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Université du Maine, Le Mans
GAPSUS 05 : 150 years of Acoustic propagation in Viscous / Thermal conducting fluids at rest From Fundamentals of Acoustics To Current applications L'histoire de la propagation acoustique en fluide homogène dissipatif a commencé en 1868 par une publication de Gustav Kirchhoff qui, sur la base des équations de Navier-Stokes et de Fourier, a résolu le problème de la propagation en fluide thermo-visqueux, en espace infini et dans les tubes, incluant la propagation dans les tubes étroits (tels que les capillaires utilisés en électroacoustique) et dans les pores ou fissures des matériaux, dans lesquels les couches limites thermiques et visqueuses associées au mouvement acoustique jouent un rôle prépondérant. Les travaux de Lothar Cremer en 1848 ont conclu à la possibilité de traduire dans certaines circonstances les effets des couches limites thermovisqueuses par des conditions de frontière mixtes (absorption et retard à la réflexion). Plus récemment, dans les années 1988, la première théorie linéaire du réfrigérateur thermoacoustique qui exploite les phénomènes dans les couches limites thermiques associées au mouvement acoustique pour assurer une fonction de réfrigération, a été publiée. A la même époque, l'exploitation des effets d'inertie dans les couches limites visqueuses d'origine acoustique, mené à la réalisation du gyromètre acoustique dont les possibilités de miniaturisation, la dynamique et la durée du transitoire peuvent répondre à certaines attentes. L'objet de la conférence est de brosser un tableau de l'état atuel dans ce domaine par un tour d'horizon des formulations de base des phénomènes, et de présenter les applications marquantes. Michel BRUNEAU Laboratoire d'Acoustique de l'Université du Maine (LAUM), UMR CNRS 6613, Le Mans - France Michel Bruneau
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Jean-Baptiste Joseph Fourier french,
Recent short history 1810, J.J. Fourier : heat diffusion 1850, G.G. Stokes then C.L. Navier : viscosity 1868, G. Kirchhoff : Basic equations Inertia, bulk and shear viscosity: Newton's law Compressibility: mass conservation law Thermal diffusion: heat conduction equation Wave motion Infinite medium (plane and spherical waves) Guided plane wave (boundary layers effects) 1948, L. Cremer : impedance-like boundary layers Applications: Small acoustic elements (1908), thermoacoustics (1978), acoustic gyrometry (1988), Boltzmann's constant measurement (1988), non-linear propagation from loudspeaker (1998), among others... Jean-Baptiste Joseph Fourier french, ( ) George Gabriel Stokes english, ( ) Claude-Louis Navier french, ( ) Gustav Kirchhoff german, ( )
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Content The dynamics of fluid motion
Basic equations (inviscid fluid at rest) Viscosity effects Thermal conduction effects Wave motion in thermo-viscous fluid: dissipation Thermo-viscous boundary layers Boundary conditions: boundary layers Tubes and slits, acoustic transmission lines Field/wall interaction: damping and delay
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Inviscid fluid at rest r' = c p Acoustic wave motion: basic equations
dx P (x) P (x+dx) F(x) Acoustic wave motion: basic equations Inertia Euler équation div v 0: conservation of mass equation Compressibility q dV dV r' v(x) v(x+dx) Nature of the compressibility h Adiabatic behaviour relationship between p et r' r' = 2 c p
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Adiabatic behaviour P V tmin= -tmax tmax tmax tmin P ~ > d ~ > t
P ~ > d ~ > t d V ~ < d tmax tmin= -tmax P V ~ > d ~ < t d ~ P < d tmax tmin l/2 dW = 0 dEa = 0 V
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Content The dynamics of fluid motion
Basic equations (inviscid fluid at rest) Viscosity effects Thermal conduction effects Wave motion in thermo-viscous fluid: dissipation Thermo-viscous boundary layers Boundary conditions: boundary layers Tubes and slits, acoustic transmission lines Field/wall interaction: damping and delay
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Viscous fluid r v r v Navier-Stokes equation
with i.e. m : shear viscosity coefficient h : bulk viscosity coefficient with and Now v l r compressional - extentional acoustic wave : 2 equations v r Shear wave :
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Content The dynamics of fluid motion
Basic equations (inviscid fluid at rest) Viscosity effects Thermal conduction effects Wave motion in thermo-viscous fluid: dissipation Thermo-viscous boundary layers Boundary conditions: boundary layers Tubes and slits, acoustic transmission lines Field/wall interaction: damping and delay
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Non adiabatic behaviour
P ~ > d ~ > t d V ~ < d P V ~ > d ~ < t d ~ P < d Heat transfer between the particle considered and its neighbouring particles dW > 0 dEa < 0 V
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Thermal conduction Thermal conduction equation
l : thermal conduction coefficient s : entropy variation h : heat source Now with (meter) Conservation of mass equation
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Summary Inviscid fluid (outside sources)
Euler equation Conservation of mass equation ou Adiabatic law (thermodynamic behaviour) Thermoviscous fluid (with operation of sources) F c0 1 Stokes-Navier equation Conservation of mass eq. r0 c0 q r0 Cp h Thermal conduction eq.
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Content The dynamics of fluid motion
Basic equations (inviscid fluid at rest) Viscosity effects Thermal conduction effects Wave motion in thermo-viscous fluid: dissipation Thermo-viscous boundary layers Boundary conditions: boundary layers Tubes and slits, acoustic transmission lines Field/wall interaction: damping and delay
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Wave equation in thermo-viscous fluid Dissipation phenomena
Wave equation with sources (lower order of the thermo-viscous terms) Outside harmonic sources - angular frequency w (Kirchhoff, 1868) with lvh 10-8 m w i t 2 a k - D p k 2 a - i k0 p k 2 - dispersion equation complex wavenumber Remark : represents the gap between the isothermal compressibility and the adiabatic compressibility ("amplitude" of the thermal effect)
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Content The dynamics of fluid motion
Basic equations (inviscid fluid at rest) Viscosity effects Thermal conduction effects Wave motion in thermo-viscous fluid: dissipation Thermo-viscous boundary layers Boundary conditions: boundary layers Tubes and slits, acoustic transmission lines Field/wall interaction: damping and delay
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Boundary conditions, boundary layers Particle behaviour (1/5)
Without viscosity and without thermal conduction (inviscid fluid) t = 0 v = 0 p = 0 t max / min v max / min p max / min In the bulk On the wall In the bulk On the wall t max v = 0 p max t min p min t = 0 v max / min p = 0 Progressive plane wave: pressure and particle displacement in quadrature Stationary wave : pressure and particle displacement in phase
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Boundary conditions, boundary layers Particle behaviour (2/5)
Without viscosity and with thermal conduction (stationary wave) Thermal boundary layer thickness Displacement Quasi isothermal Polytropic adiabatic vn = van+vhn = 0 vn = van vn = van+vhn van+vhn = 0 t > 0 t < 0 t = 0 local heat flux Temperature of the wall = constant t =0 on the wall The normal component van of the acoustic velocity compensate on the wall the «entropic» velocity vhn (linked to the heat flux) vn , van , vhn depend on the distance between the particle and the wall
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Boundary conditions, boundary layers Particle behaviour (3/5)
Without viscosity and with thermal conduction (stationary wave) Displacement t > 0 t < 0 t = 0 Quasi adiabatic Thermal boundary layer thickness Heat transfer Polytropic Quasi isothermal local heat flux Temperature of the wall = constant t =0 on the wall
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Boundary conditions, boundary layers Particle behaviour (5/5)
With viscosity and with thermal conduction (stationary wave) Thermal and viscous boundary layer thickness Tm + t (t = 0) (t < 0) (t > 0) Tm + ts (ts > 0) (ts < 0) (ts = 0) Displacement Heat transfer - Si |ts| < |t| refrigerator - Si |ts| > |t| temperature gradient is maintained in the wall, heat exchanges are inverted acoustic generator
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Boundary conditions - boundary layers Basic equations (1/2)
Summary of the basic equations (thermo-viscous fluid with operation of sources) F c0 1 Stokes-Navier equation r0 c0 q Conservation of mass eq. r0 Cp h Thermal conduction eq. u w Boundary (u=s) localy plane perfectly rigid v vu v w Components of the 1st equation: normal velocity tangent velocity v vu v w v w1 v w2
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Boundary conditions - boundary layers Basic equations (2/2)
Equations in the frame (u, w1, w2), harmonic oscillations Stokes-Navier equation Heat conduction equation Conservation of mass equation Boundary (u=s) localy plane Impédance Z u w v vu v w Boundary conditions (on a wall at u = s) p : champ source with ; with
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Content The dynamics of fluid motion
Basic equations (inviscid fluid at rest) Viscosity effects Thermal conduction effects Wave motion in thermo-viscous fluid: dissipation Thermo-viscous boundary layers Boundary conditions: boundary layers Tubes and slits, acoustic transmission lines Field/wall interaction: damping and delay
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Tubes, slits, acoustic transmission lines (1/3)
Plane wave, hypotheses near the wall: Stokes-Navier (Poiseuille) equation + boundary conditions general solution of the homogeneous equation ; Shear movement inside the boundary layer Heat conduction equation + boundary conditions ; Conservation of mass equation Boundary(u=s) u w v w dv t dh
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Tubes, slits, acoustic transmission lines (2/3)
Wave equation (mean value over the section), (Kirchhoff, 1868) Kv Kh Elementary wave equation with a complex wavenumber Outside the sources: Boundary(u=s) u w v w dv t dh p
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Tubes, slits, acoustic transmission lines (3/3)
Acoustic transmission lines: mean value over the section Tubes and slits (z-axis), outside the sources Stokes-Navier (Poiseuille) equation + boundary conditions vz Kv Heat conduction equation + boundary conditions Kh Conservation of mass equation vz z vz = < vw > dv p
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Content The dynamics of fluid motion
Basic equations (inviscid fluid at rest) Viscosity effects Thermal conduction effects Wave motion in thermo-viscous fluid: dissipation Thermo-viscous boundary layers Boundary conditions: boundary layers Tubes and slits, acoustic transmission lines Field/wall interaction: damping and delay
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Field/wall interaction Thermo-viscous admittance-like of the wall
Wave equation inside the thermo-viscous boundary layers (outside the sources) ô õ ó u s du ï þ ý ü î í ì with and (extinction of the shear and the entropic modes for (u-s) dv,h ) with for (u-s)dv,h with Specific admittance-like effects of the thermoviscous boundary layers on the reflection of the acoustic field (Cremer, 1948) and u w boundary layers v vu v w s
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GAPSUS 05 Small Acoustic elements Thermo-viscous boundary layer effects LAUM - LNE L'histoire de la propagation acoustique en fluide homogène dissipatif a commencé en 1868 par une publication de Gustav Kirchhoff qui, sur la base des équations de Navier-Stokes et de Fourier, a résolu le problème de la propagation en fluide thermo-visqueux, en espace infini et dans les tubes, incluant la propagation dans les tubes étroits (tels que les capillaires utilisés en électroacoustique) et dans les pores ou fissures des matériaux, dans lesquels les couches limites thermiques et visqueuses associées au mouvement acoustique jouent un rôle prépondérant. Les travaux de Lothar Cremer en 1848 ont conclu à la possibilité de traduire dans certaines circonstances les effets des couches limites thermovisqueuses par des conditions de frontière mixtes (absorption et retard à la réflexion). Plus récemment, dans les années 1988, la première théorie linéaire du réfrigérateur thermoacoustique qui exploite les phénomènes dans les couches limites thermiques associées au mouvement acoustique pour assurer une fonction de réfrigération, a été publiée. A la même époque, l'exploitation des effets d'inertie dans les couches limites visqueuses d'origine acoustique, mené à la réalisation du gyromètre acoustique dont les possibilités de miniaturisation, la dynamique et la durée du transitoire peuvent répondre à certaines attentes. L'objet de la conférence est de brosser un tableau de l'état atuel dans ce domaine par un tour d'horizon des formulations de base des phénomènes, et de présenter les applications marquantes. Michel Bruneau
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Results GAPSUS 05 An Annular slit Thickness: 71.2 µm ± 6 µm Length: 3.8E3 ± 6 µm Michel Bruneau
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New results GAPSUS 05 4 open tubes Ø: 449 ±1µm Length: 3.80 ±0.01mm Michel Bruneau
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GAPSUS 05 Microphones Thermo-viscous boundary layer effects LAUM - LNE L'histoire de la propagation acoustique en fluide homogène dissipatif a commencé en 1868 par une publication de Gustav Kirchhoff qui, sur la base des équations de Navier-Stokes et de Fourier, a résolu le problème de la propagation en fluide thermo-visqueux, en espace infini et dans les tubes, incluant la propagation dans les tubes étroits (tels que les capillaires utilisés en électroacoustique) et dans les pores ou fissures des matériaux, dans lesquels les couches limites thermiques et visqueuses associées au mouvement acoustique jouent un rôle prépondérant. Les travaux de Lothar Cremer en 1848 ont conclu à la possibilité de traduire dans certaines circonstances les effets des couches limites thermovisqueuses par des conditions de frontière mixtes (absorption et retard à la réflexion). Plus récemment, dans les années 1988, la première théorie linéaire du réfrigérateur thermoacoustique qui exploite les phénomènes dans les couches limites thermiques associées au mouvement acoustique pour assurer une fonction de réfrigération, a été publiée. A la même époque, l'exploitation des effets d'inertie dans les couches limites visqueuses d'origine acoustique, mené à la réalisation du gyromètre acoustique dont les possibilités de miniaturisation, la dynamique et la durée du transitoire peuvent répondre à certaines attentes. L'objet de la conférence est de brosser un tableau de l'état atuel dans ce domaine par un tour d'horizon des formulations de base des phénomènes, et de présenter les applications marquantes. Michel Bruneau
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GAPSUS 05 Acoustic gyrometer Inertial viscous boundary layer effect Michel BRUNEAU Henri LEBLON LAUM SEXTANT-AVIONIQUE L'histoire de la propagation acoustique en fluide homogène dissipatif a commencé en 1868 par une publication de Gustav Kirchhoff qui, sur la base des équations de Navier-Stokes et de Fourier, a résolu le problème de la propagation en fluide thermo-visqueux, en espace infini et dans les tubes, incluant la propagation dans les tubes étroits (tels que les capillaires utilisés en électroacoustique) et dans les pores ou fissures des matériaux, dans lesquels les couches limites thermiques et visqueuses associées au mouvement acoustique jouent un rôle prépondérant. Les travaux de Lothar Cremer en 1848 ont conclu à la possibilité de traduire dans certaines circonstances les effets des couches limites thermovisqueuses par des conditions de frontière mixtes (absorption et retard à la réflexion). Plus récemment, dans les années 1988, la première théorie linéaire du réfrigérateur thermoacoustique qui exploite les phénomènes dans les couches limites thermiques associées au mouvement acoustique pour assurer une fonction de réfrigération, a été publiée. A la même époque, l'exploitation des effets d'inertie dans les couches limites visqueuses d'origine acoustique, mené à la réalisation du gyromètre acoustique dont les possibilités de miniaturisation, la dynamique et la durée du transitoire peuvent répondre à certaines attentes. L'objet de la conférence est de brosser un tableau de l'état atuel dans ce domaine par un tour d'horizon des formulations de base des phénomènes, et de présenter les applications marquantes. Michel Bruneau
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Acoustic gyrometer Demonstrator
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Introduction Applications : - Transportation, Navigation - Guidance
- Robotics ... Advantages of the acoustic gyros : - Lower manufacturing cost - Lower power consumption - Smaller dimension, even miniaturisation - Higher reliability - Improved lifetime - Short transient response - High dynamic range
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Device, mechanisms involved
C = AC J1(k10r) cos S = AS J1(k10r) sin 1000 (°/s) -1000 0.1 0.2 0.3 0.4 -0.1 -0.2 -0.3 -0.4 AS /AC [Herzog et al.] 100 200 500 1000 -1 dB (°/s) AC [Herzog et al.]
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The wave equation Coriolis acceleration Angular acceleration
Centrifugal acceleration 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0.992 0.994 0.996 0.998 r/R =0°/s =20000°/s =40000°/s =60000°/s =80000°/s Flow induced perturbation Radial density variation effect
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GAPSUS 05 Acoustic gyrometer Experimental gyrometer Gyrometer Rotating table Michel Bruneau
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Miniaturised acoustic gyrometer
Loudspeaker and microphones on silicon chips
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Conclusion Transient regime High rotation rates
- Short transient response (less than 50 ms). - Much shorter than the stabilization time of the unsteady circular flow (several seconds) - Linear response (output as function of the rotation rate) High rotation rates - Non linear behaviour of the phenomena involved - Linear response - High dynamic range (from 10-2 °/s up to 105 °/s)
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GAPSUS 05 Boltzmann constant measurement Thermo-viscous boundary layer effects LAUM/GDF INM/LNE/CNAM L'histoire de la propagation acoustique en fluide homogène dissipatif a commencé en 1868 par une publication de Gustav Kirchhoff qui, sur la base des équations de Navier-Stokes et de Fourier, a résolu le problème de la propagation en fluide thermo-visqueux, en espace infini et dans les tubes, incluant la propagation dans les tubes étroits (tels que les capillaires utilisés en électroacoustique) et dans les pores ou fissures des matériaux, dans lesquels les couches limites thermiques et visqueuses associées au mouvement acoustique jouent un rôle prépondérant. Les travaux de Lothar Cremer en 1848 ont conclu à la possibilité de traduire dans certaines circonstances les effets des couches limites thermovisqueuses par des conditions de frontière mixtes (absorption et retard à la réflexion). Plus récemment, dans les années 1988, la première théorie linéaire du réfrigérateur thermoacoustique qui exploite les phénomènes dans les couches limites thermiques associées au mouvement acoustique pour assurer une fonction de réfrigération, a été publiée. A la même époque, l'exploitation des effets d'inertie dans les couches limites visqueuses d'origine acoustique, mené à la réalisation du gyromètre acoustique dont les possibilités de miniaturisation, la dynamique et la durée du transitoire peuvent répondre à certaines attentes. L'objet de la conférence est de brosser un tableau de l'état atuel dans ce domaine par un tour d'horizon des formulations de base des phénomènes, et de présenter les applications marquantes. Michel Bruneau
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GAPSUS 05 Machines thermoacoustiques Modélisation analytique Machines thermoacoustiques (Roth, ) : systèmes multiphysiques (acoustique, vibratoires, thermique...), systèmes multi-échelles (l=dn,k , L=dimensions guide d'onde), systèmes sièges de processus physiques couplés et complexes. => modélisation numérique d'une machine complète : non envisageable pour l'heure => modélisation analytique : complémentaire de la modélisation numérique Au LAUM, depuis 1995, approche essentiellement analytique et expérimentale linéaire et non linéaire régimes transitoires et stationnaires Intérêt aide au dimensionnement estimation des performances (par la classification des principaux effets non-linéaires qui contrôlent le comportement de ces machines). 44 Michel Bruneau
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GAPSUS 05 Exemples de résultats Contrôle actif des non linéarités Réfrigérateur thermoacoustique « classique » Génération d’harmoniques (en résonateur sans stack) : modèle de Burgers généralisé Contrôle actif : signal HP en (source d'énergie) et 2(opposition aux effets NL) => augmentation de l’amplitude de pression jusqu'à 50% (résultat expérimental) Références - Gusev V., Bailliet H., Lotton P., Job S., Bruneau M., J. Acoust. Soc. Am., 103(6), 1998 - H. Bailliet, doctorat, Univ. du Maine, 1998 45 Michel Bruneau
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GAPSUS 05 Exemples de résultats Régime transitoire d'établissement du champ de température dans un réfrigérateur thermoacoustique (coll. LMFA) Thot Tcold xc x Description analytique du régime transitoire - flux de chaleur dû à l’effet thermoacoustique, - conduction thermique retour dans l’empilement, - chaleur générée par effets visqueux dans l’empilement, - fuites thermiques en parois du résonateur et aux extrémités de l’empilement Référence P. Lotton, P. Blanc-Benon , M. Bruneau , V. Gusev , S. Duffourd , M. Mironov , G. Poignand, International Journal of Heat and Mass Transfer, 52, , 2009 46 Michel Bruneau
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GAPSUS 05 Exemples de résultats Nouvelle architecture de réfrigérateur thermoacoustique (miniaturisation) Champ acoustique optimal pour le flux de chaleur thermo-ac. (modélisation analytique). Réfrigérateur compact à 2 sources : maquette à champ acoustique optimal Proto. (échelle centimétrique) Stack (plaques Kapton©) Plaque avec jonctions thermo-élect. (mesure du champ de températures) Références - M. Bruneau, P. Lotton, Ph. Blanc-Benon, V. Gusev, E. Gaviot, S. Durand, Brevet FR (Univ. du Maine et CNRS) juin 2003 (étendu PCT WO ). - G.Poignand, B. Lihoreau, P. Lotton, E. Gaviot, M. Bruneau, V. Gusev, Appl. Ac., 68(6): , 2007. - B. Lihoreau, doctorat, Univ. du Maine, 2002. - G. Poignand, doctorat, Univ. du Maine, 2006. 47 Michel Bruneau
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GAPSUS 05 Exemples de résultats Extrémité stack / échangeur de chaleur : effets de bords thermiques (coll. LMFA) stack échangeur Variation brusque de la nature des échanges thermiques => génération d'effets non linéaires thermiques polytropique polytropique adiabatique Modélisation analytique des transferts thermiques (harmoniques de température) Réflexions sur la distance optimale stack-échangeurs ..... Références - Gusev V., Bailliet H., Lotton P., Job S., Bruneau M., J. Acoust. Soc. Am., 109(1), 2001. - Gusev V., Lotton P., Bailliet H., Job S., Bruneau M., J. Sound Vib., 235(5), , 2000. Michel Bruneau
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GAPSUS 05 Exemples de résultats Générateurs d'ondes thermoacoustiques : déclenchement et effets NL de saturation Déclenchement Modélisation : solution analytique exacte de l'équation de la thermoacoustique linéaire prise sous forme d'une équation intégrale de Volterra de seconde espèce Saturation Régime transitoire : modélisation analytique (déclenchement saturation NL) : - vent acoustique génération d'harmoniques - pompage thermoacoustique pertes de charges singulières expérience modèle Références - Gusev V., Job S., Bailliet H., P. Lotton, M. Bruneau, J. Acoust. Soc. Am., 110, p.1808, 2001 - S. Job, doctorat, Univ. du Maine, 2001 - G. Penelet, V. Gusev, P. Lotton, M. Bruneau, Phys. Let. A, 351, , 2006 - G. Penelet, doctorat, Univ. du Maine, 2004 Michel Bruneau
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