Autour des nombres en première L(option) et en terminale L (spécialité) Marie-Françoise BOURDEAU Jeanne-Marie DUMAS.

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1 Autour des nombres en première L(option) et en terminale L (spécialité)
Marie-Françoise BOURDEAU Jeanne-Marie DUMAS

2 Écritures des nombres Arithmétique Dénombrement

3 Écritures des nombres Écritures des entiers naturels
Écriture décimale des réels

4 Écritures des entiers naturels ( en 1ère L)

5 Repères chronologiques
de 3000 à 2900 av. J-C. Apparition de la numération hiéroglyphique en Egypte 1900 à 1600 av. J-C. Premier système de numération de position chez les babyloniens (base 60 ) IIIe siècle av. J-C. Invention du zéro par les Babyloniens IVe/Ve siècle. Numération de position à base dix et apparition du zéro en Inde IXe siècle. Introduction du zéro en Espagne par les arabes XIIe siècle. Introduction du zéro en Europe occidentale. Les chiffres arabes s’y stabilisent graphiquement pour donner naissance à la forme qu'ils ont actuellement

6 Les deux grands types de numération
La numération de type additif (numération égyptienne, romaine...) La numération de position

7 La numération égyptienne
Le système hiéroglyphique. Système additif non positionnel de base 10

8 Multiplication égyptienne
Le principe de base est la duplication 19 X 23 = ( ) X 23 1 (1) 23 2 (1) 46 + 46 4 (0) 92 8 (0) 184 16 (1) 368 + 368 = 437

9 Multiplication égyptienne variante
12  12 12 1 6 2 24 3  4 48 1  8 96 144 12  12 = 6  24 = 3  48 = (2 + 1)  48 =

10 Numération romaine 7 symboles une barre pour multiplier par mille
Formation des nombres Par addition III VI XXVIIII Par soustraction IV IX CM

11 720  62

12 Système décimal et autres bases
Le système décimal fait appel à deux principes fondamentaux que l'on retrouve dans toutes les bases de calcul. Le premier principe fondamental est le principe de position Le deuxième principe fondamental est le principe du zéro.

13 Numération à base quelconque

14 Pour écrire un nombre N en base b, on calcule le quotient q et le reste r de la division euclidienne de N par b puis le quotient et le reste de la division euclidienne de q par b, etc Disposition pratique (475)base10 s’écrit (1246)base 7

15 Algorithme du passage de la base 10 à la base b (b < 10)

16 Pour une base b inférieure à 10 et N entier compris entre 0 et 2 ^41
Avec un tableur Pour une base b inférieure à 10 et N entier compris entre 0 et 2 ^41

17 La base 10 a été adoptée quasi universellement.
Mais il reste néanmoins des exemples historiques et des traces d'utilisation d'autres bases.... base 5 base 12 base 20 base 60 Les bases 2, 8, 16 sont utilisées en informatique

18 Écriture décimale des nombres réels (en Terminale)
Écriture décimale d’un quotient d’entiers Caractérisation d’un nombre rationnel

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20 Écriture décimale d’un réel positif

21 Écriture décimale d’un quotient d’entiers naturels
Elle est obtenue à l’aide d’un algorithme utilisant des divisions euclidiennes successives (voir fichier quotient.doc) Un tableur apporte ensuite le calcul des décimales successives (voir fichier decimales.xls)

22 Périodicité de l’écriture décimale d’un quotient d’entiers

23 Réciproquement : Un nombre dont le développement décimal est périodique à partir d’un certain rang est celui d’un quotient de deux entiers (voir fichier fraction.doc)

24 Les nombres rationnels sont les nombres dont le développement décimal est périodique à partir d’un certain rang Les nombres irrationnels sont les nombres dont le développement décimal n’est pas périodique à partir d’un certain rang

25 Arithmétique en première
Nombres premiers Recherche des diviseurs d’un naturel Diviseurs communs à deux naturels

26 Application : Crible d’Ératosthène
THEOREMES Tout entier naturel supérieur ou égal à 2 admet au moins un diviseur premier. Tout entier naturel composé admet au moins un diviseur premier inférieur ou égal à sa racine carrée. Tout nombre naturel qui n’admet pas de diviseur premier inférieur ou égal à sa racine carrée est un nombre premier Application : Crible d’Ératosthène

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30 PGDD(a;b) C’est le dernier reste non nul dans
(voir fichier euclide.xls)

31 Arithmétique en terminale
Initiation au raisonnement par récurrence Division euclidienne dans N Multiples d’un naturel dans Z Congruence dans Z compatibilité avec les opérations applications aux clés de contrôle critères de divisibilité par 3, 4, 9, 11.

32 Le raisonnement par récurrence

33 Congruence et division euclidienne
Soient a et b deux relatifs et n un naturel. Il est équivalent de dire: a est congru à b modulo n a et b ont le même reste dans la division euclidienne par n

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35 Dénombrement Le triangle de Pascal. Une approche possible :
1 2 3 K L 4 6 10 Une approche possible : Les chemins sur quadrillage.

36 Triangle de Pascal 1 2 3 4 6 5 10 1 2 3 6 10 4 5

37 Lien entre le nombre de parties d’un ensemble et le nombre de chemins sur un quadrillage
E = {a ; b ; c ; d ; e} Le chemin jaune allant de O à R est associé au sous-ensemble {a ; c ; d}. O R A chaque chemin composé de 5 déplacements, dont trois horizontaux, on associe un unique sous-ensemble de E à trois éléments et réciproquement.

38 On note le nombre de parties à p éléments d’un ensemble à n éléments. C’est aussi le nombre de chemins allant de O à M(p; n – p)

39 Propriétés des combinaisons et chemins sur quadrillage
V T p n - p Pour arriver en V en partant de O, il faut être en U ou en T à l’étape précédente. Le nombre de chemins allant de O à V est donc la somme des chemins allant de O à T et des chemins allant de O à U

40 Propriétés des combinaisons et chemins sur quadrillage
Il y a autant de chemins allant de O vers A’ que de chemins allant de O vers B’ donc O A’ B’ On peut étendre cette propriété à un trajet composé de n déplacements dont p déplacements vers le haut

41 Formule du binôme et chemins sur quadrillage
3ab² b² ab + ba b  b a a²  a O (a + b)3 = aaa+aab+aba+baa+bba+bab+abb+bbb

42 Calcul des Seule l’utilisation de la formule
pour des valeurs numériques données de p est exigible, l’expression à l’aide des factorielles ne l’est pas. Cette formule peut résulter de la relation

43 Nombre de sous-ensembles d’un ensemble
Outre l’utilisation de la formule du binôme, on peut également exploiter le texte de Pascal sur le triangle arithmétique. Le raisonnement de Pascal est le suivant Partant de la propriété Il en déduit que la somme des coefficients d’une même ligne est le double de la somme des coefficients de la ligne précédente et achève sa démonstration par un raisonnement par récurrence.