Logique et raisonnement scientifique

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1 Logique et raisonnement scientifique
cours transversal Collège Doctoral Pr. Alain Lecomte

2 8- La logique et les processus
Logique linéaire

3 bilan Hilbert  méthodes finitistes pour fonder la cohérence des mathématiques, vers les théorèmes d’incomplétude (Gödel, 1931) Brouwer  une exigence de constructibilité cf. fameuse question: « existe-t-il deux irrationnels x et y tels que xy soit un rationnel? » Essayons avec x = y = Si xy est un rationnel, on a répondu positivement Sinon (xy)y = 2 et on a répondu positivement mathématisation

4 La logique et l’informatique
Modèles de calcul

5 Un autre problème posé par Hilbert: l’Entscheidungsproblem
Le problème de la décision est résolu si l’on connaît une procédure qui permette de déterminer, en utilisant un nombre fini d’opérations, la validité, respectivement la satisfaisabilité d’une expression logique donnée (1928) mathématisation

6 Turing (1936) Machines de Turing Machine de Turing universelle
Indécidabilité du problème de l’arrêt mathématisation

7 Tête de lecture/écriture
Ruban Tête de lecture/écriture mathématisation

8 Alphabet :  = {#, a0, a1, a2, …, an} , symboles admis sur le ruban
ai1 ai2 ai3 ai4 ai5 ai6 ai7 ai8 … … aik qi Alphabet :  = {#, a0, a1, a2, …, an} , symboles admis sur le ruban # : le blanc,    - {#}, symboles d’entrée Ensemble d’états : Q = {q0, q1, …, qm} q0 : état initial F  Q : ensemble d’états finaux (peut être vide) mathématisation

9 Règles de transition Une règle de transition est un quintuplet
(qi, ai, qj, aj, Dir) où Dir{G, D} écrit aussi: (qi, ai)  (qj, aj, Dir) mathématisation

10 exemple  = {0, 1, X, Y, #}  = {0, 1} Q = {q0, q1, q2, q3, q4}
F = {q4} Transitions (quintuplets) (q0, 0, q1, X, D), (q0, Y, q3, Y, D), (q1, 0, q1, 0, D), (q1, 1, q2, Y, G), (q1, Y, q1, Y, D), (q2, 0, q2, 0, G), (q2, X, q0, X, D), (q2, Y, q2, Y, G), (q3, Y, q3, Y, D), (q3, #, q4, #, D) mathématisation

11 diagramme mathématisation

12 (q0, 0, q1, X, D), (q0, Y, q3, Y, D), (q1, 0, q1, 0, D), (q1, 1, q2, Y, G),
(q1, Y, q1, Y, D), (q2, 0, q2, 0, G), (q2, X, q0, X, D), (q2, Y, q2, Y, G), (q3, Y, q3, Y, D), (q3, #, q4, #, D) 1 1 1 q0 (q0, 0, q1, X, D) mathématisation

13 (q0, 0, q1, X, D), (q0, Y, q3, Y, D), (q1, 0, q1, 0, D), (q1, 1, q2, Y, G),
(q1, Y, q1, Y, D), (q2, 0, q2, 0, G), (q2, X, q0, X, D), (q2, Y, q2, Y, G), (q3, Y, q3, Y, D), (q3, #, q4, #, D) X 1 1 1 q1 (q1, 0, q1, 0, D) mathématisation

14 (q0, 0, q1, X, D), (q0, Y, q3, Y, D), (q1, 0, q1, 0, D), (q1, 1, q2, Y, G),
(q1, Y, q1, Y, D), (q2, 0, q2, 0, G), (q2, X, q0, X, D), (q2, Y, q2, Y, G), (q3, Y, q3, Y, D), (q3, #, q4, #, D) X 1 1 1 q1 (q1, 0, q1, 0, D) mathématisation

15 (q0, 0, q1, X, D), (q0, Y, q3, Y, D), (q1, 0, q1, 0, D), (q1, 1, q2, Y, G),
(q1, Y, q1, Y, D), (q2, 0, q2, 0, G), (q2, X, q0, X, D), (q2, Y, q2, Y, G), (q3, Y, q3, Y, D), (q3, #, q4, #, D) X 1 1 1 q1 (q1, 1, q2, Y, G) mathématisation

16 (q0, 0, q1, X, D), (q0, Y, q3, Y, D), (q1, 0, q1, 0, D), (q1, 1, q2, Y, G),
(q1, Y, q1, Y, D), (q2, 0, q2, 0, G), (q2, X, q0, X, D), (q2, Y, q2, Y, G), (q3, Y, q3, Y, D), (q3, #, q4, #, D) X Y 1 1 q2 (q2, 0, q2, 0, G) mathématisation

17 (q0, 0, q1, X, D), (q0, Y, q3, Y, D), (q1, 0, q1, 0, D), (q1, 1, q2, Y, G),
(q1, Y, q1, Y, D), (q2, 0, q2, 0, G), (q2, X, q0, X, D), (q2, Y, q2, Y, G), (q3, Y, q3, Y, D), (q3, #, q4, #, D) X Y 1 1 q2 (q2, 0, q2, 0, G) mathématisation

18 (q0, 0, q1, X, D), (q0, Y, q3, Y, D), (q1, 0, q1, 0, D), (q1, 1, q2, Y, G),
(q1, Y, q1, Y, D), (q2, 0, q2, 0, G), (q2, X, q0, X, D), (q2, Y, q2, Y, G), (q3, Y, q3, Y, D), (q3, #, q4, #, D) X Y 1 1 q2 (q2, X, q0, X, D) mathématisation

19 (q0, 0, q1, X, D), (q0, Y, q3, Y, D), (q1, 0, q1, 0, D), (q1, 1, q2, Y, G),
(q1, Y, q1, Y, D), (q2, 0, q2, 0, G), (q2, X, q0, X, D), (q2, Y, q2, Y, G), (q3, Y, q3, Y, D), (q3, #, q4, #, D) X Y 1 1 q0 (q0, 0, q1, X, D) mathématisation

20 (q0, 0, q1, X, D), (q0, Y, q3, Y, D), (q1, 0, q1, 0, D), (q1, 1, q2, Y, G),
(q1, Y, q1, Y, D), (q2, 0, q2, 0, G), (q2, X, q0, X, D), (q2, Y, q2, Y, G), (q3, Y, q3, Y, D), (q3, #, q4, #, D) X X Y 1 1 q1 (q1, 0, q1, 0, D) mathématisation

21 (q0, 0, q1, X, D), (q0, Y, q3, Y, D), (q1, 0, q1, 0, D), (q1, 1, q2, Y, G),
(q1, Y, q1, Y, D), (q2, 0, q2, 0, G), (q2, X, q0, X, D), (q2, Y, q2, Y, G), (q3, Y, q3, Y, D), (q3, #, q4, #, D) X X Y 1 1 q1 (q1, Y, q1, Y, D) mathématisation

22 (q0, 0, q1, X, D), (q0, Y, q3, Y, D), (q1, 0, q1, 0, D), (q1, 1, q2, Y, G),
(q1, Y, q1, Y, D), (q2, 0, q2, 0, G), (q2, X, q0, X, D), (q2, Y, q2, Y, G), (q3, Y, q3, Y, D), (q3, #, q4, #, D) X X Y 1 1 q1 (q1, 1, q2, Y, G) mathématisation

23 (q0, 0, q1, X, D), (q0, Y, q3, Y, D), (q1, 0, q1, 0, D), (q1, 1, q2, Y, G),
(q1, Y, q1, Y, D), (q2, 0, q2, 0, G), (q2, X, q0, X, D), (q2, Y, q2, Y, G), (q3, Y, q3, Y, D), (q3, #, q4, #, D) X X Y Y 1 q2 (q2, Y, q2, Y, G) mathématisation

24 (q0, 0, q1, X, D), (q0, Y, q3, Y, D), (q1, 0, q1, 0, D), (q1, 1, q2, Y, G),
(q1, Y, q1, Y, D), (q2, 0, q2, 0, G), (q2, X, q0, X, D), (q2, Y, q2, Y, G), (q3, Y, q3, Y, D), (q3, #, q4, #, D) X X Y Y 1 q2 (q2, 0, q2, 0, G) mathématisation

25 (q0, 0, q1, X, D), (q0, Y, q3, Y, D), (q1, 0, q1, 0, D), (q1, 1, q2, Y, G),
(q1, Y, q1, Y, D), (q2, 0, q2, 0, G), (q2, X, q0, X, D), (q2, Y, q2, Y, G), (q3, Y, q3, Y, D), (q3, #, q4, #, D) X X Y Y 1 q2 (q2, X, q0, X, D) mathématisation

26 (q0, 0, q1, X, D), (q0, Y, q3, Y, D), (q1, 0, q1, 0, D), (q1, 1, q2, Y, G),
(q1, Y, q1, Y, D), (q2, 0, q2, 0, G), (q2, X, q0, X, D), (q2, Y, q2, Y, G), (q3, Y, q3, Y, D), (q3, #, q4, #, D) X X Y Y 1 q0 (q0, 0, q1, X, D) mathématisation

27 (q0, 0, q1, X, D), (q0, Y, q3, Y, D), (q1, 0, q1, 0, D), (q1, 1, q2, Y, G),
(q1, Y, q1, Y, D), (q2, 0, q2, 0, G), (q2, X, q0, X, D), (q2, Y, q2, Y, G), (q3, Y, q3, Y, D), (q3, #, q4, #, D) X X X Y Y 1 q1 (q1, Y, q1, Y, D) mathématisation

28 (q0, 0, q1, X, D), (q0, Y, q3, Y, D), (q1, 0, q1, 0, D), (q1, 1, q2, Y, G),
(q1, Y, q1, Y, D), (q2, 0, q2, 0, G), (q2, X, q0, X, D), (q2, Y, q2, Y, G), (q3, Y, q3, Y, D), (q3, #, q4, #, D) X X X Y Y 1 q1 (q1, Y, q1, Y, D) mathématisation

29 (q0, 0, q1, X, D), (q0, Y, q3, Y, D), (q1, 0, q1, 0, D), (q1, 1, q2, Y, G),
(q1, Y, q1, Y, D), (q2, 0, q2, 0, G), (q2, X, q0, X, D), (q2, Y, q2, Y, G), (q3, Y, q3, Y, D), (q3, #, q4, #, D) X X X Y Y 1 q1 (q1, 1, q2, Y, G) mathématisation

30 (q0, 0, q1, X, D), (q0, Y, q3, Y, D), (q1, 0, q1, 0, D), (q1, 1, q2, Y, G),
(q1, Y, q1, Y, D), (q2, 0, q2, 0, G), (q2, X, q0, X, D), (q2, Y, q2, Y, G), (q3, Y, q3, Y, D), (q3, #, q4, #, D) X X X Y Y Y q2 (q2, Y, q2, Y, G) mathématisation

31 (q0, 0, q1, X, D), (q0, Y, q3, Y, D), (q1, 0, q1, 0, D), (q1, 1, q2, Y, G),
(q1, Y, q1, Y, D), (q2, 0, q2, 0, G), (q2, X, q0, X, D), (q2, Y, q2, Y, G), (q3, Y, q3, Y, D), (q3, #, q4, #, D) X X X Y Y Y q2 (q2, Y, q2, Y, G) mathématisation

32 (q0, 0, q1, X, D), (q0, Y, q3, Y, D), (q1, 0, q1, 0, D), (q1, 1, q2, Y, G),
(q1, Y, q1, Y, D), (q2, 0, q2, 0, G), (q2, X, q0, X, D), (q2, Y, q2, Y, G), (q3, Y, q3, Y, D), (q3, #, q4, #, D) X X X Y Y Y q2 (q2, X, q0, X, D) mathématisation

33 (q0, 0, q1, X, D), (q0, Y, q3, Y, D), (q1, 0, q1, 0, D), (q1, 1, q2, Y, G),
(q1, Y, q1, Y, D), (q2, 0, q2, 0, G), (q2, X, q0, X, D), (q2, Y, q2, Y, G), (q3, Y, q3, Y, D), (q3, #, q4, #, D) X X X Y Y Y q0 (q0, Y, q3, Y, D) mathématisation

34 (q0, 0, q1, X, D), (q0, Y, q3, Y, D), (q1, 0, q1, 0, D), (q1, 1, q2, Y, G),
(q1, Y, q1, Y, D), (q2, 0, q2, 0, G), (q2, X, q0, X, D), (q2, Y, q2, Y, G), (q3, Y, q3, Y, D), (q3, #, q4, #, D) X X X Y Y Y q3 (q3, Y, q3, Y, D) mathématisation

35 (q0, 0, q1, X, D), (q0, Y, q3, Y, D), (q1, 0, q1, 0, D), (q1, 1, q2, Y, G),
(q1, Y, q1, Y, D), (q2, 0, q2, 0, G), (q2, X, q0, X, D), (q2, Y, q2, Y, G), (q3, Y, q3, Y, D), (q3, #, q4, #, D) X X X Y Y Y q3 (q3, Y, q3, Y, D) mathématisation

36 (q0, 0, q1, X, D), (q0, Y, q3, Y, D), (q1, 0, q1, 0, D), (q1, 1, q2, Y, G),
(q1, Y, q1, Y, D), (q2, 0, q2, 0, G), (q2, X, q0, X, D), (q2, Y, q2, Y, G), (q3, Y, q3, Y, D), (q3, #, q4, #, D) X X X Y Y Y q3 (q3, #, q4, #, D) mathématisation

37 (q0, 0, q1, X, D), (q0, Y, q3, Y, D), (q1, 0, q1, 0, D), (q1, 1, q2, Y, G),
(q1, Y, q1, Y, D), (q2, 0, q2, 0, G), (q2, X, q0, X, D), (q2, Y, q2, Y, G), (q3, Y, q3, Y, D), (q3, #, q4, #, D) X X X Y Y Y q4 (q3, #, q4, #, D) mathématisation

38 Le -calcul de Church formuler avec précision le problème de la substitution des variables dans une expression qui représente une fonction Application Abstraction Équivalence avec MdT Théorème de Church-Rosser Une condition pour la normalisation : termes « typés » mathématisation

39 Prouver: (A  B)  ((B  C)  (A  C))
Le calcul des séquents (Gentzen, 1934) comme méthode de décision pour la logique classique et la logique intuitionniste Prouver: (A  B)  ((B  C)  (A  C)) mathématisation

40 | (A  B)  ((B  C)  (A  C))
démonstration A  B, B  C, A, B | B, C A  B, B  C, A, B, C | C A  B, B  C, A | A, C A  B, B  C, A, B | C A  B, B  C, A | C A  B, B  C | A  C A  B | (B  C)  (A  C) | (A  B)  ((B  C)  (A  C)) mathématisation

41 Règles logiques axiome : coupure :
[ D] : A,  |- , B [ G] :  |- , A B,  |-   |- , AB A  B,  |-  [ D] : A,  |-  [ G] :  |- , A  |- ,  A  A,  |-  axiome : A,  |- , A coupure :  |- , A A,  |- ’ ,  |- , ’ mathématisation

42 Règles structurelles Affaiblissement :
à gauche :  |-  à droite :  |-  , A |-   |- A,  Contraction : à gauche : , A, A |-  à droite :  |- A, A,  Permutation à gauche : , A, B,  |-  à droite :  |- ’, A, B,  , B, A,  |-   |- ’, B, A,  mathématisation

43 Gentzen - suite Hauptsatz :
Le système sans coupure permet de prouver les mêmes séquents que le système avec coupure ! Alors… La règle de coupure ne sert à rien? Si! mathématisation

44 Calcul intuitionniste
dissymétriser le calcul: les séquents ont au plus une formule en partie droite empêche tiers exclu et double négation Isomorphisme de Curry-Howard types = formules -termes = preuves réduction = élimination de la coupure mathématisation

45 Pourquoi casser les symétries?
En logique classique,  |- A,  ’|- B, ’ , ’ |- A  B, , ’ et  |- A,  |- B,   |- A  B,  sont équivalentes (à cause des règles de contraction et d’affaiblissement) mathématisation

46 Pourquoi casser les symétries?
Mais si on supprime ces règles? mathématisation

47 Pourquoi casser les symétries?
La logique linéaire (1985) : 1- partie conjonctive [ G] , A, B |-  [ D]  |- A,  ’|- B, ’ , A  B |-  , ’ |- A  B, , ’ [& G]1 , A |-  [& D]  |- A,  |- B,  , A & B |-   |- A & B,  [& G]2 , B |-  , A & B |-  mathématisation

48 Logique linéaire – 2 partie disjonctive
[ G]  |- A, B,  [ D] , A |-  ’, B |- ’  |- A  B,  , ’, A  B |- , ’ [ D]1  |- A,  [ G] , A |-  , B|-   |- A  B,  , A  B |-  [ D]2  |- B,   |- A  B,  [ D] : A,  |-  [ G] :  |- , A  |- , A A,  |-  NB : A –o B  A B mathématisation

49 Logique linéaire - 3 Retrouver la logique classique? A  B  !A –o B
Le rôle des exponentielles : réintroduire localement les règles structurelles , A |-  [intro !] , !A, !A |-  [contraction] , !A |-  , !A |-   |-  [affaiblissement] , !A |-  mathématisation

50 Le menu…. Prix : 16 € Entrée : au choix jambon ou salade
Plat de résistance : entrecôte Accompagnement : frites à volonté Déssert : au choix fromage ou fruit de saison selon arrivage (pêche ou pomme) mathématisation

51 Le menu…. Prix : 16 € Entrée : au choix jambon ou salade
Plat de résistance : entrecôte Accompagnement : frites à volonté Déssert : au choix fromage ou fruit de saison selon arrivage (pêche ou pomme) mathématisation

52 La formule… 16 € --o (jambon & salade)  (entrecôte  !frites)
(fromage & (pomme  pêche)) mathématisation

53 Autre exemple Il y a un siège disponible sur Londres – Bruxelles
Marie est à Londres John est à Londres En principe: Marie peut prendre l’avion pour Bruxelles John peut prendre l’avion pour Bruxelles Donc : Marie et John peuvent prendre l’avion pour Bruxelles mathématisation

54 En réalité… Soit les prémisses : x (Londres(x) –o Brux(x))
pour tout individu x, s’il est à Londres, il peut aller à Bruxelles mais cette formule est utilisable une seule fois Londres(Marie) Londres(John) Elles ne permettent pas de déduire Brux(Marie) et Brux(John) mathématisation

55 déduction x (Londres(x) –o Brux(x)) Londres(Marie) –o Brux(Marie)
Donc : x (Londres(x) –o Brux(x)), Londres(Marie)  Brux(Marie) Londres(John)  Londres(John) Donc : x (Londres(x) –o Brux(x)), Londres(Marie), Londres(John)  Brux(Marie)  Londres(John) Ou bien : x (Londres(x) –o Brux(x)), Londres(Marie), Londres(John)  Brux(John)  Londres(Marie) mathématisation

56 Plus sérieux… !(e (electron(e) –o z position(e, z)))
!(e (electron(e) –o z’ vitesse(e, z’))) Impossible de prouver : !(e (electron(e) –o z position(e, z)  z’ vitesse(e, z’))) mathématisation

57 déduction !(e (electron(e) –o z position(e, z))) electron(i)
electron(i) –o z position(i, z) z position(i, z) Mais electron(i) a été consommé, on ne peut pas le réutiliser pour prouver z’ vitesse(e, z’) mathématisation

58 Réseaux de preuves C’est ce qui remplace les -termes
Soit à démontrer le séquent suivant: mathématisation

59 mathématisation

60 mathématisation

61 mathématisation

62 mathématisation

63 mathématisation

64 mais on aurait pu faire autrement
mathématisation

65 mathématisation

66 mathématisation

67 mathématisation

68 mathématisation

69 i B B C C A A B , C B Ä C A , B , A Þ C B Ä C A Ä B , A Þ C B Ä C A A
mathématisation

70 i B C A C B Ä C A B A Þ C A Ä B A C A Þ C C B A B B Ä C A Ä B
mathématisation

71 i B C A C B Ä C A B A Þ C A Ä B A C A Þ C C B A B B Ä C A Ä B
mathématisation

72 B C A C B Ä C A B A Þ C A Ä B A C A Þ C C B A B B Ä C A Ä B
mathématisation

73 A B A C B C B A Ä C A Þ C B Ä mathématisation

74 i i o i o o i i o A B A C B C B A Ä C A Þ C B Ä
 : a « right » conjunction  : a « left » conjunction : a « left » disjunction A  B  A  B mathématisation

75 symmetries left conjunction = right disjunction
right conjunction = left disjunction right formula = negation of left formula left formula = negation of right formula mathématisation

76 A B A C B C B A Ä C A Þ C B Ä  : a « right » conjunction
 : a « right » disjunction (between neg.) : a « right » conjunction mathématisation

77 A B A C B C A  B A  C B  C mathématisation

78 A B A C B C A  B A  C B  C mathématisation

79 correctness criterion
connectivity switches : no cycle in any graph obtained by removing one edge to each par link Une « géométrisation » de la logique mathématisation

80 Prouver c’est aussi planifier
cf. une action produit un changement dans le monde utilise des ressources se réalise par combinaison d’actions plus élémentaires mathématisation

81 poser c sur la table a c mathématisation

82 poser c sur la table c a mathématisation

83 poser c sur la table c a mathématisation

84 poser c sur la table c a mathématisation

85 poser c sur la table c a mathématisation

86 poser c sur la table a c mathématisation

87 Passer de l’état du monde: main vide (V)
c en haut de pile (donc accessible) (H(c)) c sur a (S(c, a)) à main vide c en haut de pile c en bas de pile (B(c)) a en haut de pile mathématisation

88 décrit par le séquent : V, H(c), S(c, a)  VH(c)B(c)H(a)
mathématisation

89 Actions élémentaires prendre(x) : V, H(x), B(x)  T(x)
poser(x) : T(x)  VH(x)B(x) oter(x, y) : V, H(x), S(x, y)  T(x)H(y) mettre(x, y) : T(x), H(y)  VH(x)S(x, y) mathématisation

90 preuve T(c)  V  H(c)  B(c) H(a)  H(a)
 - droite T(c), H(a)  V  H(c)  B(c)  H(a)  - gauche V, H(c), S(c, a)  T(c)  H(a) T(c)  H(a)  V  H(c)  B(c)  H(a) coupure V, H(c), S(c, a)  V  H(c)  B(c)  H(a) mathématisation

91 preuve poser(c) H(a)  H(a)
 - droite T(c), H(a)  V  H(c)  B(c)  H(a)  - gauche oter(c, a) T(c)  H(a)  V  H(c)  B(c)  H(a) coupure V, H(c), S(c, a)  V  H(c)  B(c)  H(a) mathématisation

92 preuve  action? On peut extraire une composition d’actions d’une preuve comme on peut extraire un programme d’une preuve (informatique théorique) mathématisation

93 interaction & : choix « actif » (vous avez le choix entre … et …)
 : choix « passif » (l’un ou l’autre, vous ne décidez pas)  : les deux, dans un ordre séquentiel non déterminé : les deux, en parallèle, par exemple l’échange (l’un contre l’autre)  : le changement de point de vue mathématisation

94 interprétation Interaction
la logique n’est plus seulement interprétable comme « décrivant un extérieur », elle s’interprète « par rapport à elle-même », autrement dit elle réfère à ses propres procédures : l’interprétation des règles se fait dans un dialogue interne et le système se voit ainsi doté d’une dynamique des preuves mathématisation

95 La logique et les processus
une science formelle des processus informationnels convergents Applications: Linguistique Biologie Sciences cognitives (Krivine) mathématisation

96 biologie Antoine Danchin: « la cellule est un ordinateur vivant »
Physique : matière, énergie, temps… Biologie : Physique + information, codage, contrôle… Arithmétique : chaînes d’entiers, récursivité, codage… Informatique : arithmétique + programme + machine… » « comme dans le cas de la construction d’une machine, dans celui de la construction d’une cellule, on a besoin d’un livre de recettes… cela demande ensuite qu’on soit capable de changer le texte de la recette en quelque chose de concret : ceci consiste dans le « transfert d’information ». Dans une cellule, ce transfert d’information est assuré par le programme génétique » mathématisation

97 conclusion au cœur d’un processus contemporain de mathématisation à propos d’objets qui n’ont pas pu jusqu’à présent être l’objet d’un tel processus, faute d’outils mathématiques adéquats il était assez imprévisible et il reste curieux que ce soit la logique, dans son propre développement interne, qui donne aujourd’hui de tels outils, via l’intégration qu’elle opère des lois de fonctionnement de machines abstraites. mathématisation