Lagrange à petits points Cinq points à la Lune. 2009/02/17Points de Lagrange2 Historique Dans la mécanique classique, le mouvement de deux corps est parfaitement.

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1 Lagrange à petits points Cinq points à la Lune

2 2009/02/17Points de Lagrange2 Historique Dans la mécanique classique, le mouvement de deux corps est parfaitement décrit par les lois de Képler. Le problème suivant est celui des trois corps. Newton n’est pas arrivé à le résoudre Les trajectoires sont des coniques dont tous les éléments sont connus. Johannes Kepler (1571-1630) Newton Isaac (1643-1727)

3 2009/02/17Points de Lagrange3 Historique Lagrange montre que le corps le plus massif doit être 25 fois plus lourds que l’autre. Essai sur le problème des trois corps. En 1772 Euler et Lagrange se partagent le prix de l’Académie des sciences sur le problème des 3 corps Léonhard Euler a découvert les points de stabilité appelés L1, L2 et L3 dans le système Terre-Lune. Lagrange fait une analyse plus complète avec L4 and L5 "Oeuvres / Joseph Louis de Lagrange. 6, page 229-331 http://gallica.bnf.fr/Metacata.htm Ils trouvent qu'il existe des positions pour un petit corps, où la résultante des forces est nulle. Leonhard Euler 1707-1783 Joseph-Louis Lagrange 1736 -1813

4 2009/02/17Points de Lagrange4

5 2009/02/17Points de Lagrange5 Multiplicateur de Lagrange Théorème de Lagrange Théorème d'inversion de Lagrange Équations de Lagrange Équation différentielle de Lagrange Théorème des quatre carrés de Lagrange Points de Lagrange Formule de Taylor-Lagrange Interpolation lagrangienne Dérivation lagrangienne Souvenirs d’études Historique Joseph Louis, comte de Lagrange (1736 -1813) Mathématicien. Passe 30 ans dans le Piémont, 21 ans à Berlin et le reste à Paris. Célèbre pour : Mécanique analytique, Mécanique céleste, analyse mathématiques, Théorie des nombres

6 2009/02/17Points de Lagrange6 Champ gravitationnel Champ : espace dans lequel l’action d’un système se fait sentir. Champ gravitationnel dû à la présence d'une masse M pouvant exercer une influence gravitationnelle sur tout autre corps présent Il est représenté par un scalaire « potentiel gravitationnel », potentiel newtonien. Pour une masse m, dans le champ, l’énergie de liaison due à la M est l’énergie potentielle La force subie est : Le potentiel défini par une dérivé est défini à une constante près. Choix : constante nulle = énergie à l’infini nulle (pas de liaison). Les courbes où le potentiel a même valeur s’appellent courbes d’iso potentiel

7 2009/02/17Points de Lagrange7 Les points de Lagrange Un point de Lagrange (noté Li), est une position de l'espace où les champs de gravité de deux corps en orbite l'un autour de l'autre, se combinent de manière à fournir un point d'équilibre à un troisième corps de masse négligeable, tel que les positions relatives des trois corps soient fixes. Attraction gravitationnelle des corps La force centrifuge (inertie rotation) Force de Coriolis. Forces agissantes Une faible masse située exactement en ces points n'en bouge plus. Ce sont les cinq points de Lagrange.

8 2009/02/17Points de Lagrange8 Les points de Lagrange Potentiel gravitationnel : Les 5 points de Lagrange : extrema du potentiel gravitationnel d'un système à 2 corps La 3ème loi de Kepler relie la rotation à la distance Un peu plus mathématique S G T a r1r1 r r2r2 m m1m1 m2m2 Pulsation :

9 2009/02/17Points de Lagrange9 Les points L1, L2 et L3 Plus on rapproche l'objet de la Terre, plus cet effet est important. L1 : sur la ligne définie par les deux masses, entre celles-ci. Soit un objet orbitant autour du Soleil, plus près de celui-ci que la Terre mais sur une même ligne. Il subit une gravité solaire supérieure à celle de la Terre, et tourne donc plus rapidement autour du Soleil que ne le fait la Terre. La gravité terrestre contrecarre en partie celle du Soleil, ce qui le ralentit. À un certain point, L1, la vitesse angulaire de l'objet égale celle de la Terre.

10 2009/02/17Points de Lagrange10 L2 : sur la ligne définie par les deux masses, au-delà de la plus petite. Les points L1, L2 et L3 Idem que L1, mais de l'autre côté de la Terre. L'objet devrait tourner moins vite que la Terre, la gravité solaire y est moindre, le champ gravitationnel supplémentaire dû à la Terre tend à l'accélérer. Au point L2, l'objet tourne exactement à la même vitesse angulaire que la Terre autour du Soleil.

11 2009/02/17Points de Lagrange11 L3 : sur la ligne définie par les deux masses, au-delà de la plus grande. Ce point n’est pas intéressant car l’influence de la Terre y est très faible et recouverte par les perturbations des autres planètes. Les points L1, L2 et L3 Il est aussi caché par le Soleil

12 2009/02/17Points de Lagrange12 L4 et L5 ne dépendent pas des masses relatives des deux autres corps. Les points L4 et L5 L4 et L5 : sur les sommets des deux triangles équilatéraux dont la base est formée par les deux masses. L4 est en avance sur la plus petite des masses L5 est en retard

13 2009/02/17Points de Lagrange13 La stabilité est obtenue par les forces de Coriolis qui agissent sur les objets s'éloignant du point dans le repère mobile. Stabilité L1, L2, L3 Stabilité dans le plan perpendiculaire à la ligne occupée par les deux masses L'équilibre est instable pour tout déplacement dans la ligne des masses. L’objet va orbiter autour du points L4 ou L5. L4 et L5 Stabilité dynamique

14 2009/02/17Points de Lagrange14 Gaspard-Gustave Coriolis 1792-1843 Force de Coriolis (force fictive ou inertielle) n'existe que parce que l'observateur se trouve dans un référentiel en rotation Aucune force ne s'exerce pour un observateur dans un référentiel galiléen (ou référentiel inertiel). 1 - observateur immobile 2 - observateur se déplaçant avec le disque La bille se déplace en ligne droite, pas de force en jeu La bille se déplace le long d'un arc de cercle Pseudo-force pour courber la trajectoire : force de Coriolis perpendiculaire à - l'axe de rotation du référentiel - au vecteur vitesse du mouvement La force de Coriolis Source : wikipédia

15 2009/02/17Points de Lagrange15 Les points de Lagrange – Mythes et réalité Sondes actuelles : Wilkinson Microwave Anisotropy Probe (WMAP) Sondes futures : James Webb Space Telescope (JWST) Télescope spatial Herschel, Planck, Gaia, Terrestrial Planet Finder, Projet spatial Darwin Sondes annulées : Télescope spatial Eddington Terre - Soleil L1 Le point de Lagrange L1 est situé à environ 1 500 000 km de la Terre en direction du Soleil. Anciennes sondes : International Cometary Explorer, Genesis, WIND Sondes actuelles : SoHO, Advanced Composition Explorer Sondes futures : LISA Pathfinder Sondes annulées : Triana L2 Situé à environ 1 500 000 km de la Terre dans la direction opposée au Soleil.

16 2009/02/17Points de Lagrange16 Quelques sondes aux points de Lagrange L1 et L2 Soleil Terre L1 Wilkinson Microwave Anisotropy Probe L2 WMAP Mesure les bosses du fond diffus cosmologique SOHO Observatoire Solaire et Héliospherique Solar and Heliospheric Observatory

17 2009/02/17Points de Lagrange17 Les points de Lagrange – Mythes et réalité L4 et L5 Pas d’objets connus. Terre - Soleil L3 Actuellement, on ne connaît aucun objet situé à cette position. Point de science fiction avec l’Anti Terre. Nuages de Kordylewski (Kazimierz) 1960 L4 et L5 Semble abriter des nuages de poussière. Terre - Lune Vaisseau spatial d’extra terrestres à L4 ?

18 2009/02/17Points de Lagrange18 Les points de Lagrange – Mythes et réalité Mars - Soleil L4 - astéroïde 1999 UJ7 L5 – astéroïde 5261 Eureka découvert par David Levy en 1990. Astéroïde "Troyen" Jupiter - Soleil L4 - Astéroïdes troyens (camp grec) L5 - Astéroïdes troyens (camp troyen) Achille, Patrocle, Hector, Nestor, Priam, Agamemnon, Odyssée… >1690 astéroïdes troyens. Répartition non égale - 696 en L4 "en avance" Grecs - 519 en L5 "en retard". Troyens http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_Trojan_asteroids_(Trojan_camp) http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_Trojan_asteroids_(Greek_camp)

19 2009/02/17Points de Lagrange19 Saturne –Téthys (diam. 530 km) Les points de Lagrange – Mythes et réalité Saturne – Dioné (diam. 560 km) L4 – Hélène (35 km) L5 – Pollux http://www.orbitsimulator.com/gravity/ articles/polydeuces.html L5 - Calypso (30 x 16 km) L4 - Télesto (30 x 15 km)

20 2009/02/17Points de Lagrange20 Calculs simplifiés des points L1 et L2 pour la Terre centre de gravité du Soleil et le centre de gravité du couple Soleil-Terre confondus Soit un corps de masse faible gravite autour d'un autre corps de masse importante selon une orbite circulaire (cas Terre Soleil) Simplification du problème : négliger occasionnellement la masse de la Terre.

21 2009/02/17Points de Lagrange21 Equilibre Soleil Terre G : cte de gravitation universelle D : distance Terre-Soleil en mètres M : masse du Soleil V : vitesse de la Terre en m/s/s m : masse de la Terre Premier terme (A) : force de gravitation ou attraction solaire Second terme (B) : force centrifuge Calculs simplifiés des points L1 et L2 pour la Terre Equilibre est représenté par l'équation suivante (formule simplifiée) : Force d'attraction du Soleil = Force centrifuge terme (A) = terme (B)

22 2009/02/17Points de Lagrange22 Addition d’un petit corps objet de masse modeste placé sur le point de Lagrange L1. Attraction du Soleil = Force centrifuge + Attraction de la Terre Calculs simplifiés des points L1 et L2 pour la Terre Equilibre au point L1

23 2009/02/17Points de Lagrange23 Expression de la force centrifuge La période est celle de la Terre : 3 ème loi de Kepler : Vitesse linéaire Equilibre au point L1 (2) (1) En remplaçant dans (1) 1/P 2 par (2) et en divisant par R = (D-R)

24 2009/02/17Points de Lagrange24 Expression que l’on ne sait pas résoudre analytiquement, mais graphiquement ou Equilibre au point L1 Equation d’équilibre : Transformation en divisant par GM en prenant x = (r/D)

25 2009/02/17Points de Lagrange25 A résoudre sous Géogébra calculs_l1-l2.ggb Equilibre au point L1 1 – tracé f(r)-1 2 – tracé g(r)-1=x 3 – recherche intersection avec un curseur et zoom x = x(P) x1 = 0.00997 r1 = 1 492 000 km m/M = 1/333000 Equation que l’on décompose en deux fonctions Recherche de la solution de Pour simplifier le graphique on soustrait 1 aux deux fonctions

26 2009/02/17Points de Lagrange26 Utilisation de calculs_l1-l2.ggb 1 – lancement de Géogébra version 3.1.173.0 2 - Valider la vision de L1 3 – Faire apparaître f(x) 4 – Faire apparaître g(x) 5 – Faire apparaître la droite verticale mobile avec le point P1 6 – zoomer et déplacer la droite de façon à la mettre sur l’intersection des deux courbes (pour déplacer le point, cliquer dessus et le faire bouger avec les touches flèches  et . 7 – lire son abscisse dans la cellule A2 8 – la convertir en km.

27 2009/02/17Points de Lagrange27 Equilibre au point L2 Attraction du Soleil + Attraction de la Terre = Force centrifuge Ici R = (D+r) La formule devient x2 = 0.01004 r2 = 1 502 000 km

28 2009/02/17Points de Lagrange28 Equilibre au point L4 et L5 La masse du petit corps étant négligeable, le centre de gravité est dur l’axe AB Terre-Lune. - la force centrifuge En raccourci, on voit par intuition qu’un triangle équilatéral ABC donnera un équilibre. Le calcul demande quelques notions de trigonométrie et mécanique Un petit corps en C de masse m’ subit - l’attraction de la Lune - l’attraction de la Terre

29 2009/02/17Points de Lagrange29 Aperçu graphique par Géogébra On se donne à une distance unité - Un point A de masse M (la Terre) - Un point de masse m (la Lune) - leur centre de gravité D Un petit corps de masse m ’ subissant les trois forces. Recherche de la position où la résultante est nulle points_lagrange Equilibre au point L4 et L5

30 2009/02/17Points de Lagrange30 Utilisation de pts_lagrange.ggb 1 – lancement de Géogébra 2 – Remarquer les vecteurs forces agissant sur P Terre : bleu Résultante : rouge 3 – En déplaçant P, les forces changent. 4 – zoomer et déplacer le point P de façon à annuler la résultante. Déplacement du point : - rapide : cliquer sur le point et en tenant appuyé, déplacer la souris - lent : cliquer sur le point et le faire bouger avec les touches flèches  et . 5 – Résultante nulle : quelles valeurs de a, b et r. 6 – faire appraître l’affichage des angles. Quelles valeurs ? Soleil : jaune Rotation : vert

31 2009/02/17Points de Lagrange31 Si l’objet est perturbé, la force non nulle va l’éloigner du point de Lagrange Stabilité Sa vitesse augmente La force de Coriolis se manifeste, il est dévié perpendiculairement à sa vitesse Le corps orbite autour du point de Lagrange Exemple d'orbite autour de L4. Les distances sont données en unité de demi-grand axe. Crédit : Observatoire de Paris/Master OSAE

32 2009/02/17Points de Lagrange32 Cas extrêmes : L’astéroïde 3753 Cruithne – curieux compagnon de la Terre Orbite de 0,48 0 à 1,51 u.a. Appelé aussi 2002 AA29. Il a une orbite en selle de cheval et oscille pratiquement comme un satellite de la Terre. Image de Géographos réalisée par observation radar (taille 5km x 2km) http://fransyl.club.fr/lagrange/cruithne.htm http://www.astro.uwo.ca/~wiegert/3753/3753.html

33 2009/02/17Points de Lagrange33..... Fin des petits points