epreuve du Baccalauréat : durée 3 heures; coefficient 3

3 3 Finalités de la formation Rendre les élèves, appelés à suivre des cursus variés, capables de sadapter à différents niveaux dexigences en mathématiques. Lacquisition de compétences a été privilégiée relativement à celle de contenus plus ambitieux.

4 4 Différences avec lancien programme Les nombres constructibles ne figurent plus dans ce programme MAIS un travail sur les nombres demeure et lapprentissage au raisonnement est très présent. ARITHMETIQUE

5 5 La fonction logarithme était auparavant introduite par quadrature de lhyperbole. Les fonctions exponentielles sont maintenant introduites comme prolongement « continu » de suites géométriques travaillées en programme obligatoire maths-info. Différences avec lancien programme ANALYSE

6 6 Différences avec lancien programme les probabilités sont introduites dès la classe de première la combinatoire nest proposée quen terminale STATISTIQUES-PROBABILITES

7 7 Différences avec lancien programme il ny a pas de géométrie analytique langle dattaque est celui de la représentation graphique des objets la représentation des corps ronds ne fait plus partie des contenus GEOMETRIE

8 8 DOMAINES TRANSVERSAUX LOGIQUE ET ALGORITHMIQUE

9 9 LOGIQUE

10 10 Objectif : faire acquérir aux élèves des compétences élémentaires de logique : utiliser correctement les connecteurs logiques « et » et « ou » repérer les quantifications implicites dans certaines propositions distinguer une implication de sa réciproque formuler la négation dune proposition utiliser un contre-exemple Exemple :

11 11 Différents types de raisonnement utilisés Raisonnement par disjonction de cas Raisonnement par labsurde Recours à la contraposée Raisonnement spécifique du dénombrement Raisonnement par récurrence

12 12 Démonstrations du programme Lensemble des nombres premiers est infini. Lensemble des diviseurs communs à plusieurs entiers est lensemble des diviseurs de leur PGCD. Pour a et b entiers relatifs et n entier naturel non nul, montrer léquivalence entre a –b est un multiple de n dans et a et b ont le même reste dans la division euclidienne par n. Compatibilité de la congruence avec laddition et la multiplication. Pour tout nombre réel x, exp(x) = e x. Théorème du toit. Le point de fuite dune droite d est lintersection du plan du tableau avec la droite parallèle à d passant par le point de vue.

13 13 produire des conjectures trouver des contre-exemples dégager le domaine de validité de certaines phrases distinguer les notions de condition nécessaire et de condition suffisante se poser le problème de la vérité de propositions comportant des quantificateurs et des connecteurs Exemple Une entrée par les problèmes pour

14 14 Un exemple de problème darithmétique en première Chercher des multiples de 15 qui sont aussi multiples de 22. Peut-on les trouver tous ? Chercher des multiples de 15 qui sont aussi multiples de 30. Peut-on les trouver tous ? Chercher des multiples de 15 qui sont aussi multiples de 99. Peut-on les trouver tous ? Et si les nombres sont m et p ?

15 15 Algorithmes Quest-ce quun algorithme ? Algorithme : ensemble de règles opératoires dont lapplication permet de résoudre un problème en un nombre fini dopérations Deux caractéristiques sont prépondérantes : la séquencialité leffectivité.

16 16 Familiariser les élèves à une démarche algorithmique en les entraînant à décrire certains algorithmes en langage naturel réaliser quelques algorithmes simples à laide dun tableur ou dune calculatrice identifier ce que certains algorithmes un peu plus complexes « produisent »

17 17 Deux procédés de multiplication utilisés au Moyen Âge. Texte dIBN al-Madji, Extrait de hawi l-lubab, traduction de A. Djebbar Calculer 438 2 Procédé par translation 1752 32 12 16 438

18 18 1883424912175243843818834249121752438438 1918446424321883443843819184464243218834438438

19 19 Procédé par semi-translation 644864924164.3.886644864924164.3.886 Si x = 100a + 10b + c alors x² = 10 000a² + 1000.2ab + 100(b² + 2 ac) + 10.2bc + c²

20 20 ARITHMETIQUE Orientations du programme : Donner des solides connaissances sur les nombres entiers Confronter les élèves à différents types de raisonnements mathématiques : contraposée, disjonction des cas, absurde, récurrence (en terminale)

21 21 ARITHMETIQUE Les grandes lignes du programme en première : comprendre notre numération écrite en comparant différents systèmes de numération en factorisant des nombres entiers en nombres premiers

22 22 ARITHMETIQUE Les grandes lignes du programme en terminale : Division euclidienne dans IN Multiples dun entier naturel Introduire loutil « congruences » Elargir la palette des raisonnements (Récurrence) Construire et consolider les connaissances de logique

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24 24 Travail de groupe 1. Problème à résoudre : donner lécriture d un entier naturel N en base 8 Consigne : décrire en langage naturel la stratégie à adopter 2. Problème à résoudre : donner lécriture d un entier naturel N en base b Consigne : programmer lalgorithme sur tableur 3. Problème à résoudre : interpréter un algorithme plus complexe

25 25 Objectifs : Repérer les quantifications implicites Distinguer une proposition conditionnelle de sa réciproque Formuler la négation dune proposition Exemple n°1 est-elle une autre écriture de ? Comment le prouver ? Prouver que léquation na pas de solution dans IR.

26 26 Exemple n°2 On considère la représentation en perspective parallèle dun solide. Sur cette représentation les dessins de trois points donnés de lespace sont alignés. Peut-on en déduire une information sur ces trois points ? Sur cette représentation les dessins de trois points donnés de lespace ne sont pas alignés. Peut-on en déduire une information sur ces trois points?

27 27 Problème à résoudre : donner lécriture d un entier naturel N en base 8 Lanalyse du problème permet de décrire en langage naturel la stratégie à adopter : On initialise en affectant à A la valeur N. Procédure : On effectue la division euclidienne de A par 8. On obtient un quotient et un reste. On affecte à A la valeur de ce quotient et on garde ce reste. (qui est lun des chiffres de lécriture recherchée). On réitère cette procédure tant que le contenu de A nest pas nul. Lécriture de N dans la base 8 sobtient en disposant de droite à gauche tous les restes dans lordre où ils ont été obtenus.

28 28 Problème à résoudre : donner lécriture d un entier naturel N en base b Programmation de lalgorithme sur tableur : On saisit la valeur de la base en cellule A2 et celle de N en cellule B2. On saisit en cellule B3 : = ENT(B2/A$2) et en cellule C3:= B2-(B3*A$2) On recopie vers le bas dans les cellules des colonnes B et C les formules saisies en B3 et C3. On lit dans la colonne C les chiffres de lécriture de N en base b.

29 29 Problème à résoudre : interpréter un algorithme plus complexe N est un entier naturel non nul. 1°) Initialisation : la liste L est vide 2°) Pour tout entier naturel k compris entre 1 et N, on effectue la division euclidienne de N par k. On obtient un quotient et un reste. si le reste est nul alors on écrit k dans la liste L sinon on passe à lentier k suivant. 3°)Quand toutes les valeurs de k ont été examinées, on calcule le nombre S des termes de la liste L. Question : que représente S ?

30 30 Problème à résoudre : interpréter un algorithme plus complexe 1° )Cas n°1 : N = 20 a) Initialisation : on a écrit 1 dans la cellule A4 b) on saisit dans la cellule A5 : puis on tire vers le bas cette formule. Quobtient-on dans les plages de cellules A4:A23 et A23:A27 ? c) On saisit dans la cellule B4 : Quobtient-on dans la plage de cellules B4:B23 ? d) On saisit dans la cellule C1 : = NB(B:B). Le résultat de lalgorithme est le contenu de cette cellule C1. Que produit cet algorithme ? 2°) Que suffit-il de modifier à cette page de calcul pour que cet algorithme fonctionne avec nimporte quel entier naturel non nul N ?

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32 32 1 ère L Math - Info Information chiffrée Pourcentages, feuilles informatisées de calcul, représentation graphique, outils graphiques de dénombrement. Statistique - diagramme en boîte, intervalle inter-quartile ; - variance, écart-type ; - tableaux croisés Exemple de type de croissance - suites arithmétiques, croissance linéaire - suites géométriques, croissance exponentielle - autres exemples Activités d'ouverture