CHAPITRE 5. La théorie de l’assurance

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1 CHAPITRE 5. La théorie de l’assurance

2 Objectif du chapitre 5 Ce chapitre présente une application de l’axiomatique de VNM à la demande d’assurance. Nous verrons, le principe de l’assurance par mutualisation des risques, l’assurance et l’aversion pour le risque ainsi que les limites de l’assurance.

3 I- Les mécanismes de l’assurance :
Un assureur agit en qualité d’intermédiaire auprès de nombreuses personnes exposées au même risque. L’assureur perçoit une somme appelée prime ou cotisation. Les fonds recueillis servent à constituer une caisse commune permettant d’indemniser les victimes du sinistre.

4 Pour honorer ses engagements l’assureur doit tenir compte de trois éléments essentiels :
1- la fréquence : c-à-d du rapport existant entre les sinistres déclarés et le nombre d’assurés 2- Le coût moyen d’un sinistre : c-à-d le coût obtenu en rapportant le montant total des indemnités au nombre des sinistres. 3- la tendance : c-à-d la mesure de l’évolution d’une année sur l’autre de la fréquence et du coût moyen du sinistre.

5 II- La mutualisation des risques
Considérons un individu ayant une richesse initiale w0 comportant un bien d’une valeur h pouvant être détruit avec la probabilité p. La richesse finale de l’agent est donc : Soit :

6 L’équivalent certain est déterminé par :
La prime de risque est déterminée par : Donc l’individu sera prêt pour obtenir un contrat de pleine assurance à payer au maximum de :

7 Supposons maintenant que deux individus identiques fassent un « pool ».
Trois cas se présentent : 1- soit il n’y a pas de sinistre et la richesse des membres du « pool » reste identique w0 . Cet état survient avec la probabilité : 2- soit il n’y a qu’un seul sinistre. Chaque agent devra donc payer la moitié du montant du sinistre (y compris le sinistré). La richesse finale de chaque agent est donc égale à w0 – h/2. Cet état survient avec la probabilité :

8 3- soit il y a deux sinistres
3- soit il y a deux sinistres. Chacun des deux agents devra donc payer la moitié du montant total des sinistres. La richesse finale de chaque agent est donc égale à w0 – 2.h/2. Cet état survient avec la probabilité : Donc lorsque les agents font un « pool » leur richesse finale devient :

9 Extension du « pool » Supposons qu’il y ait n agents identiques qui décident de former un « pool ». La richesse finale de chaque agent est :

10 Les caractéristiques du « pool »
Le fait d’intégrer le « pool » : réduit les probabilités des états extrêmes, ne modifie pas la richesse moyenne, réduit la prime de risque, réduit la variance, augmente l’utilité.

11 Exemple : Soit deux agents identiques ayant les caractéristiques suivantes : 1- Déterminez dans le cas ou un agent est seul la richesse finale, la richesse moyenne, la prime de risque, la prime maximale de pleine assurance. 2- Même question dans le cas où le « pool » est formé de deux agents.

12 Réponse : 1- La richesse finale est : La richesse moyenne est :
La prime de risque est :

13 L’équivalent certain déterminé par :
La prime maximale de pleine assurance est :

14 2- dans le cas du pool avec deux agents :
0 sinistre avec la probabilité : 1 seul sinistre avec la probabilité : 2 sinistres avec la probabilité : La richesse finale est : La richesse moyenne est :

15 La prime de risque est : L’équivalent certain déterminé par : La prime maximale de pleine assurance est :

16 Comparaison entre les deux situations :
Hors du pool Dans le pool Richesse finale (0,2) (0,8) (0,04) (0,32) (0,64) Richesse moyenne 49 000 Prime de risque 77,15 28,19 Prime maximale de pleine assurance 1 077,15€ 1 028,19€

17 Les contrats d’assurance :
Le contrat de pleine assurance est un contrat où l’intégralité du sinistre est remboursée par l’assurance Le contrat de co-assurance est un contrat ou seulement une part du sinistre est remboursée par l’assurance Le contrat d’assurance avec franchise est un contrat où l’assuré prend à sa charge le sinistre jusqu’à un certain montant fixé. Au delà de ce montant, la différence entre la perte et la franchise est à la charge de l’assurance.

18 Équivalent certain = Richesse moyenne – Prime de risque
Par ailleurs on sait que : D’où : Équivalent certain = Richesse moyenne – Prime de risque

19 Le contrat de pleine assurance :
Soit un agent tel que la richesse finale est donnée par : Le degré de satisfaction en l’absence d’assurance est mesuré par :

20 Supposons qu’une compagnie d’assurance propose un contrat de pleine assurance à l’agent. Moyennant le paiement d’une prime d’assurance P l’assurance verse une indemnité I égal au montant du sinistre L. La richesse finale n’est plus risquée. Elle est sûre et certaine.

21 La prime d’assurance P vérifie la relation suivante :
Soit : Comme la prime est positive, il faut que la fonction d’utilité soit concave pour que l’inégalité précédente tienne. U’’>0 La prime maximum que l’individu acceptera de payer est telle que :

22 L’indemnité moyenne du sinistre coïncide avec l’espérance mathématique du sinistre quand l’assurance fait jouer la loi des grands nombres. On remarque que :

23 Le contrat de co-assurance :
Soit un agent tel que la richesse finale est donnée par : Le degré de satisfaction en l’absence d’assurance est mesuré par :

24 Supposons qu’une compagnie d’assurance propose un contrat de co-assurance à l’agent. Moyennant le paiement d’une prime d’assurance P l’assurance verse une indemnité I égal au montant du sinistre L pondéré par un coefficient b positif mais strictement inférieur à 1 : I=b.L. La prime d’assurance est déterminée par l’espérance de l’indemnité :

25 L’individu choisira le pourcentage b maximisant son espérance d’utilité :
En dérivant par rapport à b on obtient :

26 Donc l’individu choisirait toujours un contrat de plein assurance
La compagnie d’assurance doit nécessairement appliquer un facteur de chargement l pour que l’individu accepte un contrat de co-assurance pour lequel il acceptera de prendre à sa charge une partie du risque. La prime d’assurance sera alors : A votre avis pourquoi une compagnie d’assurance à intérêt à proposer un contrat de co-assurance ?

27 Dans le cas d’un contrat de co-asurance, la richesse finale est donnée par :

28 Le contrat avec franchise :
La décision d’assurance consiste donc à déterminer un montant D qui correspond au montant en dessous duquel le risque incombe à l’assuré et non à l’assureur. Pour les même raisons que la co-assurance la prime d’assurance P est de la forme :

29 Dans le cas d’un contrat avec franchise, la richesse finale est donnée par :
L’individu choisira le montant de la franchise optimale qui maximisera l’espérance de son utilité finale :

30 Exercice : Un propriétaire de chevaux de course possède un cheval acheter €. Sa richesse initiale est de € et sa fonction d’utilité est logarithmique. La compagnie d’assurance lui propose 2 contrats : Contrat 1- co-assurance avec un coefficient de chargement de 2% Contrat 2- Franchise avec chargement de 2% Pendant la période de préparation, le cheval a une chance sur 1000 d’avoir un accident le rendant inutilisable. 1- Calculez le taux de couverture b du contrat 1- 2- Calculez la franchise D du contrat 2-, concluez ?

31 Réponse : Le risque auquel fait face le propriétaire est :
1- le taux de couverture b est donné par la résolution du programme : Avec : p=1/1000, w0= €, L= €, l=0,02

32 Après de nombreux et douloureux calculs que vous ferez ….on obtient :
La prime d’assurance est :

33 2- La franchise optimale est déterminée par :
La prime payée est déterminée par :

34 Rétention en cas de sinistre Montant versé par l’assurance
Comparaison des deux contrats : Contrat de co- assurance Contrat avec franchise Prime Rétention en cas de sinistre Montant versé par l’assurance 132,98€ (1-b)L (1-0,8692)x150000=19620 b L=0,8692x150000=130395 D=19625 L-D=130375 À quelques Euros prés, Le propriétaire devrait être indifférent entre les deux contrats