Licence 3ème année de sociologie Semestre 1

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1 Licence 3ème année de sociologie Semestre 1
Analyse de données quantitatives Séance 2 Enseignant: F. Lebaron

2 Séance 2: Les variables numériques. Indices de tendance centrale.
Idée générale: on veut résumer la distribution observée par une valeur « centrale » qui la représente bien. Exemple: les notes d’un élève au Bac. Première réponse: on prend la valeur observée la plus fréquente. Exemple: l’élève a eu deux fois 11, et une seule fois toutes ses autres notes. Cette valeur s’appelle le mode.

3 Séance 2: Les variables numériques. Indices de tendance centrale.
Autre réponse: on calcule la moyenne pondérée du protocole des notes. Exemple: les « coefficients » des différentes matières sont les pondérations retenues. Autre réponse: on cherche une modalité qui « sépare » les notes en deux groupes d’effectifs égaux ou quasi-égaux. C’est la problématique de la médiane, cas particulier des quantiles (protocoles ordinaux).

4 Notations I support du protocole : ensemble d’individus.
À l’élément i de I on associe sa valeur xi Le protocole est noté xI et l’effectif nI. Fréquence

5 Définitions Total Moyenne
Par définition, un protocole centré est de moyenne nulle

6 Somme des carrés (SC) Somme des carrés bruts (SCB):
Somme des carrés centrés Identité de Huyghens:

7 Les limites de la moyenne
La moyenne n’est pas toujours un « bon » indice de tendance centrale. Soit un pays à la population stable où le revenu annuel moyen est de dollars. En 5 ans, les revenus des 1% les plus riches, qui disposent de 20% du total de tous les revenus, augmentent de +50%, alors que tous les autres revenus restent stables. Le total des revenus augmente de +10% sans variation de population: le revenu annuel moyen est désormais de dollars. Pourtant la situation de 99% de la population n’a pas changé ! D’où le recours à la médiane.

8 Structure d’échelle ordinale
On appelle échelle ordinale un ensemble d’observables muni d’un ordre total noté < ; les modalités (échelons) sont notées u1, u2,…, ul, … uL, avec u1 < u2 … < ul… < uL. Deux échelons successifs d’une échelle ordinale déterminent une coupure : la coupure entre u1 et u2 est notée 1|2, … celle entre ul et u(l+1) est notée l|l+1, etc.

9 Effectifs des modalités
La distribution d’un protocole ordinal (protocole à valeur dans une échelle ordinale) est définie par l’effectif de chaque échelon : n1 (effectif de u1), n2 (effectif de u2), … nl (effectif de ul), avec

10 Effectifs cumulés A la coupure l|l+1, on associe l’effectif cumulé à gauche: Et l’effectif cumulé à droite:

11 La médiane Un protocole ordinal peut admettre :
Une coupure médiane si cette coupure a autant d’observations (n/2) à gauche qu’à droite ; plus généralement, un intervalle médian s’il existe un ensemble d’échelons compris entre deux coupures, tels que le nombre d’observations à gauche de la coupure de gauche et le nombre d’observations à droite de la coupure de droite sont tous deux égaux à n/2 ; Un échelon médian, s’il existe un échelon observé pour lequel on a autant d’observations à droite qu’à gauche ; Sinon, le protocole admet un échelon quasi-médian, défini comme l’échelon pour lequel l’effectif cumulé à gauche et l’effectif cumulé à droite de cet échelon sont tous deux (strictement) inférieurs à n/2 ; parmi les deux coupures encadrant l’échelon quasi-médian, la coupure quasi-médiane est la coupure de gauche si l’effectif cumulé à gauche de l’échelon quasi-médian est supérieur à l’effectif cumulé à droite ; dans le cas contraire, c’est la coupure de droite. Protocoles numériques regroupés en classes : on calcule la médiane interpolée.