Phénomènes de propagation dispersifs

Présentation au sujet: "Phénomènes de propagation dispersifs"— Transcription de la présentation:

1 Phénomènes de propagation dispersifs
I) Dispersion et absorption d’une onde 1) Équation de propagation

2 Chaîne de pendules pesants couplés
On-1 On On+1 n-1 n n+1 x y z n-1 est négatif ; n et n+1 sont positifs

3 Chaîne de pendules pesants couplés
Théorème du moment cinétique appliqué au pendule de rang n en On projeté sur l’axe Onx :

4 Dans l’approximation des milieux continus, a << , on définit la fonction continue de classe C2 des variables x et t, (x,t), qui coïncide à chaque instant t avec tous les n(t) : (x = n.a, t) = n(t) Dans ces conditions, si (x = n.a, t) = n(t) = (x,t) alors : n-1(t) = (x – a, t) et n+1(t) = (x + a, t)

5 Donc l’équation de propagation,
devient avec :

6 Pour des petits angles :

7 Phénomènes de propagation dispersifs
I) Dispersion et absorption d’une onde 2) Pseudo ondes planes progressives harmoniques a) Définitions

8 (x,t) = Re[(x,t)] avec (x,t) = A.expj(t – k.x)
Définition : Nous appellerons pseudo – onde plane progressive harmonique, O.P.P.H*., une onde de la forme : (x,t) = Re[(x,t)] avec (x,t) = A.expj(t – k.x) où la pulsation de l’onde  est réelle et le vecteur d’onde k = k.ux a priori complexe. A est l’amplitude complexe.

9 Phénomènes de propagation dispersifs
I) Dispersion et absorption d’une onde 2) Pseudo ondes planes progressives harmoniques a) Définitions b) Relation de dispersion

10 L’équation de propagation et la forme de l’onde utilisée donnent la relation de dispersion :

11 Phénomènes de propagation dispersifs
I) Dispersion et absorption d’une onde 2) Pseudo ondes planes progressives harmoniques a) Définitions b) Relation de dispersion c) Dispersion et absorption

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13 Récapitulatif : k = k’ + jk’’
Re(k) = k’ renseigne sur la propagation. Si k’ = 0, il n’y a pas de propagation ; Si k’  0, il y a propagation. Re(k) = k’  0 donne la vitesse de phase. Si v dépend de , le milieu est dispersif.

14 Récapitulatif : k = k’ + jk’’
Im(k) = k’’ donne l’absorption. Si k’’ dépend de , le milieu est dit filtrant.

15 Phénomènes de propagation dispersifs
I) Dispersion et absorption d’une onde 2) Pseudo ondes planes progressives harmoniques d) Retour sur l’exemple

16 La relation de dispersion :

17 1er cas : on ne garde que le terme en 2
C’est le cas de D’Alembert pour l’O.P.P.H*. k’’ = 0 et v = c : Dans ce modèle, le milieu n’est ni absorbant, k’’ = 0, ni dispersif, v = cste.

18 2ème cas : on garde les termes en 2 et en 
Dans l’hypothèse supplémentaire :

19 On obtient deux couples (k1, k2) :
Dans ce modèle, le milieu n’est pas dispersif :

20 3ème cas : on ne néglige que les frottements
Equation dite de Klein – Gordon

21 3ème cas : on ne néglige que les frottements
Relation de dispersion de Klein – Gordon

22 3ème cas : on ne néglige que les frottements
Si  > c : k est réel : le milieu n’est pas absorbant v dépend de  : le milieu est dispersif

23 3ème cas : on ne néglige que les frottements
Si  < c : k est imaginaire pur : le milieu est absorbant k’’ dépend de  : le milieu est filtrant (x,t) = A.exp(k’’.x).cos(t – k’.x) = A.exp(k’’.x).cost

24 Phénomènes de propagation dispersifs
I) Dispersion et absorption d’une onde 3) Paquet d’ondes. Vitesse de groupe

25 Phénomènes de propagation dispersifs
I) Dispersion et absorption d’une onde 3) Paquet d’ondes. Vitesse de groupe a) Position du problème

26 Pour interpréter vg, considérons le groupe d’ondes constitué de deux O
Pour interpréter vg, considérons le groupe d’ondes constitué de deux O.P.P.H., de même amplitude et de pulsations 1 et 2 très proches, définies par :  = 2 – 1 << 0

27 k0 = k(0) k = k2 – k1 << k0

28 On observe des battements spatiaux : une onde moyenne de nombre d’onde k0, de pulsation 0 est enveloppée par une onde enveloppe de nombre d’onde k et de pulsation 

29 t0

30 vg t1 > t0 v v = 10 m.s–1 et vg = 3 m.s–1

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32 Phénomènes de propagation dispersifs
I) Dispersion et absorption d’une onde 3) Paquet d’ondes. Vitesse de groupe a) Position du problème b) Généralisation. Vitesse de groupe

33 Définition : On appelle paquet d’ondes ou groupe d’ondes un ensemble d’O.P.P.H*. de pulsations très voisines.

34 Un paquet d’ondes localisé dans le temps et dans l’espace est une superposition d’O.P.P.H*. à spectre continu en fréquence. Leurs pulsations sont comprises entre :  << 0

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37 sans dispersion

38 avec dispersion

39 Phénomènes de propagation dispersifs
II) Retour sur l’effet de peau dans un conducteur ohmique 1) Équation de propagation

40 Effet de peau z vide Conducteur ohmique, homogène, isotrope, de conductivité électrique  réelle positive E(0-,t) = E0.cost.ux

41 L’équation locale de Maxwell – Gauss :
L’équation locale du flux magnétique : divB = 0 L’équation locale de Maxwell – Faraday : L’équation locale de Maxwell – Ampère :

42 ||jD|| << ||j|| = .||E|| et  = 0.
Dans un conducteur ohmique fixe en équilibre dans un référentiel galiléen, en M à la date t : ||jD|| << ||j|| = .||E|| et  = 0. Un conducteur ohmique est localement neutre à tout instant.

43 Équation de propagation
rot(rotE) = – E + grad(divE) = – E

44 Phénomènes de propagation dispersifs
II) Retour sur l’effet de peau dans un conducteur ohmique 1) Équation de propagation 2) Solutions et analyse