La régression logistique: fondements et conditions d’application

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1 La régression logistique: fondements et conditions d’application
Université de Ouagadougou Séminaire national sur l’analyse des données du recensement au Burkina Faso Ouagadougou, novembre 2011 La régression logistique: fondements et conditions d’application Jean-François KOBIANÉ Institut Supérieur des Sciences de la Population

2 Pourquoi la régression logistique?
La régression linéaire (simple ou multiple) se prête bien pour l’analyse d’une variable dépendante continue (intervalle ou ratio). En sciences sociales, il y a peu de variables de ce type et ce que l’on tente d’expliquer se présente souvent sous une forme dichotomique Mariée ou non ? En chômage ou actif ? Vivant ou décédé ? Vacciné ou non ? À l’école ou non ?  En somme: être ou ne pas être ?

3 Pourquoi la régression logistique?

4 Pourquoi la régression logistique?
Avec la régression linéaire (RLi), les valeurs prédites seront plus grandes que 1 et plus petites que 0, au fur et à mesure qu’on s’éloigne sur l’axe des X. Une des hypothèses de la RLi est que la variance de Y est constante à travers les valeurs de X (Homoscedasticité). Ceci n’est vérifié dans la RLo, parce que la variance est égale à PQ. L’hypothèse de la RLi selon laquelle les erreurs de prédiction (Y-Y’) sont normalement distribuées n’est pas non plus tenable en RLo, puisque Y prend les valeurs 0 et 1.

5 Le modèle de régression logistique
Le modèle de régression logistique nous permet donc de résoudre le problème de non-linéarité certaine dans la relation entre notre variable dépendante et n’importe quelle variable indépendante. Notre variable dépendante est transformée sous forme de probabilité. Il s’agit donc de mesurer l’effet de certaines variables indépendantes sur une variable dépendante qui peut essentiellement prendre les valeurs comprises entre 0 et 1.

6 Le modèle de régression logistique
Supposons que nous connaissons uniquement la taille d’un individu et que nous souhaitons prédire son sexe. Nous pouvons raisonner en termes de probabilité comme nous pouvons raisonner en termes de odds. Supposons que la probabilité d’être un homme pour une taille donnée est de 0,9.

7 Le modèle de régression logistique
Le odds d’être un homme dans notre exemple sera de 0,90/0,10=9. Le odds d’être une femme sera de 0,10/0,90=1/9=0,11. Il y a là une asymétrie difficilement concevable, parce que le odds d’être un homme devrait être l’opposé du odds d’être une femme. Ce problème d’asymétrie peut être résolu en recourant au logarithme népérien (ou log naturel: ln): ln(9/1)=2,219 alors que ln(1/9)=-2,217. Le log odds d’être homme est exactement l’opposé du log odds d’être femme.

8 Le modèle de régression logistique

9 Le modèle de régression logistique
En régression logistique, la variable dépendante est un logit c’est-à-dire le log naturel du odds : logit(P) = a + bX Relation linéaire entre le log odds et les V.I.

10 Le modèle de régression logistique
Le concept de logit est difficile à se représenter de façon concrète! On préférera alors parler en termes de probabilités

11 Formalisation mathématique
(ß0 + ß1X1 + ß2X ßzXz) e P(Y) = ______________________   (ß0 + ß1X1 + ß2X2 +..ßzXz) 1 + e P(Y):probabilité de la variable dépendante (entre 0 et 1); ß0: la constante du modèle ("intercept"); ßz : coefficient pour la variable indépendante Xz.

12 Transformation de l’équation
1 P(Y)= __________________________   (ß0 + ß1X1 + ß2X2 +..ßzXz) 1 + e

13 Adéquation du modèle Le test d’adéquation du modèle se fait à partir de la probabilité de Chi deux. Si cette probabilité est inférieure au seuil choisi, le modèle est adéquat. Ceci signifie que les variables indépendantes considérées dans l’ensemble expliquent la variation de la variable dépendante. Elles peuvent donc prédire la valeur de Y. On a deux modèles: le modèle saturé et le modèle pas à pas. Le modèle saturé permet de calculer la contribution de chaque variable indépendante au modèle. Le modèle pas à pas permet d’identifier les mécanismes par lesquels chacune des variables indépendantes influence la variable étudiée.

14 R- Carré Il n’ y a pas à proprement parler d’équivalent du R2 en Rli. On calcule néanmoins un pseudo R2. Pseudo R2=chi-deux/(chi-deux+n) n étant la taille de l’échantillon