1 Modifications controlées des implications de la base de Guigues-Duquenne LIMOS – Clermont-Ferrand Alain Gély 6 Février 2006 Séminaire Maison des Sciences.

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1 1 Modifications controlées des implications de la base de Guigues-Duquenne LIMOS – Clermont-Ferrand Alain Gély 6 Février 2006 Séminaire Maison des Sciences Economiques

2 2 I. Représentation des systèmes de fermeture II. Le problème du calcul dune base minimale III. Combinatoire & Eléments clones IV. Influence des implications Unitaires

3 3 I. Représentation des systèmes de fermeture

4 4 5678 1234 2 23 3 34 134 1234 Système de fermeture Eléments inf-Irréductibles 134, 23, 34, 2 M(F) est une représentation de F Dautres représentations existent F M(F) Graphe Biparti

5 5 2 23 3 34 134 1234 Système de fermeture Système dimplications 4 3 1 34 42 13 F premise conclusion, une famille dimplications est une représentation de F. Voyons les différences entre les deux représentations

6 6 Liens entre les représentations

7 7 1 23 4 121314232434 123234134124 1234 4 1 1, 2, 3, 4 12, 13, 14, 23, 24, 34 123, 124, 134, 234 1234 1, 2, 3 12, 13, 14, 23, 123, 124, 134, 1234 1 23 4 121314232434 123234134124 1234

8 8 1 23 4 121314232434 123234134124 1234 13 2 4 1 1, 2, 3 12, 13, 14, 23, 123, 124, 134, 1234 1, 2, 3 12, 14, 23, 123, 124 1234 1 23 4 121314232434 123234134124 1234 34 2 Implications redondantes \ {X Y} {X Y}

9 9 Ajouter 4 est possible 4 1 1, 2, 3 12, 14, 23, 123, 124, 1234 13 2, 13, 134 1 23 4 121314232434 123234134124 1234 1 23 4 121314232434 123234134124 1234 Propriétés des systèmes de fermeture Ajouter 34 est impossible 4 est un ensemble quasi-fermé

10 10 1 2 34 121314232434 123 234 134124 1234 1 2 13 1234 24 12 123124 4 134 3 13 1234 14 Pour les ensembles quasi-fermés ayant la même fermeture, les ensembles minimaux sont appelés ensembles pseudo-fermés 3 1312 1234 4 1234

11 11 II. Le problème du calcul dune base minimale

12 12 1.Systèmes de fermeture & Systèmes dimplications 2.Problématique 3.Eléments clones 4.Influence des implications unitaires Sortie :, une base dimplications minimum de F Entrée : M(F) M(F) Algorithme

13 13 1.Systèmes de fermeture & Systèmes dimplications 2.Problématique 3.Eléments clones 4.Influence des implications unitaires Pas dalgorithmes dénumération polynomiaux connus (Quasi-polynomial O(n log(n) ) [Fredman & Khachiyan 95] pour un cas particulier) [Mannila & Räihä, 92] | | exponentiel par rapport à |M(F)| Sortie :, une base dimplications minimum de F Entrée : M(F)

14 14 [Mannila & Räihä, 92] | | exponentiel par rapport à |M(F)| Complexité des algorithmes dénumération Un algorithme dénumération est polynomial si sa complexité est polynomiale en la taille de lentrée ( |M(F)| ) et de la sortie ( | | ) O( ( |M(F)| + | | ) k )

15 15 Pas dalgorithmes dénumération polynomiaux connus (Quasi-polynomial O(n log(n) ) [Fredman & Khachiyan 95] pour un cas particulier) 5678 1234 2 23 3 34 134 1234 F 4 3 1 34 42 13 M(F) Polynomial ? ?

16 16 Recherche dun algorithme dénumération polynomial Rendre le calcul plus facile en modifiant les données De nombreuses recherches sont faites dans plusieurs domaines Clones Implications Unitaires Entrée Pré-traitement Entrée modifiée + meta-information

17 17 III. Combinatoire & Eléments clones

18 18 1.Systèmes de Fermetures & Systèmes dImplications 2.Problématiques 3.Eléments clones 4.Influence des implications unitaires Généralité - Exemple Soit J = { 1, 2, 3, 12, 13, 23, 123 } défini sur J={1,2,3} φ 1,2 12 3122313123 J = {,,,,,, } = J 123122313123 J r = {,,,, } + 12 Famille réduiteMéta-Information (classe déquivalence)

19 19 1.Système de fermeture & Système dimplications 2.Problématique 3.Eléments Clones 4.Influence des implications unitaires Généralités J une famille densembles sur J, et a,b J Soit φ a,b une fonction sur un ensemble, qui échange a et b Soit J = { φ a,b ( X ) | X J } Si J= J alors a et b sont dit J- clones Il y a une symétrie entre les éléments a et b J J φ a,b

20 20 Base minimum canonique (base de Guigues-Duquenne) [Guigues & Duquenne 86] Soit F un système de fermeture = { P P | P est un ensemble pseudo-fermé de F } est une base minimale dimplications pour F. [Mannila et Räiha, 92] | | exponentiel par rapport à |M(F)| Y-a-t-il des éléments clones dans une base minimum ? [Medina & Nourine 04] [Gély & al 05] Il nous faut choisir une base minimum …

21 21 13 14 15 16 23 24 25 26 35 36 45 46 1234 125 1234 126 1234 125 126 3456 3456 P -Clones : Exemple Les éléments P -Clones sont clones dans la famille des ensembles pseudo-fermés

22 22 13 14 15 16 23 24 25 26 35 36 45 46 P -clones: 1 2 P -Clones : Exemple

23 23 13 14 15 16 35 36 45 46 P-clones: 1 2 P -Clones : Exemple

24 24 13 14 15 16 35 36 45 46 P-clones: 1 2 3 4 P -Clones : Exemple

25 25 13 15 16 35 36 P-clones: 1 2 3 4 P -Clones : Exemple

26 26 13 15 16 35 36 P-clones: 1 2 3 4 5 6 P -Clones : Exemple

27 27 13 15 35 P-clones: 1 2 3 4 5 6 P -Clones : Exemple

28 28 P-clones: 1 2 3 4 5 6 13 15 35 14 16 23 24 25 26 36 45 46 P -Clones : Exemple 1234 126 1234 125 126 3456 1234 125 3456

29 29 Problème ouvert : –Entrée : M(F) –Question : a et b sont-ils P -clone ? P -Clones Expliquent lexponentialité de [Mannila & Räihä92] Nouveau problème : –Entrée : M(F) –Question : a et b sont-ils F -clone ?

30 30 F -Clones Définition Détection Réduction Reconstruction Relation entre F -Clones et P -Clones

31 31 F - Clone 1 3 1234 12231434 123 1234 φ 1,3 F -Clones : Définition & Exemple

32 32 F- Clone et P- Clone B Clone Clone F- Clone P- Clone A A B P φ a,b (P)P P A B φ a,b (A B)

33 33 Théorème: a et b sont F - clone ssi a et b sont M(F)-clones F -Clones : Détection AB

34 34 Le problème –Entrée : M(F) –Question: a et b sont-ils F- clones ? est polynomial F -Clones : Détection Trouver les classes de clones : J x || M(F) || [Medina & al 05] Limage dun élément inf-irréductible est un élément inf-irréductible

35 35 F -Clones : Réduction 1 x 234 xx 123 12 23 14 34 xx xx xx x x x 1234 12231434 123 1234

36 36 F -Clones : Réduction 124 1214 123 1234 1 x 234 xx 123 12 23 14 34 xx x x x x

37 37 F -Clones : Reconstruction 124 1214 123 1234 1 x 234 xx 123 12 14 xx 2 x 4 x x x φ 1,3 23 xx 34 x x

38 38 M(F) Détection Réduction Clones Calcul de la base Reconstruction

39 39 F -Clones : Reconstruction de la base 3 étapes 1234 12 231434 123 1234 3 12I. Retrait des implications artificiellement rajoutées lors de la réduction

40 40 F -Clones : Reconstruction de la base 3 étapes I. Retrait des implications artificiellement rajoutées lors de la réduction II. Ajout des implications artificiellement écartés lors de la réduction B A A B

41 41 F -Clones : Reconstruction de la base 3 étapes I. Retrait des implications artificiellement rajoutées lors de la réduction II. Ajout des implications artificiellement écartés lors de la réduction III. Application de la fonction φ 13 15 35 14 16 23 24 25 26 36 45 461234 126 1234 125 126 3456 1234 125 3456

42 42 Théorème : F le système de fermeture après F –clone réduction Est tel que |M(F)| |M(F)| F -Clones : Résultats Théorème: F -Clone P -clones P -Clone F -clones

43 43 IV. Influence des implications Unitaires

44 44 P -Clone F -clone : Exemple 2 1 13 123 12 123 3 13 P -Clone : 12 F -Clone : 12 φ 1,2 (13) φ 1,2

45 45 1.Systèmes de fermeture & Système dimplications 2.Problématique 3.Eléments Clones 4.Influence des implications unitaires Implications Unitaires Soit F un système de fermeture sur J, et sa base de Guigues- Duquenne. = J Avec 1. =P P avec |P|>1 2. J =P P avec |P|=1 3. =P P avec |P|=0

46 46 1.Systèmes de fermeture & Système dimplications 2.Problématique 3.Eléments Clones 4.Influence des implications unitaires Implications Unitaires Soit F un système de fermeture sur J, et sa base de Guigues- Duquenne. = J Avec 1. =P P avec |P|>1 2. J =P P avec |P|=1

47 47 Implications Unitaires Les implications de J sont Facile à calculer En nombre polynomial Modifier J sans modifier On recherche des systèmes de fermeture - équivalent On note C (F) la famille des systèmes de fermeture - équivalents

48 48 2 1 13 123 12 123 3 13 3 23 Comment 1 et 2 Peuvent-ils devenir clones ? Solution 1 : Retirer une implication / Ajouter des ensembles fermés. 1.Systèmes de fermeture & Système dimplications 2.Problématique 3.Eléments Clones 4.Influence des implications unitaires

49 49 Retrait dune implication unitaire de la base de Guigues-Duquenne Retrait dune Implication Unitaire 12 4 342414 1234 134 1234 234 1234 3 34 J 12 1234

50 50 123 4 123424131423 234123124 134 1234 12 4 342414 1234 134 1234 234 1234 3 34 J 12 1234

51 51 123 4 123424131423 234123124 134 1234 134 1234 234 1234 3 34 J 12 1234

52 52 123 4 123424131423 234123124 134 1234 234 1134 2 12 34 134 1234 234 1234 3 34 J 12 1234

53 53 123 4 123424131423 123 234124 134 1234 134 1234 234 1234 3 34 J 12 1234

54 54 123 4 123424131423 123 1234 3 34 134 1234 234 1234 3 34 J 12 1234

55 55 123 4 123424131423 123 1234 134 1234 234 1234 3 34 J 12 1234 Copies densembles fermés

56 56 12 132425 1234 12345 12 1234 245 12345 3 13 4 24 5 25 Base de Guigues-Duquenne 4 1414 134 Calcul de F à partir de F J

57 57 Retrait dune implication unitaire & Duplication densembles convexes 2 13 123 1

58 58 Retrait dune implication unitaire & Duplication densembles convexes 12 13 123 4 2424 4 4 4 Duplication de convexeRetrait dune implication unitaire 12 13 123 3 2323

59 59 Retrait dune implication unitaire de la base de Guigues-Duquenne Le problème Entrée : M(F), P P J Sortie : M(F), avec (F) = (F) \ { P P } est polynomial Mais quen est-il de la taille de M(F) ? Résultat

60 60 12 1234 245 12345 3 13 5 25 Base de Guigues-Duquenne Calcul de F depuis F J 12 132425 1234 12345 5 éléments Inf-irreductibles 4 24

61 61 1 2 13 2425 1234 12345 12 1234 245 12345 3 13 5 25 Base de Guigues-Duquenne 4 1414 134 Calcul de F depuis F J 6 éléments Inf-irréductibles 4 24 12 132425 1234 12345 5 éléments Inf-irréductibles

62 62 |M(F ) | par rapport à | M(F)| ? Soit F un système de fermeture, et sa base de Guigues-Duquenne. F un système de fermeture tel que est sa base de Guigues-Duquenne |M(F )| peut être exponentiel par rapport à | M(F)| 231 14 25 36 7 Retirer des implications nest pas une solution

63 63 2 1 13 123 12 123 3 13 3 2 3 123 Comment 1 et 2 Peuvent-ils devenir clones ? Solution 2 : Retirer des ensembles fermés / Ajouter des implications [Gély & Nourine 06] 1.Systèmes de fermeture & Système dimplications 2.Problématique 3.Eléments Clones 4.Influence des implications unitaires

64 64 Ajout de limplication a b : {a b} nest pas forcément une base de Guigues-Duquenne Ajout dimplications unitaires 12 123 12 123 12 3 23 13 2 3 12 123 12 3 23 13 J 2 23 J

65 65 Pour tout P P Caractérisation : - équivalence en ajoutant a b (i) Si a P alors b P (ii)Si a P alors b P (iii)Si a j, j P, alors (jb) P Conclusion inchangée Reste un ensemble quasi-fermé Reste un ensemble quasi-fermé minimal Résultat a b peut être ajoutée sans modifications de ssi

66 66 Caractérisation : relation de couverture dans C (F) (i) Pour tout P P, P a,Si a P alors b P (ii) Pour tout P P Si a P alors b P (iii) Pour tout P P Si a P alors (ab) P Résultat a b peut être ajouté sans modification de, et F couvre F dans C (F) ssi

67 67 123 12 3 23 13 123 12 23 123 12 12 13 12 123 3 13 12 123 3 23 12 123 3 123 3 23 1 3 2 1 23 23 1

68 68 123 12 12 124 1234 3 123 124 1234 3 123 14 1234 123 21 12 24 1234 4 14 4 24 123 12 12 3 123 1234 4 1234 La famille des systèmes de fermeture -équivalent nest pas un système de fermeture La famille des systèmes de fermeture J - équivalent est un système de fermeture [Nation & Pogel 97]

69 69 Caractérisation : Relation de couverture C (F) (i) Pour tout P P, P a, Si a P alors b P (ii) Pour tout P P Si a P alors b P (iii) Pour tout P P, Si a P alors (ab) P Résultat a b peut être ajouté sans modification de, et F couvre F dans C (F) ssi Conditions sur les implications

70 70 Caractérisation : relation de couverture de C (F) En utilisant M(F) Résultat Le problème: Entrée : M(F), a b Question : F est-il le S.F. correspondant à { a b } tel que F C (F) F couvre F est polynomial Résultat

71 71 (i) et (ii) Isomorphisme entre A et A * système de fermeture – Ajout de a b A la famille densembles fermés F tels que a F et b F A * la famille densembles fermés F tels que A * F, a F et b F A = a F B = b F A * le prédécésseur immédiat de A dans F 12 123 12 3 23 13 3 1 A = B = A * = A A*A* (iii) A (A * B) F F

72 72 Si F couvre F dans C (F) |M(F)| Résultat Les éléments Inf-irreductibles dun système de fermeture minimal de C (F) peuvent être calculés en temps polynomial Résultat principal

73 73 Il est possible dajouter une implication a b Conditions nécessaires et suffisantes vérifiables en temps polynomial Transformation des données en temps polynomial Détection possible de plus de clones La nouvelle donnée est plus petite que la donnée initiale Le système de fermeture est plus petit que le système de fermeture initial Méthode intéressante pour traiter les données

74 74 Entrée Pré-traitement (en temps polynomial) Réduction des clones Ajout dimplications unitaires Utilisation de ces résultats ? Datamining, énumération des ensembles fermés, calcul dune base minimum, …

75 75 Conclusions Eléments Clones pour réduire la combinatoire Implications Unitaires pour détecter plus de clones Implications Unitaires pour réduire le système de fermeture Système dImplications

76 76 Perspectives Liens entre les implications de et J Comportement pour dautres bases ? Propriétés structurelles de C (F) Liens avec la duplication densembles convexes [Day 70][Caspard 99] Algorithmes efficaces pour lajout dimplications Systèmes dImplications

77 77 Merci