Licence Sciences Technologie Santé

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Université de Rennes 1 Licence Sciences Technologie Santé L2-PCGI Electromagnétisme Philippe Rabiller 2005 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes

Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes 1 - 2005
Plan du cours ch.1 Introduction ch.2 Vecteurs et champs ch.3 Champ et Potentiel électrostatiques ch.4 Champ Magnétique ch.5 Induction électromagnétique ch.6 Propagation des ondes électromagnétiques ch.7 Rayonnement électromagnétique Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes

Chapitre 5: Induction électromagnétique
5.1 Rotationnel du champ électrique – force électromotrice 5.2 Champ électrique induit en fonction du potentiel vecteur 5.3 Force électromotrice dans un circuit en mouvement 5.4 Inductance mutuelle, self-inductance 5.5 Force exercée sur un circuit 5.6 Energie emmagasinée dans un champ magnétique 5.7 Résumé 5.8 … 5.9 … 5.10 … Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes

5.1 Rotationnel du champ électrique – force électromotrice Reprenons les expressions du champ électrique et du champ magnétique obtenues dans le cadre de notre exploration rapide du monde de la relativité, en généralisant au cas où la charge test q n’est pas forcément dans le plan (x,y) . Dans le repère où les charges sont mobiles q 1 V k Q 2 r i j E = 4peo[g2[(x-V t)2 +y2 +z2]3/2 g Q[(x-V t) i + yj + zk] B = 4p [g2[(x-V t)2 +y2 +z2]3/2 mo g QV [-zj + yk] Nous allons montrer qu’il existe une relation entre le rotationnel du champ électrique et la dérivée par rapport au temps du champ magnétique:  E = - B t Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes

5.1 Rotationnel du champ électrique – force électromotrice [g2[(x-V t)2 +y2 +z2] Pour alléger l’écriture on note [ ] la quantité Calculons en premier lieu le rotationnel de E. -  y z [ ]3/2 z y ( )  E x = ( ) Ez Ey = g Q 4peo ( ) = 0 ( ) ( ) -  z x -V t [ ]3/2 x z  E y = ( ) Ex Ez = g Q 4peo = 3g Q 4peo (x -V t) [ ]5/2 (g2-1) z ( ) ( ) -  x x -V t [ ]3/2 y z  E z = ( ) Ey Ex = g Q 4peo = 3g Q 4peo (x -V t) [ ]5/2 (1 - g2) y Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes

5.1 Rotationnel du champ électrique – force électromotrice = 3g Q 4peo (x -V t) [ ]5/2 (g2-1) [+z j - y k ]  E = Calculons ensuite la dérivée par rapport au temps de B. B t = og Q V 4p -z [ ]3/2  j + y k = og Q V 4p 3g2V (x -V t) [ ]5/2 [ -z j + y k ] = 3g Q 4peo (x -V t) [ ]5/2 [ -z j + y k ] B t g2V 2 c2 Or (g2- 1)/ g2 = (V /c)2  E = - B t Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes

Force électromotrice d’induction Loi d’induction de Faraday
5.1 Rotationnel du champ électrique – force électromotrice Nous pouvons ensuite utiliser le théorème de Stokes pour trouver une équation intégrale équivalente (circuit fermé): Force électromotrice d’induction Loi d’induction de Faraday E·dl  = -  t B·dS  Dimension d’une tension mesurée en volts Variation du flux du champ magnétique S’oppose à la variation du flux du champ magnétique En l’absence de variation de flux comme stipulé par les lois de l’électrostatique sans effet relativiste. E·dl  = 0 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes

5.1 Rotationnel du champ électrique – force électromotrice De nombreux exemples de montages ont été proposés par Faraday au début du XIXème mettant en évidence les phénomènes d’induction. En voici un pédagogique. Un circuit électrique formé d’un premier conducteur en « U » sur lequel un deuxième conducteur rectiligne peut glisser ou rouler est placé dans un champ magnétique homogène. Supposons que le conducteur mobile se déplace à la vitesse u. u I Les électrons de conduction de charge –e vont subir une force de Lorentz parallèle au conducteur et donc générer un courant I F = -e( u B ) udt Par unité de temps le flux magnétique balayé est égale à = l u B  t l B Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes

5.1 Rotationnel du champ électrique – force électromotrice u I F = -e( u B ) B udt l La loi d’induction de Faraday s’écrit donc: E·dl  = -  t B·dS  = - l u B Si le circuit était ouvert (conducteur rectiligne seul), la force exercée tendrait à écarter les charges positives et négatives vers les extrémités du fil. Cette séparation créerait un champ électrique qui s’opposerait à la séparation des charges. C’est précisément la force électromotrice. Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes

5.1 Rotationnel du champ électrique – force électromotrice u I F = -e( u B ) B udt l F = -e( u B ) = -e E Localement on a donc: -  t E·dl  = ( u B ) ·dl Et de façon intégrale: Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes

5.1 Rotationnel du champ électrique – force électromotrice Applications Cours de Physique de Berkley, 2. Electricité et Magnétisme E.M.Purcell. Dynamo Le principe inverse est possible aussi  Moteur Mesure de champ magnétique (Imagerie médicale, disques durs, etc. Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes

5.2 Champ électrique induit en fonction du potentiel vecteur
On peut écrire le champ électrique en fonction du potentiel vecteur pour montrer que le champ électrique ne dérive pas que du seul potentiel électrostatique.  E = - B t B =  A  E + A = 0 Puisque le rotationnel de l’expression entre parenthèses est nul, cette expression doit donc être égale à un gradient (gradient d’un potentiel scalaire, facile à vérifier…). Il s’agit du potentiel électrostatique en présence de champ magnétique. E = V A t Champ magnétique variable Accumulation de charges Dans les deux cas le champ électrique engendré s’oppose au phénomène qui lui donne naissance. Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes

5.3 Force électromotrice dans un circuit en mouvement Soit un système en mouvement, éventuellement déformable, tel qu’un contour fermé C, repérable dans ce système, passe du contour Ca au temps t au contour Cb au temps t+dt. Supposons également que le champ magnétique varie dans l’espace et dans le temps. Cb(t+dt) udt P Ca(t) Soit P un point du contour Ca au temps t qui subit un déplacement udt, où u est la vitesse du point P. La force électromotrice est toujours donnée par le taux de variation du flux magnétique à travers le contour C. Il faut donc calculer la différence entre le flux total du champ magnétique « Bb » à travers Cb au temps t+dt et celui du champ « Ba » à travers Ca au temps t. Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes

5.3 Force électromotrice dans un circuit en mouvement La variation du flux à travers la surface s’appuyant sur le contour fermé C pendant le temps dt est donc donnée par: Cb(t+dt) udt P Ca(t) Nous pouvons utiliser le fait que la divergence du champ magnétique à un instant donné est nulle en tout point de l’espace pour trouver une relation entre les champs « Ba » et « Bb » au temps « t+dt ». Nous chercherons ensuite une relation entre le flux du champ « Ba » aux temps « t » et « t+dt ». Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes

surface latérale, intégration uniquement suivant dl à u fixée.
5.3 Force électromotrice dans un circuit en mouvement Calculons le flux sortant du champ magnétique à travers la surface délimitant le volume V balayé par le contour C entre les temps t et t+dt et écrivons que le résultat est nul ( La divergence de B est nulle, donc le flux à travers une surface fermée aussi). En plus des surfaces s’appuyant sur les contours Ca et Cb, nous devons tenir compte de la surface latérale, dont un élément infinitésimal dS est donné par le produit vectoriel du déplacement du contour udt par un déplacement infinitésimal dl le long du contour Ca. Cb(t+dt) dS = (dl u )dt udt P dl Ca(t) surface s’appuyant Cb surface s’appuyant Ca surface latérale, intégration uniquement suivant dl à u fixée. Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes

5.3 Force électromotrice dans un circuit en mouvement Par le théorème de Stokes, nous pouvons ramener l’intégrale sur le contour fermé Ca à une intégrale de surface sur la surface Sa s’appuyant sur Ca. Pour trouver la relation entre le flux du champ « Ba » aux temps « t » et « t+dt », nous écrivons la différentielle du produit scalaire « B.dS » + En reportant ces relations dans l’expression du taux de variation du flux magnétique dF/dt à travers le contour C entre les instants t et t+dt on aboutit finalement à: Dans la limite où dt tend vers zéro, il n’y a plus de différence entre Sa et Sb. Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes

5.3 Force électromotrice dans un circuit en mouvement On peut à nouveau appliquer le théorème de Stokes pour la circulation du champ électrique: Cette égalité doit être vraie quelque soit le contour et donc la surface s’appuyant sur ce contour. Les quantités sous les intégrales doivent donc être égales: Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes

5.4 Inductance mutuelle, self inductance. Lorsqu’un circuit électrique C1 parcouru par un courant I1 « voit » un autre circuit électrique C2, il produit dans ce deuxième circuit un flux magnétique. Si ce flux magnétique est variable, alors une force électromotrice fem sera induite dans le deuxième circuit. Et si r est la résistance du circuit C2, un courant i = fem / r circulera dans C2. E·dl  = -  t B·dS  C1 I1 C2 Calculons le flux 12 produit par le courant I1 dans le circuit C2en passant par le potentiel vecteur et en utilisant le théorème de Stokes. Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes

5.4 Inductance mutuelle, self inductance. Introduisons maintenant la définition du potentiel vecteur. r C1 I1 C2 dl1 dl2 Ce que l’on peut mettre sous la forme : Inductance mutuelle Fromule de Neumann Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes

5.4 Inductance mutuelle, self inductance. Le produit scalaire étant commutatif, l’inductance mutuelle est indépendante du choix de la numérotation des deux circuits et M12 = M21. La force électromotrice fem2 induite dans le circuit C2 par le courant I1 s’écrit alors: De même la force électromotrice fem1 induite dans le circuit C1 par un courant I2 s’écrirait: Il s’agit là du principe de fonctionnement des transformateurs électriques Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes

5.4 Inductance mutuelle, self inductance. Lorsque le circuit CC2 est le circuit C1 lui même, il est traversé par son propre flux. C I  La force électromotrice induite, qui s’oppose à la variation de courant, s’ajoute aux « tensions » présentes dans le circuit. La quantité L  M11 s’appelle la self-inductance. Elle se mesure, comme l’inductance mutuelle, en « Henry » dans le système international. Une variation de 1 ampère en 1 seconde induit une force électromotrice de 1 volt dans un circuit dont la self-inductance est de 1 Henry. Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes

5.4 Inductance mutuelle, self inductance. Exemple du long solénoïde. l N spires R A l’intérieur du solénoïde, le champ magnétique est quasiment constant et dirigé suivant l’axe du solénoïde. Le flux pour une spire est donné par: Varie ~ N Pour N spires le flux total à travers le solénoïde est N et la self inductance: Varie ~ N2 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes

5.4 Inductance mutuelle, self inductance. Exemple du long solénoïde. l N spires R Si on place à l’intérieur du solénoïde, un deuxième solénoïde de N’ spires, de diamètre voisin du premier et de longueur l’< l, le flux par spire dans le deuxième solénoïde est le même, et le flux total N’ D’où on déduit l’inductance mutuelle: Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes

Le travail élémentaire dépend de deux variables
5.5 Force exercée sur un circuit. Revenons au calcul de la force exercée sur un élément de circuit électrique plongé dans un champ magnétique pour faire apparaître une relation entre travail et variation de flux magnétique. I Idl F B dr dl dS Aire balayée Si aucune autre force ne compense la force de Lorentz, l’élément de circuit se déplace sous l’action de la force. Pour un déplacement élémentaire, le travail de la force s’écrit: Invariance par permutation circulaire Le travail élémentaire dépend de deux variables Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes

5.5 Force exercée sur un circuit. Le produit B·dS n’est autre que le flux élémentaire à travers la surface balayée élémentaire. On parle de flux coupé. La puissance absorbée (travail par unité de temps) peut se mettre sous une forme qui vous est familière « P = U·I ». Pour un circuit RIGIDE qui effectue un déplacement macroscopique donné, on peut relier le travail fourni à la variation de flux à travers le circuit avant (S1) et après (S2) le déplacement (et non plus au flux au travers la surface balayée Sb). Sb S2 S1 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes

5.5 Force exercée sur un circuit. Sb S2 S1 Si on applique la règle du trièdre direct pour le produit vectoriel dr  dl , la surface balayée Sb est dirigée vers l’intérieur. Les surfaces s’appuyant sur le circuit initial S1 et final S2 sont orientées dans le même sens (règle du tire-bouchon), donc vers l’intérieur pour S1 et vers l’extérieur pour S2. Puisque la divergence du champ magnétique est nulle en tout point, le flux à travers une surface fermée est nul également. Donc le flux coupé (à travers la surface balayée) b peut s’écrire en fonction des flux initial et final à travers le circuit: b = 2 - 1 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes

5.5 Force exercée sur un circuit. Lorsque le circuit « démarre », le flux coupé est nul. Le travail total au cours du déplacement est donc: W = I( b - 0 ) = I (2 - 1 ) W = I circuit Si le circuit se déplace, c’est que le travail « moteur » est positif, donc circuit > 0. Si au cours du déplacement le flux est maximal, ensuite tout circuit consécutif serait négatif et donc tout déplacement spontané impossible. Règle: Un circuit électrique indéformable est en équilibre stable dans un champ magnétique constant lorsque le flux magnétique qui le traverse est maximal. Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes

5.5 Force exercée sur un circuit. On peut alors trouver une nouvelle manière de calculer la force ou le couple qui s’exerce sur un circuit indéformable: Pour la force: dW = F.dr = Id  F = I  Pour le couple: dW = F.dr = F·(d  r ) = d ·( r  F ) = · d = Id   = I  ie. x = I d/d si rotation // Ox On peut également retrouver le moment magnétique d’une spire: a N B  = BS cos(a)  d = - BS sin(a) da x x = I d/d = -IS B sin(a)   = -M  B où M = I S Moment dipolaire magnétique de la spire Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes

5.5 Energie emmagasinée dans un champ magnétique . Pour calculer l’énergie emmagasinée dans un champ magnétique, repartons de la définition de la puissance électrique P=UI. Supposons un petit élément de circuit de section dS et de longueur dl, parcouru par un courant électrique I. I= j ·dS U= E ·dl La puissance dissipée par unité de volume est donnée par: E = V A t Or nous avons vu que le champ électrique est donné de manière très générale par: D’autre part, le théorème d’Ampère donne pour la densité de courant:   B = o j Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes

5.5 Energie emmagasinée dans un champ magnétique . Il y a donc une partie de la puissance dissipée liée au champ magnétique: Expression que l’on peut transformer à l’aide d’une identité mathématique: On peut ensuite intégrer sur tout le volume et utiliser le théorème de la divergence pour transformer l’intégrale du deuxième membre de droite en une intégrale de surface: Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes

5.5 Energie emmagasinée dans un champ magnétique . Le champ magnétique varie en 1/r3, le potentiel vecteur en 1/r2 et la surface en r2. On a donc la primitive d’une fonction en 1/r3 à calculer pour r   . L’intégrale est donc nulle et il ne reste que : Que l’on peut transformer en: On en déduit donc l’énergie par unité de volume liée au champ magnétique: Expression à rapprocher de Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes

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