Université Paul Verlaine - Metz

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1 Université Paul Verlaine - Metz
Ecole Doctorale PIEMES Les modèles d’équations structurales : théorie et applications avec LISREL Jean-Luc Kop Université Nancy 2

2 PLAN Présentation générale La régression multiple avec LISREL
Les pistes causales avec LISREL La logique des MES Le modèle de mesure (analyse factorielle) Le modèle complet

3 Les modèles d’équations structurales (MES)
permettent de modéliser les relations existant entre un ensemble de variables à partir d’une représentation théorique intègrent la régression, les pistes causales et les analyses factorielles permettent d’introduire des variables latentes et donc de tenir compte des erreurs de mesure

4 ORIGINES Jöreskog (1973) Keesing (1972) Wiley (1973)  Modèle JKW  Premier logiciel : LISREL (Jöreskog & Sörbom)  Autres logiciels : AMOS, SePath, Mplus, EQS, MX

5 MODE OPERATOIRE de LISREL
LISREL = Linear Structural RELationships

6 La régression multiple avec LISREL
Exemple VD = salaire (annuel, brut, en k$) VI = expérience (en mois) niveau d’études (en années)

7 La régression multiple avec LISREL
Matrice de corrélations salact exp nivetud salact exp nivetud Matrice de covariances salact exp nivetud salact exp nivetud

8 RAPPEL

9 La régression multiple avec LISREL
Programme SIMPLIS regression avec deux VI observed variables salact exp nivetud means : covariance matrix 291.58 sample size 474 relationships const exp nivetud -> salact end of problem

10 La régression multiple avec LISREL
Résultats salact = *exp *nivetud (3.10) (0.0058) (0.21) Errorvar.= , R² = 0.44 Résultats standardisés (options SC) Regression Matrix Y on X (Standardized) exp nivetud salact

11 Les pistes causales Analyse en pistes causales (path analysis)
S. Wright ( ) Simon, Blalock, Boudon  Plusieurs variables explicatives et plusieurs variables expliquées

12 Les pistes causales spécification du réseau de relations entre variables Exemple

13 Les pistes causales âge = variable exogène (plusieurs sont possibles)
variable endogène = variable au moins influencée par une autre satisfaction = variable endogène ultime ei = variables résiduelles modèles récursifs = une seule piste entre deux variables (effets réciproques  modèles non récursifs) modèle saturé = toutes les pistes possibles

14 Les équations autonomie = b21 × âge + e2
revenu = b31 × âge + b32 × autonomie + e3 satisfaction = b41 × âge + b42 × autonomie + b43 × revenu + e4

15 Calcul des paramètres revenu = b31 × âge + b32 × autonomie + e3
 On multiplie par l’âge revenu × âge = b31 × (âge)² + b32 × (autonomie × âge) + e3 × âge  Espérances mathématiques E(revenu x âge) = rrevenu, âge E(âge²) = 1 E(autonomie x âge) = rautonomie, âge E(e3 × âge) = 0  rrevenu, âge = b31 + b32 × rautonomie, âge

16 Calcul des paramètres revenu = b31 × âge + b32 × autonomie + e3
 On multiplie par l’autonomie …….  rautonomie, revenu = b31 × rautonomie, âge + b32 Système de deux équations à deux inconnues rrevenu, âge = b31 + b32 × rautonomie, âge rautonomie, revenu = b31 × rautonomie, âge + b32

17 Les pistes causales avec LISREL
Programme SIMPLIS Pistes causales de la satisfaction au travail observed variables age autonom revenu satis correlation matrix 1 0.28 1 sample size 472 relationships age autonom revenu -> satis age –> autonom age autonom -> revenu path diagram end of problem

18 Les pistes causales avec LISREL
Résultats (équations) autonom = 0.28*age, Errorvar.= , R² = 0.078 (0.044) (0.060) revenu = 0.22*autonom *age, Errorvar.= , R² = 0.44 (0.036) (0.036) (0.036) satis = 0.58*autonom *revenu *age, Errorvar.= , R² = 0.70 (0.027) (0.034) (0.032) (0.019)

19 Les pistes causales avec LISREL
Résultats (graphique)

20 Les pistes causales avec LISREL
eautonomie = 0.92 ; l’âge n’explique que 8% (0.28² * 100) de l’autonomie effet direct de l’âge sur la satisfaction : -0.08 effet indirect de l’âge sur la satisfaction : par l’intermédiaire de l’autonomie (0.28 * 0.58 = 0.16) ; par l’intermédiaire du revenu (0.57 * 0.47 = 0.27) ; par l’intermédiaire de l’autonomie et du revenu (0.28 * 0.22 * 0.47 = 0.03)

21 Les pistes causales avec LISREL
effet indirect de l’âge sur la satisfaction : = 0.46 effet total de l’âge sur la satisfaction = effet direct (-0.08) + effet indirect (0.46) = 0.38 (N.B. râge, satisfaction = 0.38)

22 Les pistes causales avec LISREL
Effets directs et indirects syntaxe LISREL : options EF Total and Indirect Effects Total Effects of X on Y age autonom (0.04) 6.32 revenu 17.59 satis 8.91 Indirect Effects of X on Y autonom revenu (0.01) 4.41 satis 11.42 Total Effects of Y on Y autonom revenu satis autonom revenu 6.15 satis (0.03) (0.03) Largest Eigenvalue of B*B' (Stability Index) is Indirect Effects of Y on Y revenu satis (0.02) 5.62

23 Autre exemple 1708 étudiants évaluent :
Stringer, M., & Irwing, P. (1998). Students’ evaluations of teaching effectiveness: a structural modelling approach. British Journal of Educational Psychology, 68, 1708 étudiants évaluent : qualité formelle de l’enseignement (qual) feedback donné par l’enseignant (feedback) intégration de l’enseignement (integ) charge de travail (charge) stimulation int. / apprentissage (stimul) évaluation globale de l’enseignement (global)

24 Autre exemple Matrice de corrélations

25 Le modèle théorique des auteurs

26 Résultats

27 La logique des MES ✔ tester des hypothèses qui découlent d’une théorie concernant les relations de dépendances et/ou d'interdépendances entre des variables observées et/ou des variables latentes ; ✔ à partir des relations (exprimées en termes de variances-covariances) entre des variables manifestes ; ✔ par l'intermédiaire de la manipulation de paramètres.

28 La logique des MES

29 Trois types de paramètres
Paramètres fixés Paramètres contraints Paramètres libres

30 ξ X η Y Les différents types de variables Variables Latentes
Manifestes Exogènes ξ X Modèle Structural (théories nomologiques) Endogènes η Y Modèle de mesure (Théories définitoires)

31 Les 8 matrices du modèle de base

32 Exemple : la matrice Γ Qual Charge libre Feedback libre Integ libre
Stimul fixé à 0 Globale libre

33 L’estimation des paramètres libres
Moindres carrés non pondérés (ULS) Moindres carrés généralisés (GLS) Maximum de vraisemblance

34 Nombre de degrés de liberté du modèle
p = nombre de variables exogènes manifestes q = nombre de variables endogènes manifestes t = nombre de paramètres estimés (libres)

35 Théorie En résumé Paramètres ∑(Θ) ∑ Matrice théorique Matrice observée
???? Adéquation ?????

36 Le modèle de mesure (analyse factorielle)
Exemple Lance, C.E., Mallard, A.G., & Michalos, A.C. (1995). Tests of the causal directions of global-life facet satisfaction relationships. Social Indicators Research, 34, Mesure de la satisfaction de 400 personnes relativement à différents domaines : santé, revenu, relations familiales, travail, amis, logement, conjoint, loisirs, religion, transports, éducation

37 Matrice de corrélations entre les variables

38 Différents modèles théoriques possibles

39 Différents modèles théoriques possibles

40 Différents modèles théoriques possibles

41 Différents modèles théoriques possibles

42 Différents modèles théoriques possibles

43 Comment tester le modèle à deux facteurs indépendants ?

44 Modèle de mesure x = λxξ + δ xi = λi1ξ1 + λi2ξ2 + …. + λinξn + δi

45 Modèle de mesure (développement matriciel)
X = Λx ξ + δ

46 Test du modèle à deux facteurs indépendants
Matrice factorielle (Λ)

47 Test du modèle à deux facteurs indépendants
Matrice de corrélations entre les facteurs Φ

48 Test du modèle à deux facteurs indépendants
Matrice de covariances entre les parties résiduelles (Θδ)

49 Les 3 matrices du modèle de mesure

50 Programme Simplis lance et al 1995 : 2 facteurs independants
Observed Variables sante revenu famille travail amis logement conjoint loisirs religion transp educ latent variables mat immat Correlation Matrix …….. Sample Size = 400 relationships immat -> sante famille amis conjoint loisirs religion educ mat -> revenu travail logement transp set the covariance between mat and immat to zero path diagram lisrel output rs mi End of Problem

51 ADEQUATION du MODELE Goodness of Fit Statistics
Degrees of Freedom = 44 Minimum Fit Function Chi-Square = (P = 0.00) Normal Theory Weighted Least Squares Chi-Square = (P = 0.00)

52 Un modèle défendable

53 Le modèle complet : un exemple fictif

54 Les trois équations du modèle complet
Modèle de mesure pour les variables exogènes (X) Modèle de mesure pour les variables endogènes (Y) Modèle structural

55 Modèle de mesure sur x

56 Modèle de mesure sur x Matrice de covariances des erreurs des variables x

57 Modèle de mesure sur y

58 Modèle structural

59 Le modèle complet

60 Le modèle complet : les 8 matrices

61 Programme Simplis Modele complet sur donnees fictives
Observed Variables Y1 Y2 Y3 Y4 X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 Covariance Matrix from file fictif.cov Latent Variables ETA1 ETA2 KSI1 KSI2 KSI3 Sample Size 100 Relationships KSI1 -> X1 X2 X3 KSI2 -> X3 X4 X5 KSI3 -> X6 X7 ETA1 -> Y1 Y2 ETA2 -> Y3 Y4 KSI1 -> ETA1 ETA2 KSI2 -> ETA1 KSI3 -> ETA2 ETA1 -> ETA2 ETA2 -> ETA1 Let the Error Covariance between ETA1 and ETA2 free Lisrel output RS SS SC Path Diagram End of Problem

62 Exemple fictif : matrice de covariances

63 EXEMPLE sur données réelles
On dispose des 9 variables suivantes, observées dans un échantillon de 200 enfants : - niveau d'aspiration scolaire (ASPSCO) - niveau d'aspiration professionnelle (ASPPRO) - réussite scolaire dans les matières verbales (RSVERB) - réussite scolaire en mathématiques (RSMATH) - revenu de la famille (REVENU) - niveau d'éducation du père (EDPERE) - niveau d'éducation de la mère (EDMERE) - aptitude verbale (APTVERB) - aptitude numérique (APTNUM) On veut montrer (modèle théorique) que la réussite de l’enfant dépend du background familial, des aptitudes et du niveau d'aspiration ; ce dernier dépendant lui-même du background familial et des aptitudes

64 EXEMPLE sur données réelles
Matrice de variances-covariances aspsco 1.024 asppro Rsverb rsmath revenu educpere educmere aptverb aptnum aspsco asppro rsverb rsmath revenu edpere edmere aptverb aptnum

65 EXEMPLE sur données réelles
Le modèle de mesure aptitude -> aptverb aptnum aspire -> aspsco asppro reussite -> rsverb rsmath famille -> revenu educpere educmere

66 EXEMPLE sur données réelles
Le modèle structural famille -> aspire reussite aptitude -> aspire reussite aspire -> reussite

67 EXEMPLE sur données réelles
Le modèle théorique initial

68 Comment présenter les résultats de MES ?
Boomsma, A. (2000). Reporting analyses of covariance structures. Structural Equation Modeling, 7(3), Jackson, D.L., Gillaspy, J.A. & Purc-Stephenson R. (2009). Reporting practices in confirmatory factor analysis: an overview and some recommendations. Psychological Methods, 14, 6-23. McDonald, R. P., & Ringo Ho, Moon-Ho (2002). Principles and practice in reporting structural equation analyses. Psychological Methods, 7(1), Raykov, T., Tomer, A., & Nesselroade, J. R. (1991). Reporting structural equation modeling results in Psychology and Aging: Some proposed guidelines. Psychology and Aging, 6(4), Tabachnick, B.G. & Fidell, (2007). Using multivariate statistics (5th ed.). Boston : Pearson International Edition.

69 Médiation et modération
Baron, R. M., & Kenny, D. A. (1986). The moderator-mediator variable distinction in social psychological research: Conceptual, strategic and statistical considerations. Journal of Personality and Social Psychology, 51, Edwards, J. R., & Lambert L. S. (2007). Methods for integrating moderation and mediation: A general analytical framework using moderated path analysis. Psychological Methods, 12, 1-22. MacKinnon, D. P., Fairchild, A. J., & Fritz, M. S.  (2007). Mediation analysis. Annual Review of Psychology, 58, Muller, D., Judd, C. M., & Yzerbyt, V. Y. (2005). When moderation is mediated and mediation is moderated. Journal of Personality and Social Psychology, 89,