Problème des 4 couleurs, graphes planaires.

Problème des 4 couleurs, graphes planaires.
Cours de graphes Coloriage de graphes. Problème des 4 couleurs, graphes planaires. Théorème de Vizing. Applications. 21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet

Les grandes lignes du cours
Définitions de base Connexité Les plus courts chemins Dijkstra et Bellmann-Ford Arbres Arbres de recouvrement minimaux Problèmes de flots Coloriage de graphes, graphes planaires Couplage Chemins d’Euler et de Hamilton Problèmes NP-complets 21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet

Cours de graphes 5 - Intranet
Coloriage de graphes Coloriage des sommets d’un graphe : Deux voisins ne doivent pas avoir la même couleur ! Il faut minimiser le nombre de couleurs ! 21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet

Coloriage de graphes Coloriage des sommets d’un graphe : Deux voisins ne doivent pas avoir la même couleur ! Il faut minimiser le nombre de couleurs ! Solution avec 5 couleurs ! 21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet

Coloriage de graphes Coloriage des sommets d’un graphe : Deux voisins ne doivent pas avoir la même couleur ! Il faut minimiser le nombre de couleurs ! Mais 2 couleurs suffisent ! 21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet

Coloriage de graphes Coloriage des sommets d’un graphe : Deux voisins ne doivent pas avoir la même couleur ! Il faut minimiser le nombre de couleurs ! Le minimum de couleurs nécessaires est le nombre chromatique d’un graphe G, noté « c ( G ) » (lettre grecque chi de « crwma », qui signifie couleur). Mais 2 couleurs suffisent ! 21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet

Coloriage de graphes Application : téléphonie mobile ! Il faut assurer la continuité de services entre émetteurs ! Les régions de couverture doivent donc se chevaucher, mais ne doivent pas générer d’interférences ! 21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet

Coloriage de graphes Application : téléphonie mobile ! Il faut assurer la continuité de services entre émetteurs ! Les régions de couverture doivent donc se chevaucher, mais ne doivent pas générer d’interférences ! Chaque émetteur offre plusieurs fréquences (couleurs) qui sont différentes de celles utilisées par ses voisins ! 21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet

Coloriage de graphes Application : téléphonie mobile ! Il faut assurer la continuité de services entre émetteurs ! Les régions de couverture doivent donc se chevaucher, mais ne doivent pas générer d’interférences ! Chaque émetteur offre plusieurs fréquences (couleurs) qui sont différentes de celles utilisées par ses voisins ! M 21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet

Coloriage de graphes Application : téléphonie mobile ! Il faut assurer la continuité de services entre émetteurs ! Les régions de couverture doivent donc se chevaucher, mais ne doivent pas générer d’interférences ! Chaque émetteur offre plusieurs fréquences (couleurs) qui sont différentes de celles utilisées par ses voisins ! 21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet

Coloriage de graphes Coloriage des arêtes d’un graphe : Deux arrêtes adjacentes ne doivent pas avoir la même couleur ! Il faut minimiser le nombre de couleurs ! 21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet

Coloriage de graphes Coloriage des arêtes d’un graphe : Deux arrêtes adjacentes ne doivent pas avoir la même couleur ! Il faut minimiser le nombre de couleurs ! Solution avec 6 couleurs ! 21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet

Coloriage de graphes Coloriage des arêtes d’un graphe : Deux arrêtes adjacentes ne doivent pas avoir la même couleur ! Il faut minimiser le nombre de couleurs ! Mais 4 couleurs suffisent ! 21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet

Coloriage de graphes Application : emplois du temps ! Profs Elèves 21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet

Coloriage de graphes Application : emplois du temps ! Oraux ! Profs Elèves 21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet

Coloriage de graphes Application : emplois du temps ! Oraux ! Profs Elèves Créneaux horaires sous forme de couleurs ! 21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet

Le problème des 4 couleurs L E P R O B L E M E D E S Q U A T R E C O U L E U R S ! ! ! 21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet

Le problème des 4 couleurs En 1852, Francis Guthrie pose la question de savoir si toute mappemonde peut être coloriée avec 4 couleurs au plus ? 21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet

Le problème des 4 couleurs En 1852, Francis Guthrie pose la question de savoir si toute mappemonde peut être coloriée avec 4 couleurs au plus ? En termes de graphes ! 21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet

Le problème des 4 couleurs En 1852, Francis Guthrie pose la question de savoir si toute mappemonde peut être coloriée avec 4 couleurs au plus ? En termes de graphes ! C’est un problème de coloriage des sommets d’un graphe ! 21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet

Le problème des 4 couleurs Nous devons considérer une partie des graphes planaires ! 21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet

Le problème des 4 couleurs Nous devons considérer une partie des graphes planaires ! Un graphe est planaire s’il peut être dessiné dans le plan sans que des arêtes ne se croisent ! 21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet

Le problème des 4 couleurs Nous devons considérer une partie des graphes planaires ! Un graphe est planaire s’il peut être dessiné dans le plan sans que des arêtes ne se croisent ! La famille à analyser est difficile à caractériser ! On démontre vite que 5 couleurs suffisent, puis il faut attendre un siècle ! 21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet

Le problème des 4 couleurs Nous devons considérer une partie des graphes planaires ! Un graphe est planaire s’il peut être dessiné dans le plan sans que des arêtes ne se croisent ! La famille à analyser est difficile à caractériser ! On démontre vite que 5 couleurs suffisent, puis il faut attendre un siècle ! En 1976, Appel & Haken prouvent que 4 couleurs suffisent, en étudiant 1476 graphes critiques par ordinateur ! Depuis, on a pu simplifier le programme et se ramener à 633 cas à étudier. 21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet

Le problème des 4 couleurs Nous devons considérer une partie des graphes planaires ! Un graphe est planaire s’il peut être dessiné dans le plan sans que des arêtes ne se croisent ! La famille à analyser est difficile à caractériser ! On démontre vite que 5 couleurs suffisent, puis il faut attendre un siècle ! En 1976, Appel & Haken prouvent que 4 couleurs suffisent, en étudiant 1476 graphes critiques par ordinateur ! Depuis, on a pu simplifier le programme et se ramener à 633 cas à étudier. Question chez les matheux : La preuve est-elle acceptable ??? 21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet

Le problème des 4 couleurs Nous devons considérer une partie des graphes planaires ! Un graphe est planaire s’il peut être dessiné dans le plan sans que des arêtes ne se croisent ! La famille à analyser est difficile à caractériser ! On démontre vite que 5 couleurs suffisent, puis il faut attendre un siècle ! En 1976, Appel & Haken prouvent que 4 couleurs suffisent, en étudiant 1476 graphes critiques par ordinateur ! Depuis, on a pu simplifier le programme et se ramener à 633 cas à étudier. Question chez les matheux : La preuve est-elle acceptable ??? On peut construire un 4-coloriage en temps O ( | V |^2 ) ! 21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet

Les graphes planaires L E S G R A P H E S P L A N A I R E S ! ! ! 21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet

Les graphes planaires Est-ce que ce graphe est planaire ? 21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet

Les graphes planaires Est-ce que ce graphe est planaire ? OUI ! 21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet

Les graphes planaires Est-ce que ce graphe est planaire ? OUI ! NON, il y aura toujours un problème pour une arête ! 21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet

Les graphes planaires Est-ce que ce graphe est planaire ? OUI ! C’est le graphe bi-parti complet 3 – 3 : K ! 3,3 NON, il y aura toujours un problème pour une arête ! 21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet

Les graphes planaires Le graphe complet à 5 sommets, K , n’est pas planaire ! 5 En construction ! 21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet

Les graphes planaires Le graphe complet à 5 sommets, K , n’est pas planaire ! 5 Le voilà ! 21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet

Les graphes planaires Deux graphes sont homéomorphes si l’un peut être obtenu à partir l’autre par insertion de sommets de degré 2 ! 21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet

Les graphes planaires Théorème (Kuratowski, 1930) : Un graphe est planaire si et seulement s’il ne contient pas de sous-graphe homéomorphe à K ou à K ! 3,3 5 21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet

Les graphes planaires Théorème (Kuratowski, 1930) : Un graphe est planaire si et seulement s’il ne contient pas de sous-graphe homéomorphe à K ou à K ! 3,3 5 Planaire ou non ? 21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet

Les graphes planaires Théorème (Kuratowski, 1930) : Un graphe est planaire si et seulement s’il ne contient pas de sous-graphe homéomorphe à K ou à K ! 3,3 5 Planaire ou non ? NON ! K 21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 3,3

Les graphes planaires Un graphe G peut se contracter en un graphe G’ de la façon suivante : G 21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet

Les graphes planaires Un graphe G peut se contracter en un graphe G’ de la façon suivante : G G’ 21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet

Les graphes planaires Un graphe G peut se contracter en un graphe G’ de la façon suivante : G G’ G 21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet

Les graphes planaires Un graphe G peut se contracter en un graphe G’ de la façon suivante : G G’ G G’ 21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet

Les graphes planaires Théorème : Un graphe est planaire si et seulement s’il ne contient pas de sous-graphe qui se contracte vers K ou vers K ! 3,3 5 21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet

Les graphes planaires Théorème : Un graphe est planaire si et seulement s’il ne contient pas de sous-graphe qui se contracte vers K ou vers K ! 3,3 5 Planaire ou non ? 21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet

Les graphes planaires Théorème : Un graphe est planaire si et seulement s’il ne contient pas de sous-graphe qui se contracte vers K ou vers K ! 3,3 5 Planaire ou non ? Sous-graphe ! 21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet

Les graphes planaires Théorème : Un graphe est planaire si et seulement s’il ne contient pas de sous-graphe qui se contracte vers K ou vers K ! 3,3 5 Planaire ou non ? Contraction ! Sous-graphe ! 21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet

Les graphes planaires Théorème : Un graphe est planaire si et seulement s’il ne contient pas de sous-graphe qui se contracte vers K ou vers K ! 3,3 5 Planaire ou non ? NON ! K 3,3 Sous-graphe ! 21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet

Les graphes planaires Attention : Nous n’avons pas encore dit comment il faut faire concrètement pour trouver une représentation planaire d’un graphe qui l’est ! Applications : Organisation de circuits électroniques ! 21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet

Coloriage des sommets C O L O R I A G E D E S S O M M E T S ! ! ! 21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet

Coloriage des sommets taille_clique_max ( G ) <= c ( G ) <= D ( G ) + 1 21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet

Coloriage des sommets taille_clique_max ( G ) <= c ( G ) <= D ( G ) + 1 Une clique est un sous-ensemble de sommets qui sont voisins 2 à 2. 21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet

Coloriage des sommets taille_clique_max ( G ) <= c ( G ) <= D ( G ) + 1 Une clique est un sous-ensemble de sommets qui sont voisins 2 à 2. Les sommets d’une clique doivent tous avoir des couleurs différentes ! 21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet

Coloriage des sommets taille_clique_max ( G ) <= c ( G ) <= D ( G ) + 1 Une clique est un sous-ensemble de sommets qui sont voisins 2 à 2. Les sommets d’une clique doivent tous avoir des couleurs différentes ! Le nombre chromatique du graphe est au moins aussi grand que la taille de la plus grande clique ! 21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet

Coloriage des sommets taille_clique_max ( G ) <= c ( G ) <= D ( G ) + 1 Il est clair que D ( G ) + 1 couleurs suffisent ! Nous pouvons trouver une couleur pour tout sommet, même si tous ses voisins ont déjà des couleurs et que celles-ci sont toutes différentes ! 21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet

Coloriage des sommets Montrons que cet encadrement ne peut pas être amélioré ! taille_clique_max ( G ) <= c ( G ) <= D ( G ) + 1 21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet

Coloriage des sommets Montrons que cet encadrement ne peut pas être amélioré ! = = taille_clique_max ( G ) <= c ( G ) <= D ( G ) + 1 21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet

Coloriage des sommets Montrons que cet encadrement ne peut pas être amélioré ! = << taille_clique_max ( G ) <= c ( G ) <= D ( G ) + 1 21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet

Coloriage des sommets Montrons que cet encadrement ne peut pas être amélioré ! < = taille_clique_max ( G ) <= c ( G ) <= D ( G ) + 1 21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet

Coloriage des sommets Montrons que cet encadrement ne peut pas être amélioré ! < = taille_clique_max ( G ) <= c ( G ) <= D ( G ) + 1 En construction ! 21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet

Coloriage des sommets Montrons que cet encadrement ne peut pas être amélioré ! < = taille_clique_max ( G ) <= c ( G ) <= D ( G ) + 1 Le voilà ! 21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet

Coloriage des sommets La question de savoir si un graphe « G » peut être colorié à l’aide de « k » couleurs au plus est NP-complète ! ! ! 21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet

Coloriage des sommets La question de savoir si un graphe « G » peut être colorié à l’aide de « k » couleurs au plus est NP-complète ! ! ! Le problème de minimiser le nombre de couleurs pour colorier un graphe « G » est NP-difficile ! ! ! 21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet

Coloriage des sommets Une politique locale ne convient pas ! Soit le cas ci-dessous, avec un choix à faire pour « u » ! Une minimisation locale veut que « u » soit « rouge » ! ! ! u 21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet

Coloriage des sommets Une politique locale ne convient pas ! Soit le cas ci-dessous, avec un choix à faire pour « u » ! Une minimisation locale veut que « u » soit « rouge » ! ! ! 5 couleurs ! u 21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet

Coloriage des sommets Une politique locale ne convient pas ! Soit le cas ci-dessous, avec un choix à faire pour « u » ! Il fallait une nouvelle couleur pour « u » : « bleu » ! ! ! u 21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet

Coloriage des sommets Une politique locale ne convient pas ! Soit le cas ci-dessous, avec un choix à faire pour « u » ! Il fallait une nouvelle couleur pour « u » : « bleu » ! ! ! 3 couleurs ! u 21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet

Une roue avec un nombre impair de sommets et un rayon qui manque !
Coloriage des sommets Une politique locale ne convient pas ! Soit le cas ci-dessous, avec un choix à faire pour « u » ! Il fallait une nouvelle couleur pour « u » : « bleu » ! ! ! 3 couleurs ! u Une roue avec un nombre impair de sommets et un rayon qui manque ! 21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet

Coloriage des sommets Principe d’une énumération complète ! Nous avons une solution avec « m » couleurs, D( G ) + 1 au début ! Certains sommets ont déjà des couleurs ! « C » est l’ensemble des couleurs déjà utilisées ! 21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet

Coloriage des sommets Principe d’une énumération complète ! Nous avons une solution avec « m » couleurs, D( G ) + 1 au début ! Certains sommets ont déjà des couleurs ! « C » est l’ensemble des couleurs déjà utilisées ! Nous back-trackons pour un sommet « u » en explorant pour « u » le choix de toutes les couleurs de « C » qui ne sont pas prises par un de ses voisins, 21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet

Coloriage des sommets Principe d’une énumération complète ! Nous avons une solution avec « m » couleurs, D( G ) + 1 au début ! Certains sommets ont déjà des couleurs ! « C » est l’ensemble des couleurs déjà utilisées ! Nous back-trackons pour un sommet « u » en explorant pour « u » le choix de toutes les couleurs de « C » qui ne sont pas prises par un de ses voisins, en attribuant une nouvelle couleur à « u », à moins que ceci ne nous amène à utiliser plus que « m » couleurs ! 21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet

Coloriage des sommets Heuristique de coloriage ! Nous renonçons à la solution optimale et nous nous contentons d’une solution pas trop mauvaise trouvée de manière gloutonne ! 21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet

Coloriage des sommets Heuristique de coloriage ! Nous renonçons à la solution optimale et nous nous contentons d’une solution pas trop mauvaise trouvée de manière gloutonne ! Nous considérons les sommets dans un ordre pré-défini : aléatoire, plus grand degré d’abord, plus au centre d’abord, . . . 21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet

Coloriage des sommets Heuristique de coloriage ! Nous renonçons à la solution optimale et nous nous contentons d’une solution pas trop mauvaise trouvée de manière gloutonne ! Nous considérons les sommets dans un ordre pré-défini : aléatoire, plus grand degré d’abord, plus au centre d’abord, . . . Le sommet va rejoindre un ensemble de sommets de la même couleur que lui, si c’est possible (sinon, nous créons une nouvelle couleur) : l’ensemble le plus grand ( largest independent set ), l’ensemble le plus petit ( utilisation équilibrée des couleurs), 21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet

Graphes bi-partis G R A P H E S B I – P A R T I S ! ! ! 21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet

Graphes bi-partis Un graphe est bi-parti si ses sommets peuvent être coloriés à l’aide de deux couleurs seulement ! 21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet

Graphes bi-partis Un graphe est bi-parti si ses sommets peuvent être coloriés à l’aide de deux couleurs seulement ! Aucun sommet n’est relié à un autre sommet de même couleur ! 21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet

Graphes bi-partis Un graphe est bi-parti si ses sommets peuvent être coloriés à l’aide de deux couleurs seulement ! Les arbres sont des graphes bi-partis ! Aucun sommet n’est relié à un autre sommet de même couleur ! 21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet

Graphes bi-partis Un graphe est bi-parti si ses sommets peuvent être coloriés à l’aide de deux couleurs seulement ! Les arbres sont des graphes bi-partis ! Théorème ( TD ) : Un graphe est bi-parti si et seulement si tous ses cycles sont de longueurs paires ! Aucun sommet n’est relié à un autre sommet de même couleur ! 21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet

Coloriage des arêtes C O L O R I A G E D E S A R E T E S ! ! ! 21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet

Coloriage des arêtes Minimisation des couleurs ! Il faut au moins D ( G ) couleurs ! En effet, il existe un sommet dans « G » avec « D( G ) » voisins ! 21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet

Coloriage des arêtes Minimisation des couleurs ! Il faut au moins D ( G ) couleurs ! En effet, il existe un sommet dans « G » avec « D( G ) » voisins ! Maximisation des couleurs ! D ( G ) + 1 couleurs suffisent ! ! ! Théorème de Vizing (1964) ! L’algorithme de coloriage est en Q ( | E | ) ! 21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet

Coloriage des arêtes Minimisation des couleurs ! Il faut au moins D ( G ) couleurs ! En effet, il existe un sommet dans « G » avec « D( G ) » voisins ! Maximisation des couleurs ! D ( G ) + 1 couleurs suffisent ! ! ! Théorème de Vizing (1964) ! L’algorithme de coloriage est en Q ( | E | ) ! Est-ce D ( G ) ou D ( G ) + 1 ? ? ? 21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet

Coloriage des arêtes Minimisation des couleurs ! Il faut au moins D ( G ) couleurs ! En effet, il existe un sommet dans « G » avec « D( G ) » voisins ! Maximisation des couleurs ! D ( G ) + 1 couleurs suffisent ! ! ! Théorème de Vizing (1964) ! L’algorithme de coloriage est en Q ( | E | ) ! Est-ce D ( G ) ou D ( G ) + 1 ? ? ? C'est N P - c o m p l e t ! ! ! 21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet

Coloriage des arêtes T H E O R E M E D E V I Z I N G ! ! ! 21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet

Coloriage des arêtes Coloriage de G = ( V , { e , , e } ) avec D( G ) + 1 couleurs ! 1 m 21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet

Coloriage des arêtes Coloriage de G = ( V , { e , , e } ) avec D( G ) + 1 couleurs ! L’hypothèse : G = ( V , { e , , e } ) est colorié ! 1 m i-1 1 i-1 21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet

Coloriage des arêtes Coloriage de G = ( V , { e , , e } ) avec D( G ) + 1 couleurs ! L’hypothèse : G = ( V , { e , , e } ) est colorié ! Nous étendons ce coloriage vers G en coloriant e ! 1 m i-1 1 i-1 i i 21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet

Coloriage des arêtes Coloriage de G = ( V , { e , , e } ) avec D( G ) + 1 couleurs ! L’hypothèse : G = ( V , { e , , e } ) est colorié ! Nous étendons ce coloriage vers G en coloriant e ! Notation : Abs( u ) est l’ensemble des couleurs absentes du sommet « u » ! Abs( u ) n’est jamais vide ! ! ! 1 m i-1 1 i-1 i i 21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet

Coloriage des arêtes v 1 Soit e = ( v , w ) ! i 1 w 21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet

Coloriage des arêtes v 1 Soit e = ( v , w ) ! Premier cas, favorable : Il existe une couleur « c » avec c e Abs( v ) Abs( w ) ! Utilisons donc cette couleur ! ! ! i 1 w v 1 21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet

Coloriage des arêtes v 1 Soit e = ( v , w ) ! Premier cas, favorable : Il existe une couleur « c » avec c e Abs( v ) Abs( w ) ! Utilisons donc cette couleur ! ! ! Deuxième cas, défavorable : Abs( v ) Abs( w ) est vide ! i 1 w v 1 v 1 v 1 ? w 21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet

Coloriage des arêtes v 1 Soit e = ( v , w ) ! Premier cas, favorable : Il existe une couleur « c » avec c e Abs( v ) Abs( w ) ! Utilisons donc cette couleur ! ! ! Deuxième cas, défavorable : Abs( v ) Abs( w ) est vide ! Soit c e Abs( v ) ! i 1 w v 1 Sans c 1 v 1 v 1 ? 1 1 w 21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet

Coloriage des arêtes v 1 Soit e = ( v , w ) ! Premier cas, favorable : Il existe une couleur « c » avec c e Abs( v ) Abs( w ) ! Utilisons donc cette couleur ! ! ! Deuxième cas, défavorable : Abs( v ) Abs( w ) est vide ! Soit c e Abs( v ) ! Donc, c e Abs ( w ) ! i 1 w v 1 Sans c 1 v 1 v 1 ? 1 1 w / 1 21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet

Coloriage des arêtes v 1 Soit e = ( v , w ) ! Premier cas, favorable : Il existe une couleur « c » avec c e Abs( v ) Abs( w ) ! Utilisons donc cette couleur ! ! ! Deuxième cas, défavorable : Abs( v ) Abs( w ) est vide ! Soit c e Abs( v ) ! Donc, c e Abs ( w ) ! Il existe v tel que ( v , w ) ait la couleur c ! i 1 w v 1 Sans c 1 v v 1 2 v 1 ? c 1 1 1 w / 1 2 2 1 21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet

Coloriage des arêtes Sans c 1 v v Que faire ? ? ? 1 2 ? c 1 w 21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet

Coloriage des arêtes Sans c 1 v v Que faire ? ? ? Nous essayons de trouver une couleur « c » avec c e Abs( v ) Abs( w ) ! 1 2 ? c 1 w 2 v 21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet

Coloriage des arêtes Sans c 1 v v Que faire ? ? ? Nous essayons de trouver une couleur « c » avec c e Abs( v ) Abs( w ) ! Nous utilisons cette couleur à la place de c ! ! ! 1 2 c ? c XX 1 w 2 v 1 21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet

Coloriage des arêtes Sans c 1 v v Que faire ? ? ? Nous essayons de trouver une couleur « c » avec c e Abs( v ) Abs( w ) ! Nous utilisons cette couleur à la place de c ! ! ! c peut être utilisée pour ( v , w ) ! ! ! 1 2 c c 1 c XX 1 w 2 v 1 1 1 21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet

Coloriage des arêtes Sans c 1 v v Que faire ? ? ? Nous essayons de trouver une couleur « c » avec c e Abs( v ) Abs( w ) ! Nous utilisons cette couleur à la place de c ! ! ! c peut être utilisée pour ( v , w ) ! ! ! 1 2 c c 1 c XX 1 w 2 v 1 1 1 Sans c Sans c 1 v v v 1 v 1 1 2 2 c devient ? c c 1 c 1 XX 1 w w c 21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet

Coloriage des arêtes Sans c 1 v v Que faire ? ? ? Nous essayons de trouver une couleur « c » avec c e Abs( v ) Abs( w ) ! Nous utilisons cette couleur à la place de c ! ! ! c peut être utilisée pour ( v , w ) ! ! ! 1 Parfait si "c" existe ! ! ! 2 c c 1 c XX 1 w 2 v 1 1 1 Sans c Sans c 1 v v v 1 v 1 1 2 2 c devient ? c c 1 c 1 XX 1 w w c 21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet

Coloriage des arêtes Que faire si Abs( v ) Abs( w ) est vide ? v 2 Sans c 1 v v 1 2 ? c 1 w 21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet

Coloriage des arêtes Que faire si Abs( v ) Abs( w ) est vide ? Soit c e Abs( v ) ! v 2 2 2 Sans c Sans c 2 1 v v 1 2 ? c 1 w 21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet

Coloriage des arêtes Que faire si Abs( v ) Abs( w ) est vide ? Soit c e Abs( v ) ! Donc, c e Abs ( w ) ! Il existe v tel que ( v , w ) ait la couleur c ! v 2 2 2 / 2 3 3 2 Sans c Sans c 2 1 v v 1 2 ? c 1 w v c 3 2 21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet

Coloriage des arêtes Que faire si Abs( v ) Abs( w ) est vide ? Soit c e Abs( v ) ! Donc, c e Abs ( w ) ! Il existe v tel que ( v , w ) ait la couleur c ! v 2 2 2 / 2 3 3 2 Sans c Sans c 2 1 v v 1 2 Nous cherchons . . . ? c 1 w v c 3 2 21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet

Coloriage des arêtes Sommes-nous toujours à même de trouver ? ? ? Que faire si Abs( v ) Abs( w ) est vide ? Soit c e Abs( v ) ! Donc, c e Abs ( w ) ! Il existe v tel que ( v , w ) ait la couleur c ! v 2 2 2 / 2 3 3 2 Sans c Sans c 2 1 v v 1 2 Nous cherchons . . . ? c 1 w v c 3 2 21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet

Coloriage des arêtes La pire des situations . . . Sans c 1 v 1 ? w 21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet

Coloriage des arêtes La pire des situations . . . Sans c Sans c 2 1 v v 1 2 ? c 1 w 21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet

Coloriage des arêtes La pire des situations . . . Sans c Sans c 2 1 v v 1 2 ? c 1 w c 1 v c 3 2 Sans c 3 21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet

Coloriage des arêtes La pire des situations . . . Sans c Sans c 2 1 v v 1 2 ? c 1 w c 1 v c 3 2 Sans c 3 c 3 c 1 v 4 c 2 21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet

Coloriage des arêtes La pire des situations . . . Sans c Sans c 2 1 v v 1 2 ? c 1 etc, etc, . . . w c 1 v c 3 2 Sans c 3 c 3 c 1 v 4 c 2 21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet

Coloriage des arêtes La pire des situations . . . Sans c Sans c 2 1 v v 1 2 ? c 1 etc, etc, . . . w c 1 v c 3 2 Sans c Justement pas ! ! ! 3 c 3 c 1 v 4 c 2 21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet

Coloriage des arêtes La pire des situations . . . L'arité des sommets est limitée ! ! ! Sans c Sans c 2 1 v v 1 2 ? c 1 etc, etc, . . . w c 1 v c 3 2 Sans c Justement pas ! ! ! 3 c 3 c 1 v 4 c 2 21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet

Coloriage des arêtes Pour v , , v et c , , c couleurs différentes : 1 h 1 h-1 Sans c 1 Sans c 2 v v 1 2 ? c 1 w c 1 v c 3 2 Sans c 3 c 3 c 1 v 4 c 2 21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet

Coloriage des arêtes Pour v , , v et c , , c couleurs différentes : 1 h 1 h-1 ( C1 ) : 1 <= j <= h-1 : c e Abs( v ) et ( v , w ) de couleur c Sans c 1 Sans c 2 v v j j 1 2 j+1 j ? c 1 w c 1 v c 3 2 Sans c 3 c 3 c 1 v 4 c 2 21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet

Coloriage des arêtes Pour v , , v et c , , c couleurs différentes : 1 h 1 h-1 ( C1 ) : 1 <= j <= h-1 : c e Abs( v ) et ( v , w ) de couleur c Sans c 1 Sans c 2 v v j j 1 2 j+1 j ? c 1 w c 1 v ( C2 ) : 1 <= j <= h-1 : Abs( v ) Abs( w ) est vide c 3 2 Sans c v 3 j c 3 c 1 v 4 c 2 21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet

Coloriage des arêtes Pour v , , v et c , , c couleurs différentes : 1 h 1 h-1 ( C1 ) : 1 <= j <= h-1 : c e Abs( v ) et ( v , w ) de couleur c Sans c 1 Sans c 2 v v j j 1 2 j+1 j ? c 1 w c 1 v ( C2 ) : 1 <= j <= h-1 : Abs( v ) Abs( w ) est vide c 3 2 Sans c v 3 j c 3 ( C3 ) : 2 <= j <= h-1 : { c , , c } Abs( v ) est vide c 1 v v 1 j-1 j 4 c 2 21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet

Coloriage des arêtes Pour v , , v et c , , c couleurs différentes : 1 h 1 h-1 ( C1 ) : 1 <= j <= h-1 : c e Abs( v ) et ( v , w ) de couleur c Sans c 1 Sans c 2 v v j j 1 2 j+1 j ? c 1 w c 1 v ( C2 ) : 1 <= j <= h-1 : Abs( v ) Abs( w ) est vide c 3 2 Sans c v 3 j c 3 ( C3 ) : 2 <= j <= h-1 : { c , , c } Abs( v ) est vide c 1 v v 1 j-1 j 4 c 2 Et pour v ? ? ? h 21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet

Coloriage des arêtes Si v vérifie ( C2 ) et ( C3 ), nous aurons aussi ( C1 ) et il existera v tel que h h+1 21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet

Coloriage des arêtes Si v vérifie ( C2 ) et ( C3 ), nous aurons aussi ( C1 ) et il existera v tel que Or, l’arité des v est bornée et, tôt ou tard, ( C2 ) ou ( C3 ) ne seront plus vérifiées ! h h+1 i 21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet

Coloriage des arêtes Si v vérifie ( C2 ) et ( C3 ), nous aurons aussi ( C1 ) et il existera v tel que Or, l’arité des v est bornée et, tôt ou tard, ( C2 ) ou ( C3 ) ne seront plus vérifiées ! Cas A, la négation de ( C2 ), facile : Il existe c telle que c e Abs( v ) Abs( w ) h h+1 i v h 21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet

Coloriage des arêtes Si v vérifie ( C2 ) et ( C3 ), nous aurons aussi ( C1 ) et il existera v tel que Or, l’arité des v est bornée et, tôt ou tard, ( C2 ) ou ( C3 ) ne seront plus vérifiées ! Cas A, la négation de ( C2 ), facile : Il existe c telle que c e Abs( v ) Abs( w ) h h+1 i v h v v v v 1 1 2 2 . . . . . . ? ? c devient c 1 1 w w v v c h c h h-1 h-1 c 21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet

Coloriage des arêtes Si v vérifie ( C2 ) et ( C3 ), nous aurons aussi ( C1 ) et il existera v tel que Or, l’arité des v est bornée et, tôt ou tard, ( C2 ) ou ( C3 ) ne seront plus vérifiées ! Cas A, la négation de ( C2 ), facile : Il existe c telle que c e Abs( v ) Abs( w ) h h+1 i v h v v v v 1 1 2 2 . . . . . . ? ? c devient c 1 1 w w v v c h c h h-1 h-1 c pour ( v , w ) et c pour ( v , w ) , 1 <= i < h. h i i c 21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet

Coloriage des arêtes Cas B, la négation de ( C3 ), plus difficile : Il existe c , 1 <= s < h-1 , telle que c e Abs( v ) s s h 21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet

Coloriage des arêtes Cas B, la négation de ( C3 ), plus difficile : Il existe c , 1 <= s < h-1 , telle que c e Abs( v ) s s h v v 1 . . . s+1 . . . ? c s w v Pas d’arête rouge ! c h h-1 21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet

Coloriage des arêtes Cas B, la négation de ( C3 ), plus difficile : Il existe c , 1 <= s < h-1 , telle que c e Abs( v ) s s h v Soit c e Abs( w ) v 1 . . . s+1 . . . ? c s w Sans c v Pas d’arête rouge ! c h h-1 21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet

Coloriage des arêtes Cas B, la négation de ( C3 ), plus difficile : Il existe c , 1 <= s < h-1 , telle que c e Abs( v ) s s h v Soit c e Abs( w ) v 1 . . . s+1 . . . ? c s w Sans c v Pas d’arête rouge ! c h h-1 Soit P = { v , u , , u } le chemin le plus long constitué d’arêtes de couleurs c et c ! s 1 t s 21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet

Coloriage des arêtes Cas B, la négation de ( C3 ), plus difficile : Il existe c , 1 <= s < h-1 , telle que c e Abs( v ) s s h v s c s-1 v Soit c e Abs( w ) . . . v 1 s+1 . . . ? c s w Sans c v Pas d’arête rouge ! c h h-1 Soit P = { v , u , , u } le chemin le plus long constitué d’arêtes de couleurs c et c ! s 1 t s 21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet

Coloriage des arêtes Cas B, la négation de ( C3 ), plus difficile : Il existe c , 1 <= s < h-1 , telle que c e Abs( v ) s s h v u . . . u s 1 t c c c s s-1 v Soit c e Abs( w ) . . . v 1 s+1 . . . ? c s w Sans c v Pas d’arête rouge ! c h h-1 Soit P = { v , u , , u } le chemin le plus long constitué d’arêtes de couleurs c et c ! s 1 t s 21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet

Coloriage des arêtes Cas B, la négation de ( C3 ), plus difficile : Il existe c , 1 <= s < h-1 , telle que c e Abs( v ) s s h v u . . . u s 1 t c c c s s-1 v Soit c e Abs( w ) . . . v 1 s+1 . . . ? c s w Sans c v Pas d’arête rouge ! c h h-1 P n’est pas vide, simple et de longueur finie ! ! ! 21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet

Coloriage des arêtes Cas B, la négation de ( C3 ), plus difficile : Il existe c , 1 <= s < h-1 , telle que c e Abs( v ) s s h Sans c s v u . . . u s 1 t c c c s s-1 v Soit c e Abs( w ) . . . v 1 s+1 . . . ? c s w Sans c v Pas d’arête rouge ! c h h-1 P n’est pas vide, simple et de longueur finie ! ! ! Ce n’est pas un cycle : v = u ! ! ! / s t 21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet

Coloriage des arêtes Cas B, la négation de ( C3 ), plus difficile : Il existe c , 1 <= s < h-1 , telle que c e Abs( v ) s s h Sans c s v u . . . u s 1 t c c c s s-1 v Soit c e Abs( w ) . . . v 1 s+1 . . . ? c s w Sans c v Pas d’arête rouge ! c h h-1 P n’est pas vide, simple et de longueur finie ! ! ! Ce n’est pas un cycle : v = u ! ! ! / s t w = u , , w = u , car c e Abs( w ) ! ! ! / / 1 t-1 21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet

Coloriage des arêtes Cas B, la négation de ( C3 ), plus difficile : Il existe c , 1 <= s < h-1 , telle que c e Abs( v ) s s h Sans c s v u . . . u s 1 t c c c s s-1 v Soit c e Abs( w ) . . . v 1 s+1 . . . ? c s w = u w / w = u Sans c v Pas d’arête rouge ! h t c t h-1 P n’est pas vide, simple et de longueur finie ! ! ! Ce n’est pas un cycle : v = u ! ! ! / s t w = u , , w = u , car c e Abs( w ) ! ! ! / / 1 t-1 21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet

Coloriage des arêtes Cas B, la négation de ( C3 ), plus difficile : Il existe c , 1 <= s < h-1 , telle que c e Abs( v ) s s h Sans c s v u . . . u s 1 t c c c s s-1 v Soit c e Abs( w ) . . . v 1 s+1 . . . ? c s w / w = u Sans c v Pas d’arête rouge ! c h t h-1 ( Cas a ) 21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet

Coloriage des arêtes Cas B, la négation de ( C3 ), plus difficile : Il existe c , 1 <= s < h-1 , telle que c e Abs( v ) s s h Sans c s v u . . . u s 1 t c c c s s-1 v Soit c e Abs( w ) . . . v Notons que u peut être égal à v . 1 s+1 t . . . h ? c s w / w = u Sans c v Pas d’arête rouge ! c h t h-1 ( Cas a ) 21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet

Coloriage des arêtes Cas B, la négation de ( C3 ), plus difficile : Il existe c , 1 <= s < h-1 , telle que c e Abs( v ) s s h Sans c s v u . . . u s 1 t c c c s s-1 v Soit c e Abs( w ) . . . v Notons que u peut être égal à v . 1 s+1 t . . . h ? c s w / w = u Sans c v Pas d’arête rouge ! c h t h-1 Echangeons les couleurs c et c le long de P ! s ( Cas a ) 21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet

Coloriage des arêtes Cas B, la négation de ( C3 ), plus difficile : Il existe c , 1 <= s < h-1 , telle que c e Abs( v ) s s h Sans c s v u . . . u s 1 t c c c s s-1 v Soit c e Abs( w ) . . . v c Notons que u peut être égal à v . 1 s+1 t . . . h ? c s w / w = u Sans c v Pas d’arête rouge ! c h t h-1 Echangeons les couleurs c et c le long de P ! s ( Cas a ) Utilisons c pour ( v , w ) et décalons les autres ! s 21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet

Coloriage des arêtes Cas B, la négation de ( C3 ), plus difficile : Il existe c , 1 <= s < h-1 , telle que c e Abs( v ) s s h Sans c s v u . . . u s 1 t c c c s s-1 v Soit c e Abs( w ) . . . v 1 s+1 . . . ? c s w = u w Sans c v Pas d’arête rouge ! t c h h-1 ( Cas b ) 21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet

Coloriage des arêtes Cas B, la négation de ( C3 ), plus difficile : Il existe c , 1 <= s < h-1 , telle que c e Abs( v ) s s h Sans c s v u s 1 c c s-1 . . . v Soit c e Abs( w ) . . . v = u 1 s t-1 . . . ? c s w = u u = w t v Pas d’arête rouge ! t c h h-1 ( Cas b ) 21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet

Coloriage des arêtes Cas B, la négation de ( C3 ), plus difficile : Il existe c , 1 <= s < h-1 , telle que c e Abs( v ) s s h Sans c s v u s 1 c c s-1 . . . v Soit c e Abs( w ) . . . v = u 1 s t-1 . . . ? c s w = u u = w t v Pas d’arête rouge ! h t c h-1 Soit P’ = { v , u’ , , u’ } le chemin le plus long constitué d’arêtes de couleurs c et c ! h 1 t’ ( Cas b ) s 21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet

Coloriage des arêtes Cas B, la négation de ( C3 ), plus difficile : Il existe c , 1 <= s < h-1 , telle que c e Abs( v ) s s h Sans c s v u s 1 c c s-1 . . . v Soit c e Abs( w ) . . . v = u 1 s t-1 u’ . . . . . . u’ ? c 1 t’ c c s s w = u u = w t v Pas d’arête rouge ! h t c h-1 Soit P’ = { v , u’ , , u’ } le chemin le plus long constitué d’arêtes de couleurs c et c ! h 1 t’ ( Cas b ) s 21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet

Coloriage des arêtes Cas B, la négation de ( C3 ), plus difficile : Il existe c , 1 <= s < h-1 , telle que c e Abs( v ) s s h Sans c s v u s 1 c c s-1 . . . v Soit c e Abs( w ) . . . v = u 1 s t-1 . . . . . . u’ u’ ? c 1 t’ c c s s w = u u = w t v Pas d’arête rouge ! h t c h-1 Soit P’ = { v , u’ , , u’ } le chemin le plus long constitué d’arêtes de couleurs c et c ! h 1 t’ ( Cas b ) s Maintenant, w = u’ et nous avons le cas a ! / t’ 21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet

Coloriage des arêtes Cas B, la négation de ( C3 ), plus difficile : Il existe c , 1 <= s < h-1 , telle que c e Abs( v ) s s h Sans c s v u Echange ! s 1 c c s-1 . . . v Soit c e Abs( w ) . . . v = u 1 s t-1 . . . . . . u’ u’ ? c 1 t’ c c s s w = u u = w t v Pas d’arête rouge ! h t c h-1 Soit P’ = { v , u’ , , u’ } le chemin le plus long constitué d’arêtes de couleurs c et c ! h 1 t’ ( Cas b ) s Maintenant, w = u’ et nous avons le cas a ! / t’ 21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet

Coloriage des arêtes Cas B, la négation de ( C3 ), plus difficile : Il existe c , 1 <= s < h-1 , telle que c e Abs( v ) s s h Sans c Décalage ! s v u Echange ! s 1 c c s-1 . . . v Soit c e Abs( w ) . . . v = u 1 s t-1 . . . . . . u’ u’ ? c 1 t’ c c s s w = u u = w t v Pas d’arête rouge ! c h t h-1 c Soit P’ = { v , u’ , , u’ } le chemin le plus long constitué d’arêtes de couleurs c et c ! h 1 t’ ( Cas b ) s Maintenant, w = u’ et nous avons le cas a ! / t’ 21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet

Problème des 4 couleurs, graphes planaires.
Synthèse Coloriage de graphes. Problème des 4 couleurs, graphes planaires. Théorème de Vizing. Applications. 21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet

m E r C i e T b O n N e J o U r N é E ! ! ! N ‘ o U b L i E z P a S d E p R é P a R e R v O s T D ! ! ! 21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet

Problème des 4 couleurs, graphes planaires.

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