Échantillonnage-Estimation

Présentation au sujet: "Échantillonnage-Estimation"— Transcription de la présentation:

1 Échantillonnage-Estimation

2 1)Position du problème :
Si la population est trop nombreuse on ne peut étudier toutes les unités statistiques .

3 1)Position du problème :
Si la population est trop nombreuse on ne peut étudier toutes les unités statistiques . On prend alors un échantillon de la population.

4 1)Position du problème :
Si la population est trop nombreuse on ne peut étudier toutes les unités statistiques . On prend alors un échantillon de la population. Le problème est de savoir le degré de confiance que l’on peut accorder aux résultats obtenus sur cette population partielle.

5 2)définitions

6 L’échantillonnage consiste connaissant les propriétés sur la population à déterminer les propriétés sur les échantillons

7 Le problème contraire c’est l’estimation

8 Le problème contraire c’est l’estimation
Le problème contraire c’est l’estimation Remarque :Un tirage non exhaustif c’est un tirage avec remise

9 3)Échantillonnage 

10 a)Distribution d’échantillonnage des moyennes
Soit une population de moyenne m et d’écart type σ

11 a)Distribution d’échantillonnage des moyennes
Soit une population de moyenne m et d’écart type σ Soit la variable aléatoire d’échantillonnage des moyennes.

12 a)Distribution d’échantillonnage des moyennes
Soit une population de moyenne m et d’écart type σ Soit la variable aléatoire d’échantillonnage des moyennes. est la variable aléatoire qui à chaque échantillon aléatoire prélevé avec remise et d’effectif n fixé ,associe la moyenne de cet échantillon.

13 Soit la variable aléatoire d’échantillonnage des moyennes.
est la variable aléatoire qui à chaque échantillon aléatoire prélevé avec remise et d’effectif n fixé ,associe la moyenne de cet échantillon. Pour n assez grand, suit une loi Normale

14 b)Distribution d’échantillonnage des proportions:
Soit une population dont une proportion p d’éléments vérifie une propriété donnée.

15 b)Distribution d’échantillonnage des proportions:
Soit une population dont une proportion p d’éléments vérifie une propriété donnée. Soit F la variable aléatoire d’échantillonnage des proportions.

16 b)Distribution d’échantillonnage des proportions:
Soit une population dont une proportion p d’éléments vérifie une propriété donnée. Soit F la variable aléatoire d’échantillonnage des proportions. F est la variable aléatoire qui à chaque échantillon aléatoire prélevé avec remise et d’effectif n fixé ,associe la proportion dans cet échantillon.

17 b)Distribution d’échantillonnage des proportions:
Soit F la variable aléatoire d’échantillonnage des proportions. F est la variable aléatoire qui à chaque échantillon aléatoire prélevé avec remise et d’effectif n fixé ,associe la proportion dans cet échantillon. Pour n assez grand, F suit une loi Normale

18 4)Estimation

19 a)Estimation ponctuelle
Une estimation ponctuelle de m ( moyenne inconnue dans la population )

20 a)Estimation ponctuelle
Une estimation ponctuelle de m ( moyenne inconnue dans la population ) c’est moyenne de l’échantillon

21 a)Estimation ponctuelle
Une estimation ponctuelle de p ( proportion inconnue dans la population )

22 a)Estimation ponctuelle
Une estimation ponctuelle de p ( proportion inconnue dans la population ) c’est f la proportion dans l’échantillon 

23 a)Estimation ponctuelle
Une estimation ponctuelle de σ ( écart type inconnu de la population )

24 a)Estimation ponctuelle
Une estimation ponctuelle de σ ( écart type inconnu de la population ) c’est s = avec n la taille de l’échantillon

25 b)Estimation par intervalle de confiance
principe

26 b)Estimation par intervalle de confiance
principe On cherche un intervalle qui contient la valeur estimée avec une certaine probabilité α (95% , 99% )

27 cas d’une moyenne dans la population : m est inconnue et σ est supposé connu  

28 cas d’une moyenne dans la population : m est inconnue et σ est supposé connu dans l’échantillon de taille n, la moyenne est:  

29 Soit la variable aléatoire d’échantillonnage des moyennes.

30 Soit la variable aléatoire d’échantillonnage des moyennes.
est la variable aléatoire qui à chaque échantillon aléatoire prélevé avec remise et d’effectif n fixé ,associe la moyenne de cet échantillon.

31 Soit la variable aléatoire d’échantillonnage des moyennes.
est la variable aléatoire qui à chaque échantillon aléatoire prélevé avec remise et d’effectif n fixé ,associe la moyenne de cet échantillon. suit une loi Normale

32 Soit la variable aléatoire d’échantillonnage des moyennes.
est la variable aléatoire qui à chaque échantillon aléatoire prélevé avec remise et d’effectif n fixé ,associe la moyenne de cet échantillon. suit une loi Normale Soit T la variable aléatoire centrée réduite associée à

33

34 Le coefficient de confiance α étant donné (choisi à l’avance )ou le risque (1-α), on cherche t tel que : P(-t<T<t)=α

35 Π(t) – Π(-t) = α Π(t) – [(1- Π(t)] = α 2 [Π(t)] – = α Π(t) = (1+α )/ d’où t  

36 Π(t) – Π(-t) = α Π(t) – [(1- Π(t)] = α 2 [Π(t)] – = α Π(t) = (1+α )/ d’où t Si α =0,95 alors t = 1,96

37 On en déduit l’intervalle de confiance, centré sur , de la moyenne inconnue m de la population avec un coefficient de confiance α

38 On en déduit l’intervalle de confiance, centré sur , de la moyenne inconnue m de la population avec un coefficient de confiance α

39 cas d’une proportion dans la population : la proportion p est inconnue

40 cas d’une proportion dans la population : la proportion p est inconnue
dans l’échantillon de taille n, la proportion est f

41 cas d’une proportion Soit F la variable aléatoire d’échantillonnage des proportions. F est la variable aléatoire qui à chaque échantillon aléatoire prélevé avec remise et d’effectif n fixé ,associe la proportion dans cet échantillon.

42 F suit une loi Normale . Soit T la variable aléatoire centrée réduite associée à F

43 Le coefficient de confiance α étant donné (choisi à l’avance )ou le risque (1-α), on cherche t tel que : P(-t<T<t)=α

44 On en déduit l’intervalle de confiance, centré sur f, de la proportion inconnue p de la population avec un coefficient de confiance α

45 On en déduit l’intervalle de confiance, centré sur f, de la proportion inconnue p de la population avec un coefficient de confiance α

46 FIN

47

48

49