Rotation Pythagoricienne Les valeurs a 2 + b 2 = (b+1) 2 correspondent aux triplets Pythagoricien (2k+1, 2k(k+1), 2k(k+1)+1). Ces valeurs ne couvrent toutefois.

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1 Rotation Pythagoricienne Les valeurs a 2 + b 2 = (b+1) 2 correspondent aux triplets Pythagoricien (2k+1, 2k(k+1), 2k(k+1)+1). Ces valeurs ne couvrent toutefois pas tous les angles. Rotation discrète bijective Rot -1 (k)= Rot(-k-1)

2 Quasi-shear rotation R = o o

3 Quasi-Shear Rotation The formulas are rewritten as : With :

4 Quasi-shear rotations Quasi-shear Horizontal and Vertical Goal : find (t,u,v) so that QTH is the best possible approximation of TH Same for QTV and TV.

5 = t a u b We have: TH transforms x = i in -bx+ay+bi-ay o = 0 The naive discrete line ( = b) that best approaches this line is : thus : Quasi-shear rotations

6 QTH transforme the discrete line x=i in the discrete line : This is the previous line : Which leads to : Quasi-shear rotations

7 We replace : By : Quasi-shear rotations

8 The quasi-shear rotation of center (x o,y o ) and angle is defined by : With : Quasi-shear rotations

9 Properties of the quasi-shear rotation The quasi-shear rotation is one-to-one and RQT(xo, yo, ) -1 = RQT(xo, yo, - )

10 Properties of the Quasi-shear rotation Maximal distance Average distance

11 A propos des AQAs - Les AQAs donnent une idée de la dynamique de certains calculs en informatique. - Les AQAs permettent de construire des transformations avec certaines propriétés (rotations bijectives par exemple). - Les AQAs sont liées aux systèmes de numérations. - Les AQAs permettent de construire des pavages. - Les AQAs sont liées aux intersections de droites discrètes.

12 Changement déchelle vu par les transformations discrètes/continues Lidée cest de faire une opération dans le continu ou dans le discret en se servant des particularités de lautre monde. Dans ce qui suit on sest intéressé à lhomothétie comme opération de transition en étudiant une transformation discrète et une transformation continue.

13 Homothétie discrète douce ZnZn ZnZn RnRn Reconstruction Discrétisation Travail réalisé par Gaëlle Largeteau-Skapin

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15 Implémentation reconstruction Homothétie discrétisation Homothétie discrète douce

16 Exemple

17 reconstruction Homothétie discrétisation reconstruction Homothétie discrétisation

18 Exemple

19 Simplification discrète RnRn RnRn ZnZn discrétisation reconstruction Travail réalisé par Gaëlle Largeteau-Skapin

20 Niveaux de détails

21 Implémentation homothétie discrétisation reconstruction homothétie Simplification discrète

22 Exemple

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24 Instabilité : discrétisation reconstruction On peut étudier les équivalences topologique à niveau de détail près et M. Tajine, M. Ronse. Preservation of topolgy by Hausdorff discretization and comparison to other discretization schemes. Theoretical Computer Science, Elsevier, Vol. 283, N° 1, pp 243-268 (June 2002).

25 Questions ?