MATHEMATIQUES ~ Les programmes 2007

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1 MATHEMATIQUES ~ Les programmes 2007
« La résolution de problèmes » dans les Programmes et Le socle commun de connaissances et de compétences MATHEMATIQUES ~ Les programmes 2007

2 Deux natures / Deux fonctions
Le « SOCLE commun » Une « grille de référence » situant les compétences de base, celles qui permettent aux élèves de bénéficier des apprentissages nouveaux du cycle suivant. Des capacités intermédiaires Des indications sur les activités support de l’évaluation Les PROGRAMMES …ambitieux… Cette ambition justifie la complexité. On ne doit pas renoncer à cet enjeu majeur à la base du processus d’enseignement. De fortes incidences sur les principes de « l’évaluation » MATHEMATIQUES ~ Les programmes 2007

3 Le socle commun de connaissances et de compétences
Maîtriser le socle commun, c'est être capable de mobiliser ses acquis dans des tâches et des situations complexes à l'Ecole puis dans la vie ; c'est posséder les moyens de continuer à se former tout au long de la vie… …C'est pourquoi, en utilisant la terminologie européenne, chaque compétence se définit comme une combinaison de connaissances fondamentales pour notre temps et de capacités à les mettre en œuvre dans des situations concrètes, mais aussi d'attitudes. MATHEMATIQUES ~ Les programmes 2007

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Connaissances Il est nécessaire de créer aussi tôt que possible des automatismes en calcul… indispensable d’apprendre à démontrer et à raisonner Il faut aussi comprendre des concepts et des techniques et les mémoriser afin d’être en mesure de les utiliser. Les différents champs : Nombres et calcul Gestion de données Géométrie Grandeurs et mesures MATHEMATIQUES ~ Les programmes 2007

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Capacités A la sortie de l’école obligatoire l’élève doit être en mesure d’appliquer les principes et processus mathématiques de base dans la vie quotidienne, dans sa vie privée dans le travail. Parmi elles de modéliser, de raisonner, de pratiquer la déduction de communiquer à l’écrit comme à l’oral d’effectuer (calcul mental, opérations…) d’utiliser des outils de saisir quand une situation de la vie courante se prête à un traitement mathématique, l’analyser en posant les données puis en émettant des hypothèses … MATHEMATIQUES ~ Les programmes 2007

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Attitudes L’étude des mathématiques permet aux élèves d’appréhender l’existence des lois logiques et développe: Les attitudes de rigueur, de précision Les attitudes de respect de la vérité Goût du raisonnement sur des arguments dont la validité est à prouver MATHEMATIQUES ~ Les programmes 2007

7 Programmes 2007 préambule 3 - La réussite de tous
Ces évaluations sont des instruments qui aident les maîtres à assurer la réussite de tous leurs élèves. Elles visent non à classer les élèves, ni a fortiori à enfermer les plus fragiles dans leur échec, mais à permettre à l'enseignant de repérer les acquis de chacun, particulièrement ceux qui correspondent aux attentes du socle commun, à analyser les difficultés éventuelles et à mettre en place les stratégies qui permettent à l'élève de surmonter les difficultés observées. MATHEMATIQUES ~ Les programmes 2007

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Sixième: Introduction commune à l'ensemble des disciplines scientifiques : « L'évaluation est un outil indispensable au professeur dans la conduite de son enseignement, à différents moments de son apprentissage.... ...Le repérage des acquis, des difficultés et des obstacles permet d'adapter les supports et les modalités de l'enseignement... » Dans les programmes de mathématiques, des précisions sont apportées : « L'évaluation (qui ne se réduit pas au contrôle noté) n'est pas un à-côté des apprentissages. Elle doit y être intégrée et en être l'instrument de régulation... » L'évaluation comme repère des apprentissages Vérifier les acquis fait partie intégrante de l'action pédagogique. L'évaluation est un outil indispensable au professeur dans la conduite de son enseignement, à différents moments de son apprentissage. En début, comme en cours d'apprentissage, le repérage des acquis, des difficultés et des obstacles permet d'adapter les supports et les modalités de l'enseignement. Le bilan terminal permet de mesurer la maitrise qu'a chaque élève des savoirs et des savoir-faire visés, et si nécessaire, d'envisager des activités de remédiation. MATHEMATIQUES ~ Les programmes 2007

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Evaluation… Dans l’introduction du « socle commun » la référence au cadre européen et international est explicite : La définition du socle commun des connaissances et compétences prend appui sur la proposition de recommandation du parlement européen et du Conseil de l’UE en matière de "compétences-clés pour l’éducation et l’apprentissage tout au long de la vie". Elle se réfère aux évaluations internationales, notamment PISA… MATHEMATIQUES ~ Les programmes 2007

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Evaluation PISA (2000) Estimez l’aire de l’Antarctique en utilisant l’échelle de la carte. MATHEMATIQUES ~ Les programmes 2007

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PISA ~ 2003 Lors d’une émission télévisée, un journaliste montre ce graphique et dit : « Ce graphique montre qu’il y a eu une très forte augmentation du nombre de cambriolages entre 1998 et » Considérez-vous que l’affirmation du journaliste est une interprétation correcte? Justifiez votre réponse par une explication. MATHEMATIQUES ~ Les programmes 2007

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Commentaire sur PISA … les résultats montrent des faiblesses inquiétantes dans le domaine de l’autonomie, de la prise d’initiative, des capacités de réinvestissement des connaissances apprises dans le traitement de situations signifiantes… A. Bodin, bulletin APMEP, février 2002 MATHEMATIQUES ~ Les programmes 2007

13 Evolution des salaires
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14 Résultats du premier tour
Présidentielles 2001 : Sondages premier tour [document WIKIPEDIA] Chirac   Le Pen    Jospin  10-11 avril - CSA 21 % 12 % 19 % 10-13 avril - BVA 18,5 % 14 % 18 % 11-12 avril - Ifop 9,5 % 17 % 13 avril - Ifop 20 % 13 % 13-15 avril - Nouvel Observateur/Sofres 17-18 avril - CSA 19,5 % 17-18 avril - Ipsos 17-18 avril - LCI/Sofres 12,5 % 21 avril - Sondage confidentiel 13,5 % Résultats du premier tour 19,9 % 16,9 % 16,2 % MATHEMATIQUES ~ Les programmes 2007

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PISA… La Culture mathématique : C’est « l’aptitude d’un individu à identifier et comprendre le rôle des mathématiques dans le monde, à porter des jugements fondés à leur propos et à s’engager dans des activités mathématiques en fonction des exigences de sa vie en tant que citoyen constructif, impliqué et réfléchi » MATHEMATIQUES ~ Les programmes 2007

16 Quelle évaluation à l’école ?
La dialectique outil / objet : Les pratiques « dominantes » des enseignants évaluent les connaissances mathématiques (1er et 2nd degrés): on vérifie que l’élève connaît les objets étudiés… N’y aurait-il pas un travail à développer sur la conception d’évaluations où l’élève est invité à utiliser ces objets comme des outils maîtrisés pour fonder un avis, une interprétation… MATHEMATIQUES ~ Les programmes 2007

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Une proposition … Laurence envoie des cartes postales à ses amies. Elle choisit 5 cartes. Chacune coûte 0,80€. Puis elle prend 3 cartes à 1,30€ l’une et 4 cartes à 1,25€ l’une. Chaque carte doit être affranchie à 0,54€. Elle paie avec un billet de 50€. On lui rend 30,52€. Laurence a-t-elle effectué un autre achat ? MATHEMATIQUES ~ Les programmes 2007

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CULTURE MATHEMATIQUE Outils pour le citoyen Outils pour les autres disciplines Maths comme science - des quantités, - de l’espace et des formes, - des grandeurs Repères historiques Mathématiques - comme pratique - avec une relation particulière au vrai et au faux La culture mathématique, c’est aussi… Celle de l’explication Celle de la justification Celle de la preuve MATHEMATIQUES ~ Les programmes 2007

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23 PISA : La culture mathématique a été découpée en quatre champs
- ESPACE ET FORMES - VARIATIONS ET RELATIONS - QUANTITE - INCERTITUDE Ne recouvrent pas entièrement les contenus enseignés en France (algèbre, calcul, raisonnement géométrique… théorèmes… 40% de notre enseignement ! ) Notions peu, voire pas connues des élèves français avant 16 ans ENJEU : « Aider à la prise de décision » MATHEMATIQUES ~ Les programmes 2007

24 Une interro… (petite mise en situation…)
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25 Ce passage doit être enseigné et évalué.
Savoir mobilisable Savoir disponible Des connaissances Des compétences Ce passage doit être enseigné et évalué. MATHEMATIQUES ~ Les programmes 2007

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3 - Les principaux éléments de mathématiques et la culture scientifique et technologique Principaux éléments de mathématiques Dans chacun des domaines que sont le calcul, la géométrie, la gestion des données, les mathématiques fournissent des outils pour agir, choisir et décider dans la vie quotidienne. La maîtrise des principaux éléments de mathématiques s’acquiert et s’exerce essentiellement par la résolution de problèmes, notamment à partir de situations proches de la réalité. MATHEMATIQUES ~ Les programmes 2007

27 Programmes : l’école maternelle… « découvrir le monde »
En jouant, en poussant toujours plus loin ses expériences est ses tâtonnements, … Il observe, manipule, cherche comment utiliser un objet un instrument. Il s’interroge. Il identifie les réalités, les représente, les nomme. Il distingue les qualités des objets, des collections qu’il compare, classe, range, dénombre… L’investigation n’est pas conduite pour elle-même.. Il devient peu à peu capable de formuler des interrogations plus rationnelles (2)… Il se confronte à la pensée logique… constate qu’on peut relier la cause et l’effet Comme dans les autres cycles de l’école, la démarche s’articule autour d’un questionnement guidé par le maître et conduit à des investigations menées par les élèves. MATHEMATIQUES ~ Les programmes 2007

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MATHEMATIQUES Programmes objectifs – cycle 2 Elaborées comme réponses efficaces à des problèmes, les premières notions mathématiques sont identifiées puis étudiées dans le but d'être utilisables pour résoudre de nouveaux problèmes. – cycle 3 L‘élaboration des connaissances se réalise au travers de la résolution de problèmes… les situations sur lesquelles portent les problèmes peuvent être issues de la vie de la classe, de la vie courante, de jeux... MATHEMATIQUES ~ Les programmes 2007

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Cycle objectifs . Les exercices sur fiches ne doivent pas se substituer à ce travail primordial avec du matériel … garder à l’esprit que ce n’est pas la manipulation elle-même qui constitue l’activité mathématique, mais les questions… l’activité intellectuelle à développer lorsque le matériel n’est plus disponible . « les capacités à chercher, abstraire, raisonner expliquer aussi bien en travail individuel et petits groupes que dans les phases d’échanges et de confrontation… USAGE PRIVILEGIE DE LA LANGUE ORALE : les mots précèdent les symboles . La mise en place d’un langage élaboré et du symbolisme conventionnel doivent être réalisés avec prudence, lorsqu’il prend sens pour les élèves… MATHEMATIQUES ~ Les programmes 2007

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Evaluation 6e Xavier range les 50 photos de ses dernières vacances dans un classeur. Chaque page contient 6 photos. a) Combien y aura-t-il de pages complètes ? b) Combien y a-t-il de photos sur la page incomplète ? Il y a ……… pages complètes % Il y a ……… photos sur la page incomplète % MATHEMATIQUES ~ Les programmes 2007

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Procédures possibles Schématisation des pages et des photos Dénombrement (GS / CP) Addition de 8 en 8 Addition (CP / CE1) Encadrement par deux multiples de 8 Table de multiplication (CE2) Division par 8 Division (CM1) MATHEMATIQUES ~ Les programmes 2007

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Extrait Cap maths CE1 MATHEMATIQUES ~ Les programmes 2007

33 Cinq catégories de solutions
                                                            A                                    B = = 60 = 35 C 2 5 + . . 6 0 E 60 – 25 = 35 D MATHEMATIQUES ~ Les programmes 2007

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Une hypothèse Pourquoi des élèves qui disposent de l’une ou l’autre des connaissances permettant de résoudre ce problème… ne pensent-ils pas… n’osent-ils pas… ne se croient-ils pas autorisés… … (à) les utiliser pour répondre à la question? MATHEMATIQUES ~ Les programmes 2007

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Hypothèse… au cycle 3 : Peut-être parce que la majorité des élèves cherche L’OPERATION, LA formule « magique » experte. N’étant pas expert en division, il ne s’autorise pas à… Au cycle 1 : C’est l’EXPERIENCE qui est au centre de la logique pédagogique À partir du cycle 2 : L’ENTRAÎNEMENT et l’AUTOMATISATION prennent une part déterminante dans les apprentissages = l’apprentissage des solutions expertes… MATHEMATIQUES ~ Les programmes 2007

36 De la reconstruction à la mémorisation…
« …nos résultats montrent clairement que des activités systématiques qui génèrent des automatismes en orthographe et en calcul mental, sont nécessaires. Le fait que les élèves puissent mobiliser ces mécanismes et les rendre automatiques constitue certainement une aide majeure pour la réalisation de tâches variées de natures diverses. » IREDU MATHEMATIQUES ~ Les programmes 2007

37 Le problème : une notion brouillée !
- La résolution de problèmes : . activité centrale ou spécifique ? . mathématique ou transversale ? « La résolution de problème… évalue la capacité des élèves, à partir d’une situation concrète, à prendre en compte les contraintes spécifiques, à trier et organiser les données de façon logique en vue de résoudre un problème ne relevant pas d’une discipline particulière » Un lexique inadapté : « les problèmes pour chercher » Apprendre à trouver ou apprendre à chercher? - Chercher parmi les solutions expertes déjà éprouvées - Chercher, bricoler une solution nouvelle, originale, personnelle, comme le chercheur (Procédures personnelles / procédures expertes) Pédagogie du problème / pédagogie de l’exercice MATHEMATIQUES ~ Les programmes 2007

38 Démarches pédagogiques : des malentendus!?
Pilotage de la séance : guidage fort / guidage faible (doc. d’acc des programmes: « lire et écrire au cycle 3 ») Séance de recherche : (doc. d’acc des programmes: « Mathématiques » § « des problèmes pour chercher ») « Le maître n’apporte aucune aide à la résolution de problème, ce qui ne veut pas dire qu’il est totalement absent …(il circule, observe, relève les erreurs)… il regarde l’élève en train de chercher, au plus près de son travail, sans le gêner, dans une attitude de repérage d’erreur éventuelle qui appelle alors un dialogue silencieux… Cette interaction ménage un éventuel temps pendant lequel l’élève sèche (sécher fait totalement partie de la culture mathématique et même du plaisir ultérieur de la découverte). Il y a un équilibre subtil à trouver entre l’intervention auprès de l’élève et le respect du temps de recherche. » MATHEMATIQUES ~ Les programmes 2007

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On doit passer par une phase de recherche solitaire Il faut « faire penser tout haut » : développer l’expression orale Le travail en groupe reste souvent confus et peu efficace (le but, la tâche) : « c’est touffu, c’est flou.. »… Différencier « mise en commun » (Exploitation de l’erreur!) et « correction » Ne jamais oublier que la « procédure experte » est l’objectif de la séquence Ne pas négliger la « synthèse » le « résumé » MATHEMATIQUES ~ Les programmes 2007

40 Diversité / différenciation / automatisation
Limiter les références possibles à des indices « extérieurs » au problème. Ne pas lier systématiquement les problèmes aux apprentissages en cours Eviter les aides « de surface » Favoriser la diversité Exploiter la diversité Pour aider au progrès des élèves … ne pas négliger l’entraînement (différencié) Différencier la « traces » (recherche) de l’écriture formelle (écrit à communiquer) … « automatiser » des procédures MATHEMATIQUES ~ Les programmes 2007

41 Un énoncé ne fait pas le problème…
Une ébauche de nouvelle classification: Tout énoncé écrit suivi d’une question n’est pas un problème Tout problème n’est pas nécessairement formulé sous cette forme Ne pas confondre apprendre à chercher et apprendre à lire un énoncé Place des problèmes de la vie courante Problèmes à une opération Problèmes avec étapes intermédiaires explicites Problèmes avec étapes intermédiaires trouvées par les élèves Problèmes plus complexes MATHEMATIQUES ~ Les programmes 2007

42 La culture mathématique, c’est aussi…
Le réflexe de la vérification, la recherche de la preuve Le débat et échange pour la justification, l’oral Celle de l’explication orale et écrite Celle de la validation MATHEMATIQUES ~ Les programmes 2007

43 « Développer toutes les compétences à travers le calcul réfléchi »
CP / CE1 « Développer toutes les compétences à travers le calcul réfléchi » Importance de l’oral et du calcul mental Mémorisation progressive de résultats Techniques opératoires (+ - x) calculatrice GS Préparer le calcul Résoudre des problèmes… … sans calcul explicite … sans traduction symbolique (écrit) MATHEMATIQUES ~ Les programmes 2007

44 Pourquoi 7 + 6 est-il égal à 13 ? ou le pourquoi du comment ?
 Parce que (du côté des référents)…              A 13 est le 6e nombre après 7 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15  Parce que (du côté des connaissances mathématiques)…  c’est 1 de plus que qui est égal à 12  c’est 10 et encore 3, c’est 13 C MATHEMATIQUES ~ Les programmes 2007

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Calcul Calcul mental … du calcul "reconstruit" au calcul "reproduit" (calcul sur des mots) : Calcul réfléchi Calcul automatisé Des repères (doubles, complément à 10) Calcul « direct » : les tables Calcul « dérivé » … puis des résultats mémorisés au calcul réfléchi Calcul en ligne / calcul posé (logique de cycle et inter-cycles) Addition Soustraction multiplication par 2 et 5 Calcul instrumenté connaître l’outil, alléger la charge, explorer… MATHEMATIQUES ~ Les programmes 2007

46 15 minutes de calcul mental au quotidien ???
Trois dimensions : Enseigner le calcul Mental (des repères, les doubles, les compléments à dix, les tables…) → automatiser des résultats Réfléchi (ce sont des problèmes à résoudre) → automatiser des procédures Comment l’élève apprend… … quand, où… supports, activité de l’apprenant… Interroger MATHEMATIQUES ~ Les programmes 2007

47 4 - Espace et géométrie voir « Mathématiques – école primaire » 66
« Espace » est nouveau par rapport au précédents programmes → Nécessité de travailler dans l’espace « ordinaire » pour des développer les « compétences spatiales » …leur apprentissage n’est pas terminé à l’entrée à l’école élémentaire Passage des objets aux figures, tracés… (la géométrie) MATHEMATIQUES ~ Les programmes 2007

48 La géométrie de l'école au collège
C1 et C2 Géométrie de la perception Boîte à outils géométrique : l’œil Est vrai ce que je vois Fin C2 et C3 Géométrie instrumentée Boîte à outils géométrique : instruments Sont vraies les propriétés que je contrôle à l’aide des instruments Collège Géométrie déductive Boîte à outils géométrique : théorèmes Est vrai ce que je démontre MATHEMATIQUES ~ Les programmes 2007

49 Cycle 2 : du domaine spatial au domaine géométrique
Structuration de l’espace (objet caché, déplacement en utilisant un plan) Observer, situer, guider, communiquer Approche des formes géométriques Comparer, reproduire, construire, identifier, décrire des objets géométriques Habiletés dans l’utilisation d’instruments divers de tracé (objet d’un entraînement) MATHEMATIQUES ~ Les programmes 2007

50 MATHEMATIQUES ~ Les programmes 2007
5 - Grandeurs et mesure Les grandeurs avant leur mesure… Les différentes « grandeurs » d’un objet (une contenance, une masse, une surface, des longueurs, durée) Construire le sens de la grandeur: comparaisons directes / indirectes (validation par l’expérience) Le vocabulaire : hauteur d’un arbre, taille d’un enfant, tour de taille ou de cou, pointure, distance, largeur, épaisseur – plus tard périmètre circonférence – sont des mots qui se réfèrent au même concept de « LONGUEUR » MATHEMATIQUES ~ Les programmes 2007

51 MATHEMATIQUES ~ Les programmes 2007
Les grandeurs avant leur mesure… Le choix des instruments (inventés puis usuels) Les unités usuelles Les « tableaux de conversion » ? Les relations entre cm et m / g et kg / h et min MATHEMATIQUES ~ Les programmes 2007