3. Logique et mathématiques De Frege à Gödel. Frege (1848 – 1925) Après que la mathématique se fut pour un temps écartée de la rigueur euclidienne, elle.

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1 3. Logique et mathématiques De Frege à Gödel

2 Frege (1848 – 1925) Après que la mathématique se fut pour un temps écartée de la rigueur euclidienne, elle y revient, et non sans de vifs efforts pour la dépasser

3 Manque de rigueur? Newton: les fluxions o : une « particule atomique de temps », un « infiniment petit » mais infiniment petit : terme contradictoire Paradoxes de Zénon Séries infinies

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5 Niels Abel (1826): – « [les séries divergentes] sont quelque chose de bien fatal et cest une honte quon ose y fonder aucune démonstration… Ce sont elles qui ont fait tant de malheurs et causé tant de paradoxes »

6 Niels Abel La vie de Niels Abel, mathématicien norvégien né le 5 août 1802, est marquée par la pauvreté. Son père était pourtant un éminent homme politique norvégien, mais à la fin de sa vie il est tombé en disgrâce, et quand il meurt en 1820, c'est Abel qui doit supporter la charge de la famille. Grâce à l'aide financière de ses professeurs, il parvient cependant à poursuivre ses études et à faire ses premières découvertes. Mais ses mémoires sont perdus par Cauchy, mésestimés par Gauss. Après son doctorat, Abel ne parvient pas à trouver un poste, ses conditions de vie sont de plus en plus précaires et sa santé se fait fragile : il est atteint de la tuberculose. Malgré des déplacements à Paris et à Berlin, ses travaux ne sont toujours pas perçus à leur juste valeur. Dans ses dernières semaines, il n'a plus assez de force pour quitter son lit. Il décède le 5 avril 1829, à même pas 27 ans, alors qu'un ami venait juste de lui trouver un poste à Berlin.

7 Cauchy, Weierstrass quand n tend vers si et seulement si :

8 La Begriffschrift-1 « je nai pas voulu faire un simple calculus ratiocinator, mais une lingua characterica au sens de Leibniz »

9 La Begriffschrift-1 Sujet / Prédicat Objet / Fonction x 2 – 4x _ conquit la Gaule Les objets (expressions saturées) ont une dénotation Donc aussi les propositions La dénotation dune proposition est soit le vrai, soit le faux

10 Idée de système formel Les déductions obtenues « par le seul moyen des règles données pour lutilisation de nos signes » Comme chez Euclide : axiomes La Begriffschrift-2

11 a b a a c b c a b c a c b c a axiomes

12 A Règle dinférence

13 A

14 A

15 A b a a b a a a a négation axiomes

16 a c b c a b c a b a b a a c b c a b c soit à prouver : avec les axiomes Exemple de déduction

17 a b a b a a c b c a b c dans mettre à la place de a et à la place de b

18 a c b c a b c a c b c a b c a b

19 a c b c a b c a c b c a b c a b a c b c a b c

20 a c b c a b c a b a b a c b c a b c a c b c a b c

21 (A) (a) a a a A Fonctions et champ

22 Beaucoup de flèches nont pas atteint la cible Pas beaucoup de flèches ont atteint la cible la cible na pas été atteinte par beaucoup de flèches

23 (a) a A a A assertions et contenus

24 De la logique aux mathématiques Le nombre de satellites de Jupiter est lextension du concept « équinumérique au concept « satellite de Jupiter » » Puisque rien ne tombe sous le concept : « non identique à soi- même », je pose par définition : 0 est le nombre cardinal qui appartient au concept « non identique à soi-même. « il existe un concept F et un objet x qui tombe sous ce concept tels que le nombre cardinal qui appartient à ce concept est n et que le nombre cardinal qui appartient au concept 'qui tombe sous F mais n'est pas identique à x' est m ». veut dire la même chose que « n suit immédiatement m dans la suite naturelle des nombres. » Théorie des cardinaux finis

25 Linfini? le nombre cardinal infini est le nombre qui appartient au concept « nombre cardinal fini » Infini actuel

26 Les ordinaux un ensemble est un ordinal sil a les deux propriétés suivantes : La relation est sur une relation dordre total strict qui est un bon ordre ; Si alors, { }, {, { }}, {, { }, {, { }}}, {, { }, {, { }}, {, { }, {, { }}}} etc.

27 Loi dengendrement

28 Loi dengendrement { }

29 Loi dengendrement { } {, { }},

30 Loi dengendrement { } {, { }}, {, { }, {, { }}},

31 Loi dengendrement { } {, { }}, {, { }, {, { }}}, {, { }, {, { }}, {, { }, {, { }}}} etc.

32 ordinaux si est un ordinal, alors { } est un ordinal. On note alors ce nouvel ordinal : +, cest le successeur de. Un ordinal est dit fini si lui-même et chacun de ses éléments est successeur dun ordinal. Dans le cas contraire, on parle dordinal limite

33 Ordinaux limites lensemble de tous les ordinaux finis est un ordinal on ne peut pas trouver dordinal dont il soit le successeur ! autrement dit cest un ordinal limite. notons- le : cest le plus petit ordinal infini

34 ordinaux Mais + 1 = { } est aussi un ordinal limite, + 1, + 2, + 3, …. + = 2, puis 3, 4 … = 2, puis 3, …,

35 Les ordinaux et les cardinaux = ( est le plus petit ordinal équipotent à N) On pose: ( est un ordinal, le successeur dun cardinal k est le plus petit cardinal qui lui est supérieur) Card(R) = Card (N) = Question: est-ce que = ?

36 Le paradoxe de Burali-Forti lensemble de tous les ordinaux est muni dun bon ordre, donc est un ordinal, cet ordinal est ainsi à la fois un élément de lensemble des ordinaux et strictement plus grand que tous les ordinaux contenus dans cet ensemble

37 Le paradoxe de Russell La fonction (le concept) pourrait très bien sappliquer à elle-même comme objet, on peut envisager un concept nouveau qui serait le concept « ne pas sappliquer à soi- même » lextension de ce nouveau concept serait ^ = { ; ( )} = { ; ( )} NB : Russell : 1872 – 1970

38 Le paradoxe Est-ce que ce concept sapplique à lui- même?

39 oui? Alors ( ), donc ^, donc : ( ), Donc NON!

40 non? Alors ( ), donc ^, donc : ( ), Donc OUI!

41 Comment sen sortir? ? ….faut-il sen sortir?