Méthode dEuler… … utilisée en physique pour tracer une courbe qui sapproche de la courbe théorique.

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1 Méthode dEuler… … utilisée en physique pour tracer une courbe qui sapproche de la courbe théorique

2 Il sagit de tracer la courbe G = f(t) où G est une grandeur qui peut être : soit la vitesse v dun solide soit la tension u C aux bornes dun condensateur soit lactivité A dun échantillon radioactif t A uCuC v

3 Cette courbe est tracée pas à pas, cest-à- dire que, partant de G 0 à la date t 0 … il faut calculer G 1 à partir de G 0 … puis G 2 à partir de G 1 puis G 3 à partir de G 2 et etc … t G G0G0 t0t0 G1G1 G2G2 G3G3

4 t G G0G0 t0t0 G1G1 G2G2 G3G3 G 0 est la valeur de la grandeur à la date t 0 G 1 est la valeur de la grandeur à la date t 1 avec t 1 = t 0 + Δ t t1t1 Δ t et G 1 = G 0 + ΔG 0 Δ G 0 et G 2 = G 1 + ΔG 1 avec t 2 = t 1 + Δ t G 2 est la valeur de la grandeur à la date t 2 t2t2 Δ t Δ G 1 Δt est le pas et ne varie pas ΔG est laccroissement de la grandeur G entre deux dates, ΔG varie… Δ G 2 Δ t

5 t G GiGi G i+1 Comment calculer ΔG à chaque instant : t 1 puis t 2 …? … en utilisant léquation différentielle qui est de la forme : G(t) = dG/dt = a. G + b Cest là que le physicien fait une approximation, et écrit que, si Δt est un intervalle de temps suffisamment petit : ΔGΔG ΔtΔt dG dt = a. G + b et donc ΔG = ( a.G + b) Δt Δ t Δ G

6 Ce qui donne finalement : ΔG 0 = ( a G 0 + b) Δt et donc G 1 = G 0 + ΔG 0 puis ΔG 1 = ( a G 1 + b) Δt et donc G 2 = G 1 + ΔG 1 puis ΔG 2 = ( a G 2 + b) Δt G0G0 G 3 = ….. Cest une méthode itérative ! Il faut connaître la valeur initiale G 0 Il faut fixer un pas Δt assez petit Les valeurs de a et b sont fournies dans léquation différentielle

7 Reprenons lensemble sous forme de tableau : ΔtΔtΔtΔt et etc… Date Valeur de G ΔG = ( a.G + b ). Δt t0t0t0t0 G0G0G0G0 ΔG 0 = ( a.G 0 + b ). Δt t1t1t1t1 G 1 = G 0 + ΔG 0 ΔG 1 = ( a.G 1 + b ). Δt t2t2t2t2 G 2 = G 1 + ΔG 1 ΔG 2 = ( a.G 2 + b ). Δt t3t3t3t3 G 3 = G 2 + ΔG 2 ΔG 3 = ( a.G 3 + b ). Δt ΔtΔt Je calcule G 0 On calcule ΔG 0 On part de G 0 On calcule G 1 … …puis ΔG 1 On calcule G 2 … …puis ΔG 2 après avoir fixé le pas Δt … On calcule G 3 …

8 Reste à appliquer cette méthode pour tracer : t A ou N t uCuC t v Décroissance radioactive : dN/dt = - λ N ( dA/dt = - λ A ) Charge dun condensateur : du C /dt = - u C /RC + E/ RC Vitesse limite de chute : dv/dt = a v + b Équation différentielle : Valeur initiale Report des points après calcul

9 A vous dappliquer la méthode dEuler Les anabacs regorgent dexemples Bon courage !