Journées Treillis Rochelais – La Rochelle – 30/31 Mai 2007 1 Alain Gély Autour des implications Unitaires Université

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1 Journées Treillis Rochelais – La Rochelle – 30/31 Mai 2007 1 Alain Gély Autour des implications Unitaires http://www.isima.fr/gely/ gely@isima.fr Université dAuvergne / LIMOS

2 Journées Treillis Rochelais – La Rochelle – 30/31 Mai 2007 2 Plan Implications unitaires et codage Implications unitaires et base canonique Motivations

3 Journées Treillis Rochelais – La Rochelle – 30/31 Mai 2007 3 Motivations - Définitions Implications Implications unitaires (ou simple) J un ensemble déléments, Implication = Couple (X,Y) noté X Y = { X 1 Y 1, X 2 Y 2, …, X i Y i } une famille dimplications Exemple = { d b, c a, abc d, abd c } J un ensemble déléments, Implication unitaire = Couple (X,Y) noté X Y, avec |X| = 1 Exemple = { d b, c a, abc d, abd c }

4 Journées Treillis Rochelais – La Rochelle – 30/31 Mai 2007 4 Motivations Implications simples à calculer Implications en nombre réduit Propriétés densembles ordonnés Déjà lobjet de plusieurs études Présentes quelque soit la base utilisée

5 Journées Treillis Rochelais – La Rochelle – 30/31 Mai 2007 5 Plan Implications unitaires et codage Implications unitaires et base canonique Motivations

6 Journées Treillis Rochelais – La Rochelle – 30/31 Mai 2007 6 1 2 34 121314232434 123 234 134124 1234 1 2 13 1234 24 12 123124 4 134 3 13 1234 14 3 1312 1234 4 1234

7 Journées Treillis Rochelais – La Rochelle – 30/31 Mai 2007 7 abcd bd ab ac b a Base dimplications minimum d b, c a, abc d, abd c Graphe Biparti / Contexte Système de fermeture O((n.N) k ) Implications unitaires et base canonique a b c d 1 0 1 1 0 0 0 1

8 Journées Treillis Rochelais – La Rochelle – 30/31 Mai 2007 8 d b, c a, abc d, abd c Implications unitaires et base canonique Donnée : Un contexte réduit sur les objets (éléments -irréductibles ) Résultat : La base canonique du contexte a b c d 1 0 1 1 0 0 0 1

9 Journées Treillis Rochelais – La Rochelle – 30/31 Mai 2007 9 Implications unitaires et base canonique Idée n°1 : retrait incrémental Fait : Soit une base canonique et X Y Alors \ { X Y} est une base canonique Principe : 1. Trouver une implication { X Y } de 2. Modifier lentrée pour correspondre à \ { X Y } 3. Revenir en 1 avec la nouvelle donnée

10 Journées Treillis Rochelais – La Rochelle – 30/31 Mai 2007 10 ? Modification des données Retrait incrémental dimplications ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? c a ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? -

11 Journées Treillis Rochelais – La Rochelle – 30/31 Mai 2007 11 Implications unitaires et base canonique Quels problèmes peuvent se poser ? Identification dune implication de la base Calcul polynomial de la nouvelle entrée Explosion de la taille de lentrée Facile pour les implications unitaires Calculer les éléments -irréductibles du nouveau système de fermeture Cf. exemple

12 Journées Treillis Rochelais – La Rochelle – 30/31 Mai 2007 12 12 132425 1234 12345 12 1234 245 12345 3 13 4 24 5 25 Base de Guigues-Duquenne 4 1414 134 Calcul de F à partir de F J Implications unitaires et base canonique

13 Journées Treillis Rochelais – La Rochelle – 30/31 Mai 2007 13 12 1234 245 12345 3 13 5 25 Base canonique J 12 132425 1234 12345 5 éléments -irréductibles 4 24 Implications unitaires et base canonique

14 Journées Treillis Rochelais – La Rochelle – 30/31 Mai 2007 14 1 2 13 2425 1234 12345 12 1234 245 12345 3 13 5 25 Base canonique 4 1414 134 J 6 éléments -irréductibles 4 24 12 132425 1234 12345 5 éléments -irréductibles Implications unitaires et base canonique

15 Journées Treillis Rochelais – La Rochelle – 30/31 Mai 2007 15 Implications unitaires et base canonique Exemple dexplosion combinatoire 231 142536 7 1 2 37 4 5 6 (J,<) 6 éléments -irréductibles

16 Journées Treillis Rochelais – La Rochelle – 30/31 Mai 2007 16 Implications unitaires et base canonique Exemple dexplosion combinatoire 2n1 {1,n+1}{2,n+2} 2n+1 1 2 n n+1 (J,<) 2n éléments -irréductibles {n,2n} n+2 2n

17 Journées Treillis Rochelais – La Rochelle – 30/31 Mai 2007 17 2 n + n(n+1) -1 éléments -irréductibles Implications unitaires et base canonique Après avoir retirer les n implications unitaires Problème defficacité 2n éléments -irréductibles Donnée initiale

18 Journées Treillis Rochelais – La Rochelle – 30/31 Mai 2007 18 Implications unitaires et base canonique Idée n°2 : Ajouter des implications (contraindre le système) abcd bd ab ac b a d b, c a, abc d, abd c Graphe Biparti / Contexte a b c d 1 0 1 1 0 0 0 1

19 Journées Treillis Rochelais – La Rochelle – 30/31 Mai 2007 19 Ajout dimplications : Contrôler les modifications ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? c a Modifications inconnues Implications unitaires et base canonique

20 Journées Treillis Rochelais – La Rochelle – 30/31 Mai 2007 20 Ajout de limplication a b : {a b} nest pas forcément une base de Guigues-Duquenne 12 123 12 123 12 3 23 13 2 3 12 123 12 3 23 13 J 2 23 J Implications unitaires et base canonique

21 Journées Treillis Rochelais – La Rochelle – 30/31 Mai 2007 21 Modification des données dentrées du problème ajout dimplications ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? c b ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? u v x y ? c b + C (F) : systèmes de fermeture - équivalent

22 Journées Treillis Rochelais – La Rochelle – 30/31 Mai 2007 22 124 1234 3 123 124 1234 3 123 123 1 2 1214 1234 123 2 1 1224 1234 4 14 4 24 F F 3 123 4 1234 123 1 2 12 1234 F les systèmes de fermeture - équivalent ne forment pas un système de fermeture Implications unitaires et base canonique

23 Journées Treillis Rochelais – La Rochelle – 30/31 Mai 2007 23 Implications unitaires et base canonique J1 J2 J3 J4 J5 J6 J7 Elément maximal (maximum) Elément minimaux

24 Journées Treillis Rochelais – La Rochelle – 30/31 Mai 2007 24 Pour tout P P Caractérisation : - équivalence en ajoutant a b (i) Si a P alors b P (ii)Si a P alors b P (iii)Si a j, j P, alors (jb) P Conclusion inchangée Reste un ensemble quasi-fermé Reste un ensemble quasi-fermé minimal a b peut être ajoutée sans modifications de ssi Implications unitaires et base canonique

25 Journées Treillis Rochelais – La Rochelle – 30/31 Mai 2007 25 Caractérisation : relation de couverture dans C (F) (i) Pour tout P P, P a,Si a P alors b P (ii) Pour tout P P Si a P alors b P (iii) Pour tout P P Si a P alors (ab) P a b peut être ajouté sans modification de, et F couvre F dans C (F) ssi Implications unitaires et base canonique Ces propriétés peuvent être vérifiés en temps polynomial à partir des éléments irréductibles.

26 Journées Treillis Rochelais – La Rochelle – 30/31 Mai 2007 26 Caractérisation : relation de couverture dans C (F) Implications unitaires et base canonique Propriétés vérifiables en temps polynomial à partir du contexte Nouveau contexte plus petit

27 Journées Treillis Rochelais – La Rochelle – 30/31 Mai 2007 27 Plan Implications unitaires et codage Implications unitaires et base canonique Motivations Quelques définitions

28 Journées Treillis Rochelais – La Rochelle – 30/31 Mai 2007 28 c ad b e ab ab edc Implications unitaires et codages Ø ab abebdac abcde Ordre induit par J ab edc ab abebdac

29 Journées Treillis Rochelais – La Rochelle – 30/31 Mai 2007 29 Implications unitaires et codages Théorème de Dilworth (décomposition en chaîne) ab edc abcde ab edc abc d e

30 Journées Treillis Rochelais – La Rochelle – 30/31 Mai 2007 30 Implications unitaires et codage Théorème de Dilworth (décomposition en chaîne) ab edc ab cd e ab edc ab ed c Nombre de chaînes minimal = largeur de lordre

31 Journées Treillis Rochelais – La Rochelle – 30/31 Mai 2007 31 Implications unitaires et codage Plongement dans un produit de chaînes a [1,0,0,0,0] abe abcd ab edc b [0,1,0,0,0] ac [1,0,1,0,0] ab [1,1,0,0,0]bd [0,1,0,1,0] abd [1,1,0,1,0] abde [1,1,0,1,1] abcde [1,1,1,1,1] abc [1,1,1,0,0] abce [1,1,1,0,1] x 0 1 x 0 1 x 0 1 x 0 1 0 1 abcde CaCa CbCb CcCc CdCd CeCe

32 Journées Treillis Rochelais – La Rochelle – 30/31 Mai 2007 32 Implications unitaires et codage Plongement dans un produit de chaînes ab edc abc d e a [1,0,0,0] abe b [0,1,0,0] ac [1,0,1,0] ab [1,1,0,0]bd [0,2,0,0] abd [1,2,0,0] abde [1,2,0,1] abcde [1,2,1,1] abc [1,1,1,0] abce [1,1,1,1] abcd [1,2,1,0] x 0 1 x 0 1 x 0 1 0 1 2 CaCa C bd CcCc CeCe

33 Journées Treillis Rochelais – La Rochelle – 30/31 Mai 2007 33 Implications unitaires et codage Plongement dans un produit de chaînes ab edc ab cd e a [1,0,0] abe b [0,1,0] ac [2,0,0] ab [1,1,0]bd [0,2,0] abd [1,2,0] abde [1,2,1] abcde [2,2,1] abc [2,1,0] abce [2,1,1] abcd [2,2,0] x 0 1 x 0 1 0 1 22 C ac C bd CeCe

34 Journées Treillis Rochelais – La Rochelle – 30/31 Mai 2007 34 Implications unitaires et codage Plongement dans un produit de chaînes ab edc ab ed c a [1,0,0] abe b [0,1,0] ac [1,0,1] ab [1,1,0]bd [0,2,0] abd [1,2,0] abde [2,2,0] abcde [2,2,1] abc [1,1,1] abce [2,1,1] abcd [1,2,1] x 0 1 x 0 1 0 1 22 C ae C bd CcCc

35 Journées Treillis Rochelais – La Rochelle – 30/31 Mai 2007 35 a [1,0,0] abe b [0,1,0] ac [1,0,1] ab [1,1,0]bd [0,2,0] abd [1,2,0] abde [2,2,0] abcde [2,2,1] abc [1,1,1] abce [2,1,1] abcd [1,2,1] Implications unitaires et codage a [ 1, 0, 0 ] b [ 0, 1, 0 ] ac [ 1, 0, 1 ] bd [ 0, 2, 0 ] abcde [ 2, 2, 1 ] abe [ 2, 1, 0 ] Ø ab abebdac abcde

36 Journées Treillis Rochelais – La Rochelle – 30/31 Mai 2007 36 a [1,0,0] abe b [0,1,0] ac [1,0,1] ab [1,1,0]bd [0,2,0] abd [1,2,0] abde [2,2,0] abcde [2,2,1] abc [1,1,1] abce [2,1,1] abcd [1,2,1] Implications unitaires et codage ac [1,0,1] bd [0,2,0] abe [2,1,0] Ø ab abebdac abcde

37 Journées Treillis Rochelais – La Rochelle – 30/31 Mai 2007 37 Ø ab abebdac abcde a [1,0,0] abe b [0,1,0] ac [1,0,1] ab [1,1,0]bd [0,2,0] abd [1,2,0] abde [2,2,0] abcde [2,2,1] abc [1,1,1] abce [2,1,1] abcd [1,2,1] ac [1,0,1] bd [0,2,0] abe [2,1,0] a [1,0,0] b [0,1,0] [0,0,0] abcde [2,2,1] Implications unitaires et codage

38 Journées Treillis Rochelais – La Rochelle – 30/31 Mai 2007 38 Ø ab abebdac abcde a [1,0,0] ab e b [0,1,0] ac [1,0,1] ab [1,1,0]bd [0,2,0] abd [1,2,0] abde [2,2,0] abcde [2,2,1] abc [1,1,1] abce [2,1,1] abcd [1,2,1] ac [1,0,1] bd [0,2,0] abe [2,1,0] a [1,0,0] b [0,1,0] [0,0,0] abcde [2,2,1] [Bouchet71] Il existe un -homomophisme de L vers C 1 x…xC k ssi (J(L),<) peut être partitionné en k chaînes Implications unitaires et codage L

39 Journées Treillis Rochelais – La Rochelle – 30/31 Mai 2007 39 Ø ab abebdac abcde ac [1,0,1] bd [0,2,0] abe [2,1,0] ac [1,0,1] b [0,1,0] ac [1,0,0] abcde [2,2,1] Seul lordre relatif sur les chaînes compte Implications unitaires et codage 101 210 020 0.101.7 5150.3 -2200.3 Connexion de Galois Généralisée [ E. Diday, R. Emilion, Maximal and stochastic galois lattices, Discrete Applied Mathematics 127 (2003) 271--284. ]

40 Journées Treillis Rochelais – La Rochelle – 30/31 Mai 2007 40 [2,0] [1,0] [2,2] [0,1] [0,2] [0,0] [1,2] 11 111 11 1 20 12 02 01 Implications unitaires et codage Intérêt : Avoir une représentation plus compacte

41 Journées Treillis Rochelais – La Rochelle – 30/31 Mai 2007 41 Conclusions Implications unitaires Faciles à manipuler Propriétés densembles ordonnés Coupes dans lespace de recherche