Phénomène de diffusion ; Loi de Fick

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1 Phénomène de diffusion ; Loi de Fick
I) Courant de particules. Loi de Fick 1) Mise en évidence de la diffusion

2 Définition : Un phénomène de diffusion apparaît donc comme un phénomène de transport de particules sans mouvement macroscopique du support, ici l'air.

3 Propriété : Ce transport se produit dans un système initialement hors équilibre, des régions riches en particules vers les régions pauvres en particules ; il tend à uniformiser irréversiblement la répartition des particules qui diffusent.

4 Phénomène de diffusion ; Loi de Fick
I) Courant de particules. Loi de Fick 1) Mise en évidence de la diffusion 2) Courant de particules a) Les échelles

5 Phénomène de diffusion ; Loi de Fick
I) Courant de particules. Loi de Fick 1) Mise en évidence de la diffusion 2) Courant de particules a) Les échelles b) Le vecteur densité de flux de particules

6  dN(t) d M n(M,t) dN(t) = n(M,t).d

7 dS M Surface mésoscopique dS

8 2N = n(M,t).dS.dr = n(M,t).v(M,t).dS.dt
Définition : 2N, le nombre élémentaire de particules diffusées à travers la surface élémentaire dS, centrée en M, ouverte, orientée dans le sens de dS entre les instants t et t + dt, est compris dans un cylindre oblique de base dS et de génératrice dr = v.dt : 2N = n(M,t).dS.dr = n(M,t).v(M,t).dS.dt

9 d = dS.dr = v.dS.dt 2N = n.d = n.v.dS.dt dS v M dr = v.dt

10 2N = jN.dS.dt jN dS M Surface mésoscopique dS

11 2N : grandeur algébrique
2N = jN.dS.dt > 0 dS jN 2N = jN.dS.dt < 0 dS jN

12 2N’ = 2N ux jN 2N = jN.dS.dt dS dS’  dS dS’.ux = dS.ux dS’ ux

13 Définition : A partir de ce vecteur jN nous pouvons définir le flux élémentaire algébrique de particules diffusées :  = jN.dS 2N = .dt

14  = .dS   dS M jN(M) P d +

15 Phénomène de diffusion ; Loi de Fick
I) Courant de particules. Loi de Fick 1) Mise en évidence de la diffusion 2) Courant de particules 3) Loi de Fick

16 Deux observations qualitatives :
La diffusion cesse lorsque la densité particulaire n(M,t) est homogène ; M, jN(M,t) doit s'annuler lorsque gradn = 0 Le transfert par diffusion appauvrit les zones riches en particules diffusées donc jN(M,t) est dirigé des régions riches vers les régions pauvres, i.e. dans le sens des n(M,t) décroissants ou dans le sens opposé à gradn

17 Loi de diffusion de Fick
En M, à la date t : jN = – D.gradn

18 Ordres de grandeur : Pour un gaz : D  10–5 m2.s–1 Pour un liquide
Pour un solide : D  10–30 m2.s–1

19 Phénomène de diffusion ; Loi de Fick
II) L'équation de diffusion des particules 1) Bilan de matière a) Le cas unidimensionnel

20 1 2 dS1 S dS2 S Nc(t) ux jN Ne(x + dx,t) Ne(x,t) x x + dx

21 Equation locale unidimensionnelle de la conservation du nombre de particules diffusées
En M, à la date t :

22 Phénomène de diffusion ; Loi de Fick
II) L'équation de diffusion des particules 1) Bilan de matière a) Le cas unidimensionnel b) Le cas tridimensionnel ) Bilan global

23  V jN(P,t) dS(P) P M jN(M,t)

24 Phénomène de diffusion ; Loi de Fick
II) L'équation de diffusion des particules 1) Bilan de matière a) Le cas unidimensionnel b) Le cas tridimensionnel ) Bilan global ) Bilan local

25 Equation locale de la conservation du nombre de particules diffusées
En M, à la date t :

26 Phénomène de diffusion ; Loi de Fick
II) L'équation de diffusion des particules 1) Bilan de matière 2) L'équation de diffusion a) L’équation de diffusion

27 Equation locale de diffusion de particules
En M, à la date t :

28 Phénomène de diffusion ; Loi de Fick
II) L'équation de diffusion des particules 1) Bilan de matière 2) L'équation de diffusion a) L’équation de diffusion b) Linéarité et unicité de la solution ) La linéarité

29 Phénomène de diffusion ; Loi de Fick
II) L'équation de diffusion des particules 1) Bilan de matière 2) L'équation de diffusion a) L’équation de diffusion b) Linéarité et unicité de la solution ) La linéarité ) L’unicité de la solution

30 Phénomène de diffusion ; Loi de Fick
II) L'équation de diffusion des particules 1) Bilan de matière 2) L'équation de diffusion a) L’équation de diffusion b) Linéarité et unicité de la solution c) Irréversibilité

31 Phénomène de diffusion ; Loi de Fick
III) Exemples de diffusion,  = 0 1) Le régime stationnaire ou permanent

32 Régime stationnaire sans aide extérieure
jN(0) = 0 jN(L) = 0 L x n0.S.L = N0

33 Régime stationnaire avec aide extérieure
n0  nL jN(0)  0 jN(L)  0 L x n(x) = n0 + (nL – n0)

34 Phénomène de diffusion ; Loi de Fick
III) Exemples de diffusion,  = 0 1) Le régime stationnaire ou permanent 2) Le régime d'homogénéisation a) Expression de la solution

35 Régime d’homogénéisation
t, n(x = ,t) = 0 N0 x n(x,t) =

36 Phénomène de diffusion ; Loi de Fick
III) Exemples de diffusion,  = 0 1) Le régime stationnaire ou permanent 2) Le régime d'homogénéisation a) Expression de la solution b) Commentaires

37 Diffusion de particules

38 largeur à mi – hauteur : 2
x n(x) Densité volumique  = 2 largeur à mi – hauteur : 2