PROBABILITÉS en 3ème  .

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1 PROBABILITÉS en 3ème  

2 Pourquoi l’aléatoire au collège ? Textes officiels
Introduction Pourquoi l’aléatoire au collège ? Textes officiels Expériences aléatoires Notions élémentaires de probabilité Un exemple d’activité Conclusion Introduction : il y sera question du hasard Pourquoi l’aléatoire au collège ? En France, il est introduit en 3e à la rentrée prochaine, mais dans beaucoup de pays européens, un enseignement de l’aléatoire a été mis en place au niveau du collège, voire avant, depuis plus de 10 ans. Textes officiels : il s’agit des nouveaux programmes de 3e et des programmes actuels de lycée, plus particulièrement de Seconde concernant les probabilités. Expériences aléatoires : qu’est-ce qu’on entend par expérience aléatoire ? Pourquoi et comment en fait-on ? Notions élémentaires de probabilités : on y parlera de probabilité obtenue par des considérations de symétrie ou de comparaison et aussi de probabilité approchée par l’expérience, approche « fréquentiste ». Un exemple d’expérience : c’est une expérience que nous avons menée dans nos classes et qui concerne la somme de deux dés. Conclusion.

3 Introduction Des représentations du hasard chez des élèves de CM2 :
« Choses imprévisibles qui viennent de l’extérieur » « On produit du hasard en répondant au pif » « Choses relatives aux coïncidences » « Chose où on peut avoir de la chance ou de la malchance» « Le hasard n’existe pas » Claudine Robert-Schwartz : Professeur des universités à l’université Joseph Fournier de Grenoble. Lors d’un séminaire de La Main à la Pâte, elle a donné une conférence intitulée « Une approche de l’aléatoire au primaire » (21 juillet 2006). Elle y parle des représentations du hasard chez des élèves de CM2 . Elle a posé la question « Qu’est-ce que le hasard ? » à des élèves de CM2 et a obtenu les réponses suivantes : Choses imprévisibles qui viennent de l’extérieur On produit du hasard en répondant au pif Chose où on peut avoir de la chance et de la malchance Les choses relatives aux coïncidences Le hasard n’existe pas Toutes ces réponses comportent une part juste de la notion de hasard. Dans les dictionnaires, on retrouve ce qui a été évoqué et on ajoute « causalité » : quand on ne peut pas attribuer de causalité à un événement, on dit qu’il vient du hasard.

4 Etymologie : Hasard vient de l’arabe « az-zahr » qui signifie jet de dé Aléa vient du latin alea qui signifie coup de dé Chance vient du latin cadere qui signifie choir, tomber Etymologie : Hasard vient de l’arabe az-zahr qui signifie jet de dé Aléa vient du latin alea qui signifie coup de dé Chance vient du latin cadere qui signifie choir, tomber L’étymologie de tous ces mots est liée aux dés. On a ici des pistes de travail : on va lancer des dés, des pièces,… On en peut pas prévoir l’aléatoire, il faut avoir l’idée d’expérimenter…

5 Pourquoi l’aléatoire au collège ?
« Pour permettre au citoyen d’aborder l’incertitude et le hasard dans une perspective rationnelle » Familiariser plus tôt les élèves avec cette branche des mathématiques qui diffère fondamentalement des autres. Une clé essentielle pour l’analyse et la compréhension des phénomènes incertains. L’objectif principal des probabilités est l’étude des phénomènes aléatoires. On peut trouver une réponse à la question « Pourquoi l’aléatoire au collège ? » dans le programme, plus précisément dans le paragraphe placé en tête de la partie « Organisation et gestion de données, fonctions » : pour permettre au citoyen .... « L’incertitude et le hasard », les élèves les côtoient tous les jours, mais pas forcément dans une perspective rationnelle (croyances, bonne étoile, chiffre porte bonheur, jour de chance, ... ). L’idée que l’incertain peut être, dans certaines conditions, quantifié n’est pas forcément présente dans leur esprit. Dans le monde où nous vivons, les évènements certains ou impossibles sont des cas extrêmes ; en fait ils sont relativement rares. Il est important que l’élève se familiarise très tôt avec l’idée qu’un évènement peut être possible mais non certain, notion intermédiaire entre le certain et l’impossible. Privés des notions probabilistes, les élèves ont une vision déformée des mathématiques : ils pensent qu’entre le « vrai » et le « faux », il n’y a rien d’autre ! Si ces idées devaient rester trop longtemps implicites, les élèves auraient une idée étroite et déformée de l’ensemble des mathématiques, de leur puissance et de leurs possibilités. (Extrait de « Les probabilités à l’école »). Les probabilités constituent une branche qui diffère fondamentalement des autres. D’ailleurs certains élèves qui ne réussissent pas particulièrement en maths prennent goût à cette partie du programme qui est nouvelle pour eux. Aborder les probabilités dès le collège permet quasiment à tous les élèves d’avoir quelques notions sur le sujet, alors que, jusqu’à présent, seuls les élèves de lycée et pas de toutes les sections, y avaient accès. Associé à la statistique, le calcul des probabilités est une clé primordiale pour l’analyse et la compréhension de phénomènes incertains. Il est utilisé dans de nombreux domaines : les tests de médicaments, de durée de vie (piles, ampoules, ...), de qualité, dans les protocoles d’essais…. La physique de haut niveau utilise aussi les statistiques et les probabilités.

6 Un enjeu de citoyenneté :
- être capable de distinguer le hasard « calculable » du hasard de la contingence fortuite. - être capable d’avoir un esprit critique face à certaines affirmations des médias. Nos voisins européens ont commencé depuis longtemps à enseigner l’aléatoire, parfois depuis l’école primaire. Amener les élèves à distinguer deux sortes de hasard : le hasard de la contingence fortuite : c’est le hasard « accidentel», un événement se produit à la suite d’un enchaînement fortuit de faits incontrôlables. Contingence : possibilité qu’une chose arrive ou non. Contingence : caractère de ce qui est contingent, qui peut se produire ou non. le hasard calculable : les évènements se produisent dans des conditions bien précises, connues et reproductibles. Les issues des expériences aléatoires sont prévisibles. On veut amener l’élève à savoir de quel hasard il s’agit quand il en aborde un dans sa vie (part de superstition, de calculable dans les jeux de hasard) Amener les élèves et les citoyens qu’ils seront à avoir un vrai esprit critique devant la pléthore de statistiques qui leur sont présentées chaque jour (médias,…) Nos voisins européens ont commencé depuis longtemps (1997 ?) à enseigner l’aléatoire, parfois depuis l’école primaire : de l’Italie à l’Angleterre, en passant par l’Espagne, certains cantons suisses…. on donnera un aperçu des programmes dans certains pays, ainsi que des exemples d’exercices (Revue de l’IREM de Lorraine).

7 Les textes officiels Le programme de 3ème a pour objectifs :
de poursuivre la mise en place de paramètres (de position et de dispersion) d'une série statistique et d’envisager ainsi la notion de résumé statistique ; de mettre en pratique sur des exemples simples la notion de probabilité. Introduction des programmes de troisième, dans la partie « organisation et gestion de données, fonctions ». Les études des parties statistiques et probabilités sont étroitement liées.

8 Connaissances Capacités 1.4. Notion de probabilité
[ Thèmes de convergence] - Comprendre et utiliser des notions élémentaires de probabilité. - Calculer des probabilités dans des contextes familiers.

9 Exemples d’activités, commentaires
Commentaires spécifiques pour le socle La notion de probabilité est abordée à partir de situations familières (pièces de monnaie, dés, roues de loteries, urnes). Certaines de ces situations permettent de rencontrer des cas pour lesquels les probabilités ne sont pas définies à partir de considérations intuitives de symétrie ou de comparaison mais sont approximativement évaluées par les fréquences observées expérimentalement (approche fréquentiste des probabilités). La notion de probabilité est utilisée pour traiter des situations de la vie courante pouvant être modélisées simplement à partir des situations précédentes. Les situations étudiées concernent les expériences aléatoires à une ou à deux épreuves. Dans le cadre du socle, aucune compétence n’est exigible dans le cas des expériences à deux épreuves. Les activités portent sur des situations où les probabilités peuvent être définies à partir de considérations intuitives de symétrie ou de comparaison, Et aussi sur des situations où cette démarche n’est pas possible. Après cet aperçu du programme de collège, regardons (dans les cinq prochaines diapos) ce qui se fait actuellement en lycée (sera certainement amené à évoluer suite aux changement de programme de troisième)

10 Programme actuel de seconde
Contenu Statistiques descriptives : Représentations - Moyenne – Médiane - Etendue. Propriétés de la moyenne. Simulations. Les probabilités n’apparaissent qu’en première dans les programmes actuels. .

11 Programme actuel de seconde
Le travail sera centré sur : la réflexion conduisant au choix de résumés numériques d’une série statistique quantitative. la notion de fluctuation d’échantillonnage. la simulation à l’aide d’un générateur aléatoire. La « philosophie » des programmes est précisée par les textes officiels en ces termes : le travail sera centré sur ... On résume la série statistique par des caractéristiques de position et de dispersion. On peut aborder en troisième la fluctuation sur des exemples, on peut montrer des simulations, on le verra en cours d’exposé.

12 De l’expérience à la simulation(1)
Lancer effectif de dés : L’exploitation des résultats permet de réinvestir ce qui a été vu en statistique descriptive. La mutualisation des résultats permet d’obtenir un effectif total satisfaisant pour une première observation de certains phénomènes (par exemple : a-t-on plus de chance d’obtenir un total de 4 ou 5 en lançant 2 dés ?). Une fois les caractéristiques de l’expérience comprises et acceptées (chaque face du dé a la même chance d’apparaître, le dé ne se souvient pas du résultat que l’on vient d’obtenir), on peut passer à l’étape suivante. Introduction de la simulation en Seconde : On commence par expérimenter. L’élève lance effectivement un dé et note les résultats observés. Parler de la « mémoire » du dé.

13 De l’expérience à la simulation(2)
Utilisation du générateur de nombres aléatoires de la calculatrice ou du tableur : L’élève peut, grâce à sa calculatrice ou au tableur, simuler un plus grand nombre d’expériences, cela permet d’éviter des lancers de dés trop fastidieux. L’élève doit être capable de décider d’une stratégie de simulation, par exemple : Comment simuler un tirage d ’une boule dans une urne contenant n boules blanches et p boules noires ? Ensuite seulement, on passe à la simulation. ALEA sur un tableur, RANDOM sur une calculatrice. On peut ainsi faire un grand nombre d’expériences et en faire très facilement la synthèse, obtenir une représentation graphique. Autre exemple : Simuler les naissances dans 100 familles de 3 enfants afin de comparer le nombre de familles de 3 filles avec celles de 2 filles et 1 garçon.

14 En première En terminale
Les simulations faites en classe de seconde amènent la construction de modèles mathématiques : Les probabilités. On définit ainsi les correspondants théoriques des caractères, moyennes et écarts-types. La loi des grands nombres introduite comme théorème mathématique justifie alors l’emploi des simulations. En terminale le paragraphe « Adéquation à une loi équirépartie » permet de réinvestir les statistiques vues en seconde et première tout en constituant une introduction à la problématique des tests. A la fin de cette diapo bien préciser qu’on revient au niveau collège. Contenus première ES et S Résumés Statistiques : Moyenne - Ecart-type Médiane - Ecart interquartile Probabilités : Variable aléatoire, Espérance, Ecart-type Lien avec les statistiques Simulation de lois de probabilité : La loi des grands nombres Terminale S Probabilités conditionnelles. Indépendance. Loi binomiale. Lois continues: Loi uniforme. Loi exponentielle. Adéquation à une loi équirépartie. Terminale ES Régression linéaire. Ces programmes sont conçus pour qu’ils puissent directement être utilisés dans le supérieur, notamment en biologie, géologie et d’autres disciplines scientifiques.

15 Expériences aléatoires
Une expérience aléatoire - est une expérience - elle peut être décrite par un protocole et peut être répétée dans les mêmes conditions - on peut déterminer à l’avance la liste des issues - on ne peut pas prévoir quelle en sera l’issue au moment où on la réalise. Qu’est-ce qu’on entend par « expérience aléatoire » ? C’est d’abord une expérience : on lance effectivement un dé, on manipule du matériel. Cette manipulation se fait dans des conditions clairement spécifiées pour qu’on puisse la répéter « à l’identique ». On écarte ainsi tout le hasard qui relève de la coïncidence fortuite ou de l’accidentel. Le mot « protocole » peut être utilisé en classe. Les profs de SVT l’utilisent déjà pour décrire les conditions de leurs expériences. On peut déterminer à l’avance la liste des issues (ou résultats). Mais, au moment où on réalise l’expérience, on ne sait pas ce qui va sortir. Ces conditions doivent être bien présentes dans notre esprit, à nous les profs, mais il faut aussi les expliciter le moment venu aux élèves, sinon ils risquent de ne pas savoir à quoi on joue. Par exemple, l’élève qui pense qu’il y a une certaine façon de lancer le dé ou la pièce pour obtenir à coup sûr un 6 ou Pile, n’est pas dans le champ de l’expérience aléatoire comme nous l’entendons et ne va pas comprendre quand on dit que Pile et Face ont la même chance de sortir. Ne pas confondre « aléatoire » et « équiprobable » : lancer un dé truqué, c’est réaliser une expérience aléatoire, on peut lui associer une loi de probabilité qui n’est pas l’équiprobabilité.

16 La réalisation d’expériences permet de donner du sens
et de « casser » les fausses représentations. On utilise un matériel varié : dés, pièces de monnaie,urnes et boules de couleur, punaises, etc… Exemple de fausse représentation : « le 6 sort moins souvent que les autres chiffres ». Question posée : Paul et Jean jouent au dé. Si le 2 sort, Jean gagne. Si le 6 sort, Paul gagne. Si un autre chiffre sort, la partie est nulle. Le jeu est-il plus favorable à Jean ou à Paul ? Réponses : aucun des deux : 55 % ; plus favorable à Jean (le 2) : 20 % en 4e, 22 % en 3e plus favorable à Paul (le 6) : 15 % en 4e, 8 % en 3e Dans une autre question posée, 20 à 25 % des élèves disent que le 6 est plus difficile à obtenir que le 1 , « quand on joue, on obtient le 6 moins souvent ». Expérimentation : lancer effectivement le dé, en précisant les conditions du lancer (Certains élèves parlent de la façon de lancer le dé, il y en aurait une, lancer fort par exemple, qui donnerait plus souvent un 6) Si chaque élève lance 50 fois un dé dans des conditions données, on obtient près de 1500 lancers, ce qui permet d’observer d’une part la fluctuation des résultats individuels et d’autre part le cumul qui confirme l’équiprobabilité pour les élèves qui en doutent. L’expérience au service du modèle… Autre question : Si on lance une pièce 100 fois de suite, il est impossible d’obtenir Pile 6 fois de suite. 30 % des 4e le pensent ; 19 % des 3e, Or, sur 200 lancers, la probabilité d’avoir six fois de suite le même résultat est 0,965. Difficulté à produire du hasard quand on répond « au pif » : - quand on demande d’inventer des résultats de 200 lancers de pièce, on met rarement une série de six résultats identiques - quand on demande à des personnes de choisir au hasard l’un des nombres 1,2,3,4, on constate que 2 et 3 sont choisis plus souvent que 1 et 4. Bien distinguer le résultat d’une expérience de la probabilité : Quand on lance 100 fois une pièce, va-t-on obtenir 50 fois PILE et 50 fois FACE ? Non, ont répondu environ 80% de nos élèves, mais les explications qu’ils donnent ne sont pas toujours pertinentes. Le matériel proposé est celui qui est traditionnellement utilisé pour produire du hasard. Certaines expériences seront tentées en classe (par souci de transparence et aussi pour fixer clairement le cadre aux élèves), les autres à la maison. L’expérimentation est possible et intéresse les élèves.

17 Notions élémentaires de probabilité
Probabilité d’un résultat (d’une issue) obtenue par des considérations de symétrie ou de comparaison. Pour chacun des jeux, chacun des deux résultats possibles a une chance sur 2 de se produire. Ils ont la même probabilité : 1/2 Ici,on peut obtenir la probabilité d’un résultat (d’une issue) par des raisonnements utilisant des symétries « géométriques » ou des régularités d’objets dés) et des dénombrements très simples. Il n’y a pas plus de « chance » que pile « sorte » plus que face (pour une pièce bien équilibrée….) Savoir qu’il y a « égale probabilité» (dite en termes de « chances») dans un certain nombre de cas : lancer d’une pièce, lancer d’un dé, tirages de boules au loto, roulette à secteurs égaux, etc. Le mot « équiprobabilité » n’est pas forcément employé devant les élèves (le programme ne le mentionne pas, mais voir les futurs documents d’accompagnement), par contre le prof doit savoir que la loi de probabilité qui correspond à ces situations est bien l’équiprobabilité des événements élémentaires. Savoir que ce n’est pas parce qu’il y a k possibilités qu’il y a « une chance sur k » que l’événement se produise. Exemple : une urne contenant des boules de couleurs en proportions différentes.

18 La proportion de boules jaunes dans l’urne est 2/5
La proportion de boules jaunes dans l’urne est 2/5. On a 2 chances sur 5 d’obtenir une boule jaune. La probabilité d’obtenir une boule jaune est 2/5. Trois phrases pour dire « la même chose ». On pourra parler d’autres exemples, comme la roue de loterie ou roue de Laplace. Dans le lancer d’un dé, probabilité : d’obtenir un chiffre pair : 3 chances sur 6, la probabilité est ½ d’obtenir un nombre supérieur ou égal à 3 : 4 chances sur 6, la probabilité est 2/3 L’étude de cette partie sera donc étroitement liée à la notion de proportionnalité, les élèves assimilant les « chances » de tirer une boule d’une certaine couleur au pourcentage de boules de cette couleur. Ce pourcentage représente le « rapport du nombre des issues favorables à celui des issues possibles ». Cette approche peut donner lieu à une définition et ainsi introduire un nouveau concept. Elle fait le lien entre une perception sensible, voire naïve (les chances d’obtenir une boule rouge…) et un concept théorique (une fraction plus petite que 1 égale au rapport du nombre des boules de la couleur donnée au nombre des boules dans l’urne, équiprobables dans l’urne parfaite de Bernoulli).

19 Expérience à deux épreuves : un exemple
On dispose : d’une part, d’un dé ayant une face rouge, deux faces noires et trois faces vertes et d’autre part, d’une pièce de monnaie (les deux, bien équilibrés). On lance le dé puis la pièce. Ecrire tous les résultats possibles. Déterminer la probabilité d’obtenir Vert et Pile. Un résultat possible est donc (Rouge, Pile). Il y a six résultats possibles, mais ils n’ont pas tous la même « chance » de sortir. Comment amener les élèves à déterminer la probabilité de chaque issue ?

20 Présentation des résultats :
Ce tableau ne peut pas convenir pour déterminer les probabilités. Les « couleurs » ne sont pas équiprobables. Le tableau peut être un outil pour recenser toutes les issues possibles. Les élèves risquent, dans un premier temps, de produire ce genre de tableau, sans se soucier de l’équiprobabilité. Cette erreur est formatrice et en quelque sorte nécessaire pour donner du sens à cet apprentissage, elle permet de mettre l’accent sur la notion d’équiprobabilité.

21 Présentation des résultats : tableau
On peut présenter les résultats dans un tableau à double entrée. L’issue (V;P) correspond à 3 cas sur 12, d’où la probabilité. La probabilité d’obtenir (V;P) est 3/12 ou 1/4

22 Résumé Résumé du tableau précédent qui donne la probabilité de chacune des issues. Remarquer la somme des probabilités qui fait 1.

23 Présentation des résultats : arbre
(R;P) R F (R;F) P (N1;P) N1 F (N1;F) P (N2;P) N2 F (N2;F) P (V1;P) V1 F (V1;F) P (V2;P) V2 On peut aussi présenter les résultats sous la forme d’un arbre. On dessine toutes les branches possibles, il y en a 12. On cherche celles qui donnent le résultat étudié, ici (V;P) Dans cette représentation, l’implicite est que, pour les branches partant d’un même nœud, il y a la même probabilité et que ces branches recouvrent tous les cas possibles. Pour le dé, il y a équiprobabilité des faces. Pour la pièce, il y a équiprobabilité pour PILE et FACE. F (V2;F) P (V3;P) V3 F (V3;F) La probabilité d’obtenir (V;P) est 3/12 ou 1/4

24 Arbre : autre présentation
1/2 P R 1/2 F 1/6 Vérifications : Sommes égales à 1 1/2 P 2/6 N F 1/2 On affecte à chaque branche, la probabilité de passer du 1er nœud au 2e nœud. Comment obtenir la probabilité de l’issue (V;P), sans « parachuter » une règle que les élèves risquent d’appliquer sans comprendre. On peut faire le raisonnement suivant : (diapo suivante) Pour vérifier, on calcule la somme des probabilités des branches issues d’un même noeud : elle doit être égale à 1. Ceci doit être compris et explicité aux élèves : par exemple, il est certain d’obtenir V, N ou R au premier lancer, c’est pourquoi la somme des probabilités des branches correspondantes est égale à 1. 3/6 1/2 P V F 1/2

25 Pour un grand nombre d’expériences, en moyenne :
3/6 d’entre elles « donneront » Vert pour le lancer de dé. Parmi les expériences qui « ont donné » Vert, la moitié d’entre elles « vont donner » Pile. 1/2 de 3/6 des expériences donneront (V;P). La probabilité d’obtenir (V;P) est donc Le raisonnement conduit à multiplier les probabilités en s’appuyant sur le calcul d’une fraction de fraction. Il est important de préciser « pour un grand nombre d’expériences, en moyenne » ! On peut aussi dire « théoriquement ». Ce n’est pas vrai pour un petit nombre d’expériences.

26 Probabilité d’un résultat (d’une issue) obtenue par approche « fréquentiste »
Exemple du lancer de punaise La fréquence de chacune des issues « Tête » ou « Côté » tend à se stabiliser pour un grand nombre de lancers. On ne peut approcher la probabilité de « Tête » ou celle de « Côté » que par l’expérimentation. Stabilisation de la fréquence de « Tête » autour d’une valeur p. La probabilité de « Tête », par exemple, ne peut être approchée que par l’expérience. On pourra dire qu’elle est proche de p. Le modèle n’est pas connu. La probabilité d’un événement apparaît comme une sorte de « limite » de fréquences sur un grand nombre d’expériences.

27 Un exemple d’activité « Si je dois parier sur la somme des points obtenus lorsque je lance deux dés, quelle valeur faut-il que j’annonce avant le lancer pour avoir le plus de chance de gagner ? » 1) Réalise 60 lancers de deux dés et note, à chaque fois, la somme des points obtenus. Donne une synthèse de tes résultats. 2) Représente graphiquement tes résultats. 3) Sur quelle valeur de la somme des deux dés vas-tu parier ? Explique ta réponse. Parler des difficultés des élèves par rapport à la synthèse, par rapport au graphique.

28 Commenter le tableau : ce qui se passe pour un élèves ne particulier, comparé avec ce qui se passe pour toute la classe. On s’aperçoit que le nombre total de lancers pour chaque élève n’est pas toujours 60. Pour un élève, il arrive que la somme 2 ou 12 ne soit pas obtenue. La somme obtenue le plus souvent n’est pas toujours 7. Par contre, lorsqu’on cumule les résultats de tous les élèves de la classe, c’est le 7 qui a la fréquence la plus élevée.

29 Graphiques C’est le 1er graphique qui est le plus pertinent.

30 Après débat et mise en commun, on peut dégager les points suivants :
A l’intérieur de la classe, les échantillons varient, fluctuent. C’est le regard sur un grand nombre de résultats qui peut permettre de parier. Qu’y avait-il de prévisible ? On peut faire prendre conscience aux élèves que le fait que la somme 7 est la plus fréquente (pour un très grand nombre de lancers) était prévisible, on peut le montrer avec le tableau suivant.

31 Pour répondre à cette dernière question,
on peut faire un tableau comme celui qui suit, qui indique et dénombre les différents totaux : On peut aussi schématiser cette expérience à deux épreuves avec un arbre. On comparera alors les résultats de l’expérience avec ceux du modèle et on mesurera les écarts, on mettra en évidence l’importance d’une expérience avec un grand nombre d’essais. L’élève ne pense pas forcément à distinguer les deux dés et considère que la somme 3 ne correspond qu’à un cas : 1+2 , comme la somme 2 : 1+1 la somme 4 ne correspond qu’à deux cas : 1+3 et 2+2, comme la somme 5 : 1+4 et 2+3 Les fréquences des sommes 2 et 3 devraient être très proches, de même pour les fréquences des sommes 4 et 5. Un retour en arrière sur le tableau des fréquences obtenues montre que ce raisonnement est faux. Ce type de décompte donne 21 possibilités et non pas 36 les sommes 6, 7 et 8 seraient obtenues dans 3 cas 9 et 10 : 2 cas 11 et 12 : 1 cas.

32 Il est possible alors de montrer aux élèves une simulation d’un lancer de deux dés.
Voir dans les documents complémentaires « Probas.zip » : Simulation d'un lancer de deux dés Le tableau présente les résultats de la somme des deux dés, entre 2 et 12, pour 100 lancers. Avec la touche F9, on réalise une nouvelle expérience. On peut alors voir les différence significatives entre deux expériences successives, comparer avec les différence obtenues par deux élèves différents lors de l’expérience manuelle.Ceci se voit particulièrement bien sur la forme des graphiques. Le nombre de parties affiché est toujours 1(case jaune), puisqu’on simule à chaque fois une nouvelle partie. Cumul de parties : taper c à la place de n dans la case A11. Avec la touche F9, on cumule maintenant les parties les unes après les autres. On peut alors voir que les fréquences « tendent » vers celles du modèle. Observer également l’allure du graphique. On confronte l’expérience au modèle. Pour une expérience, les résultats obtenus peuvent être éloignés des prévisions du modèle. Stabilisation des fréquences pour un grand nombre d’expériences.

33 Conclusion Déjà enseigné dans de nombreux pays.
Nouvelle forme de pensée à acquérir. Fil rouge tout au long de l’année. Favoriser la démarche par l’expérience et laisser du temps. Allers-retours entre expérience et modèle. Document d’accompagnement à venir. Comme c’est déjà fait dans de nombreux pays depuis des années, cela doit nous encourager De nombreuses personnes ignorent que les mathématiques touchent des domaines bien plus proches de la vie courante que ceux qui sont traditionnellement enseignés. Ainsi, plus nous introduirons tôt les notions de probabilités et moindre sera le risque de croire que les mathématiques sont coupées de la vie de tous les jours. Importance des expérimentations. On constate l’intérêt des élèves Cela ne pose pas de difficultés particulières d’organisation. Les lancers peuvent être faits à la maison lorsqu’on a bien précisé le protocole. Un devoir sur feuille pour lequel il faut jouer, cela n’arrive pas souvent !!! Menu général …