Dpt. Télécommunications, Services & Usages Théorie de l information H. Benoit-Cattin 40 1. Introduction 2. Sources discrètes & Entropie 3. Canaux discrets.

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1 Dpt. Télécommunications, Services & Usages Théorie de l information H. Benoit-Cattin 40 1. Introduction 2. Sources discrètes & Entropie 3. Canaux discrets & Capacité 4. Codage de source 5. Codage de canal 6. Cryptographie 7. Conclusion Plan

2 Dpt. Télécommunications, Services & Usages Théorie de l information H. Benoit-Cattin 41 5. Codage de canal

3 Dpt. Télécommunications, Services & Usages Théorie de l information H. Benoit-Cattin 42 Théorème des canaux à perturbation (codage de canal)

4 Dpt. Télécommunications, Services & Usages Théorie de l information H. Benoit-Cattin 43 Taux d'erreur Probabilité d'erreur

5 Dpt. Télécommunications, Services & Usages Théorie de l information H. Benoit-Cattin 44 Taux de codage - k taille du mot d information (avant codage) - n taille du mot-code (après codage)

6 Dpt. Télécommunications, Services & Usages Théorie de l information H. Benoit-Cattin 45 Détection et correction d'erreurs

7 Dpt. Télécommunications, Services & Usages Théorie de l information H. Benoit-Cattin 46 Détection d'erreurs par bit de parité (caractère)

8 Dpt. Télécommunications, Services & Usages Théorie de l information H. Benoit-Cattin 47 Codes détecteur et/ou correcteur 3 Codes linéaires Codes groupes Parité, Code de Hamming Codes cycliques CRC/FCS, code BCH, Golay 3 Codes convolutifs Algorithme de Viterbi

9 Dpt. Télécommunications, Services & Usages Théorie de l information H. Benoit-Cattin 48 3Codes linéaires CS CCCanal P DC i v v Mot-code : v Mot-erreur : Notations

10 Dpt. Télécommunications, Services & Usages Théorie de l information H. Benoit-Cattin 49 Distance de Hamming Propriétés des codes linéaires Les symboles de contrôle sont obtenus par une combinaison linéaire des symboles d information. un code linéaire contient v=[0 0 …0] Code systématique Les symboles d information et de contrôle sont séparés.

11 Dpt. Télécommunications, Services & Usages Théorie de l information H. Benoit-Cattin 50 Illustration spatiale : modèle code groupe W V Un mot = un vecteur dans un espace à n dimensions ! w=[a 1 a 2... a n ]

12 Dpt. Télécommunications, Services & Usages Théorie de l information H. Benoit-Cattin 51 Capacité de détection et région de décision Théorème de Hamming

13 Dpt. Télécommunications, Services & Usages Théorie de l information H. Benoit-Cattin 52 Principe de détection et correction

14 Dpt. Télécommunications, Services & Usages Théorie de l information H. Benoit-Cattin 53 Décodage et matrice de contrôle Soit H (m,n) la matrice de contrôle, Soit z le syndrome (ou correcteur), Si z=[0] pas d erreur, sinon erreur et +- correction

15 Dpt. Télécommunications, Services & Usages Théorie de l information H. Benoit-Cattin 54 Codage et matrice génératrice Soit G (k,n) la matrice génératrice, Les matrices H et G sont liées par : et peuvent se mettrent sous la forme systématique

16 Dpt. Télécommunications, Services & Usages Théorie de l information H. Benoit-Cattin 55 Exemple k=2, m=1, n=3

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20 Dpt. Télécommunications, Services & Usages Théorie de l information H. Benoit-Cattin 59 3Codes cycliques (Cyclic Redundancy Check / Frame Check Sequence) Code cyclique = code linéaire + propriété de permutation Mot-code : Bloc de n symboles polynôme de degré n-1 ! : Information :

21 Dpt. Télécommunications, Services & Usages Théorie de l information H. Benoit-Cattin 60 Polynôme générateur : g(x) - g(x) définit le codeur (n,k) - g(x) est de degré m=n-k - Il vérifie : Exemple : code cyclique (n=7, k=4) g(x) est de degré 3 soit :

22 Dpt. Télécommunications, Services & Usages Théorie de l information H. Benoit-Cattin 61 Matrice génératrice et polynôme générateur Exemple : g(x)=(1+x 2 +x 3 )

23 Dpt. Télécommunications, Services & Usages Théorie de l information H. Benoit-Cattin 62 Codage par multiplication Codage par division Décodage par division Si z(x)=0 Transmission OK Sinon Détection ou correction Systématique ! # convolution discrète !

24 Dpt. Télécommunications, Services & Usages Théorie de l information H. Benoit-Cattin 63 Exemple de polynômes générateurs

25 Dpt. Télécommunications, Services & Usages Théorie de l information H. Benoit-Cattin 64 Code BCH (Bose-Chaudhuri - Hocquenghem)

26 Dpt. Télécommunications, Services & Usages Théorie de l information H. Benoit-Cattin 65 Code Golay

27 Dpt. Télécommunications, Services & Usages Théorie de l information H. Benoit-Cattin 66 3Codes convolutifs Généralités

28 Dpt. Télécommunications, Services & Usages Théorie de l information H. Benoit-Cattin 67 Codes convolutifs systématiques Codes convolutifs non systématiques

29 Dpt. Télécommunications, Services & Usages Théorie de l information H. Benoit-Cattin 68 Exemple : m=4, k 0 =1, m 0 =1, n 0 =2 R=[1011]

30 Dpt. Télécommunications, Services & Usages Théorie de l information H. Benoit-Cattin 69 Représentation des codes convolutifs - Par le codeur - Par une matrice de transfert - Un diagramme d'état - Un treillis chemin décodage par chemin le + probable X 1 (n) X 2 (n) U 1 (n) U 2 (n) U 3 (n)

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32 Dpt. Télécommunications, Services & Usages Théorie de l information H. Benoit-Cattin 71

33 Dpt. Télécommunications, Services & Usages Théorie de l information H. Benoit-Cattin 72 Décodage : algorithme de Viterbi

34 Dpt. Télécommunications, Services & Usages Théorie de l information H. Benoit-Cattin 73 Conclusion sur le codage de canal - Reed-Salomon (1984) : BCH Qaire DVB(204,188,8) - Turbo-Codes (1993) : Code convolutif V+H - complexité -- - robustesse ++ - flexibilité ++