Les algorithmes arithmétiques

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1 Les algorithmes arithmétiques
II. Les nombres premiers 1- Activité n°1 Écrire une spécification puis un algorithme qui permet de vérifier si un nombre donné est premier ou non.

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II. Les nombres premiers 2- définition: Un nombre premier est un entier naturel strictement supérieur à 1, n'admettant que deux entiers naturels diviseurs : 1 et lui-même. Ceci constitue la définition même (et unique) des nombres premiers. Question: Quelle est la somme des diviseurs d’un nombre premier sauf lui-même?

3 Les algorithmes arithmétiques
II. Les nombres premiers 3- Spécification: Spécification de la fonction verif_premier(n:entier): booléen Résultat: verif_premier Traitement : verif_premier  sd=1 sd= [ sd  1 ] Pour i de 1 à n div 2 faire Si n mod i = alors sd := sd+i Fin Si Fin Pour

4 Les algorithmes arithmétiques
II. Les nombres premiers 4- Algorithme: 0) fonction verif_premier(n:entier): booléen sd  1 Pour i de 1 à n div 2 faire Si n mod i = alors sd := sd+i Fin Si Fin Pour 2) verif_premier  sd=1 3) Fin verif_premier

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II. Les nombres premiers Remarque: Voici la liste des nombres premiers inférieurs à 100 : Pour obtenir cette liste, il suffit d'observer une table de multiplication de Pythagore, à partir de 2 jusqu'à 10. Tous les nombres qui n'apparaissent pas sont les nombres premiers. Par opposition, les autres sont dits "composés" (sous-entendu composés par un produit d'au moins deux nombres premiers). Un nombre composé est donc factorisable en un produit de puissances de facteurs de nombres premiers de façon unique à l'ordre près (voir l'article théorème fondamental de l'arithmétique). Par exemple 12 = 2×2×3 est composé, tout comme 21 = 3×7 ou 7×3, mais 11 est premier car la seule factorisation possible est 1×11 = 11.

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II. Les nombres premiers L'Algorithme d'Ératosthène Pour rechercher une liste de tous les nombres premiers inférieurs à une limite n pas trop grande, le crible d'Ératosthène est une méthode simple et efficace : on part de la liste des entiers de 2 à n. On prend le premier nombre non barré de cette liste, 2 (à ce stade aucun nombre n'est barré), et on barre tous les entiers multiples de 2. On répète l'opération en considérant chaque fois le prochain nombre non barré et en barrant ses multiples. Les nombres qui restent non barrés à la fin du processus sont les nombres premiers inférieurs à n. On peut en fait arrêter le processus dès que les nombres non barrés encore à considérer sont supérieurs à la racine carrée de n, car leurs multiples auront déjà été barrés.

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III. Les nombres premiers 5- Activité Utiliser l’algorithme d'Ératosthène pour afficher tous les nombres premiers inférieurs ou égales à n. n < 200.

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IV. La décomposition en facteurs premiers 1- Activité n°1 Écrire un programme qui stocke la décomposition en facteurs premiers d'un nombre entier strictement positif dans un tableau et ensuite affiche les éléments de ce tableau sous la forme 18 = 2*3*3.

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IV. La décomposition en facteurs premiers 2- Définition La décomposition d’un entier en produit de facteurs premiers consiste à écrire cet entier sous la forme d’un produit de ces diviseurs premiers.

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IV. La décomposition en facteurs premiers 3- Spécification Spécification de la procédure remplir(var nb: entier; n : entier; var t: tab) Résultat= nb,T Traitement = [nb  0 i  2] Répéter Si n mod i = 0 then n  n div i nb  nb +1 t[nb]  i Sinon i  i+1 Jusqu’à n=1

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IV. La décomposition en facteurs premiers 4- Algorithme 0) procédure remplir(var nb: entier; n : entier; var t: tab) 1)nb  0 i  2 Répéter Si n mod i = 0 then n  n div i nb  nb +1 t[nb]  i Sinon i  i+1 Jusqu’à n=1 2) Fin remplir