0. Présentation du cours Pourquoi un PA ?

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1 0. Présentation du cours Pourquoi un PA ?
Les contraintes à respecter : Sécurité Performances Les paramètres intervenant dans la conception : Le type d’avion Le milieu extérieur Les commandes de vol L’ergonomie du podte de pilotage

2 1. Le modèle de l’avion naturel 1. Les équations générales

3 Avion rigide à commandes de vol irréversibles Avion symétrique
Hypothèses Avion rigide à commandes de vol irréversibles Avion symétrique Atmosphère pesante immobile La position du CG et IG sont des constantes Trièdre principal d’inertie Gxyz (termes nuls liés à la symétrie de l’avion) La masse m de l’avion est constante Les caractéristiques de l’atmosphère (ps et Ts) ne dépendent que de l’altitude z. Terre plate immobile et g = 9,81 m/s2

4 Positions angulaires de l’avion – les trièdres
Plan horizontal Trièdre lié à la terre Trièdre lié à l’avion Trièdre aérodynamique Voir transparent Verticale descendante a = incidence b = dérapage

5 Commandes : braquage > 0  moment <0
Conventions de signes Angles a > 0 si x au dessus du plan xaGya b > 0 si « l’air arrive du côté droit de l’avion » Commandes : braquage > 0  moment <0 dl (cde de gauchissement) > 0 = manche à gauche l’avion s’incline à gauche dm (cde de profondeur) > 0 = manche vers l’avant l’avion pique du nez dn (cde de direction) > 0 = palonnier gauche le nez de l’avion part à gauche Vitesses angulaires : braquage > 0  vitesse <0 Roulis « p » > 0 si portée par Gx Tangage « q » > 0 si portée par Gy Lacet « r » > 0 si portée par Gz

6 6 variables statiques (coordonnées et positions angulaires
Choix des variables 6 variables statiques (coordonnées et positions angulaires 6 variables dynamiques (vitesses angulaires et linéaires) Coordonnées du centre de gravité G / Terre Positions angulaires : les angles d’Euler y, q, f Les composantes de la vitesse linéaire Vitesse angulaire W

7 Forces et moments Les actions aérodynamiques sont caractérisées par : Les actions propulsives sont caractérisées par : Les forces de pesanteur caractérisées par :

8 Rappels sur les lois de la Mécanique
Le trièdre terrestre est galiléen Théorème fondamental de la dynamique Théorème du moment cinétique

9 Détermination du modèle
3 équations de forces 3 équations de moments 3 relations cinématiques

10 2. Séparation des mouvements

11 Regroupement des variables
Variables longitudinales Variables transversales Variables de commandes

12 Regroupement des équations
Mouvement longitudinal Mouvement transversal

13 Existence d’un mouvement longitudinal pur
Variables concernées Variables constantes Conditions à vérifier Solution si :

14 3. Mouvement longitudinal
Le plans Gxz et Gxaza sont confondus. Les ailes sont horizontale f = 0. Le dérapage est nul b = 0.

15 Représentation dans le plan
x Fonction de : M et a q a xa g x0 Fonction de : M, a et dm y za z0

16 Décomposition des forces
x q a xa g x0 Dérivation de za z0

17 Equations du mouvement

18 Équations dans le repère aérodynamique
Propulsion : forces sur Gxa Sustentation : forces sur Gza Moment : autour de Gza Cinématique 1 : assiette Cinématique 2 : altitude

19 Recherche des conditions d’équilibre
A l’équilibre on vérifie Déterminons les autres paramètres de vol

20 Équation des moments X x F’ F Y G Moment à piquer Sens (+) des moments
Foyer de l’aile X Sens (+) des moments et des angles Foyer de l’empennage Moment à piquer x F’ F Y G Moment dû à dm. Moment dû à la portance à dm = 0. Moment à portance = 0 et à dm = 0.

21 Équation des moments à l’équilibre
Braquage d’équilibre à portance = 0

22 Algorithme de calcul du point d’équilibre
     non oui

23 Influence de la vitesse de tangage sur le moment
à piquer Y F’ V G Da v

24 Calcul des coefficients du modèle simplifié
Coefficients aérodynamiques Hypothèses : petits mouvements autour du point d’équilibre

25 Équations

26 Principes de linéarisation des équations

27 Linéarisation de l’équation de propulsion

28 Attention : nouvelle notation

29 Équation de propulsion linéarisée

30 Équation de sustentation linéarisée

31 Équation de moment linéarisée

32 Quatrième relation linéarisée

33 Modèle complet linéarisé
Vecteur d’état Matrice de commande Matrice dynamique Vecteur de commande

34 4. Modèle longitudinal simplifié

35 Hypothèses supplémentaires
L’influence de la vitesse sur les coefficients aérodynamiques et sur la poussée est négligeable. Si on néglige la traînée due au braquage de la gouverne de profondeur :

36 Hypothèses supplémentaires
La variation d’incidence autour de la position d’équilibre aé est sans influence sur la poussée. On peut encore pour un vol en palier stabilisé (gé = 0) et si aé est petit on peut poser :

37 Modèle longitudinal simplifié

38 Equation d’état du modèle longitudinal simplifié

39 5. Application numérique (avion de type delta)

40 Etude de deux point de vol
Paramètres Point de vol n°1 Point de vol n°2 Masse m 8500 kg Altitude z 40000 ft (T = 216,6°K) Mach M 0,8 1.2 0,302 kg/m3 1,1 0,022 rad 0 rad 2,66 2,87 0,019 0,006 -0,68 -0,4 0,22 0,33 0,015 0,0365

41 Etude de deux point de vol
Paramètres Point de vol n°1 Point de vol n°2 l 5,24 m Moment d’inertie B 59691,25 kg.m² Centrage 52 % S 34 m2 L = 1,5 l 7,86 m c = 0,52 L - 4,087 m x - 4,4 m - 4,936 m y - 6,288 m - 7, 247 m X = x – c - 0,313 m - 0,849 m Y = y – c - 2,201 m - 3,16 m

42 Calculs itératifs du point d’équilibre
Réaliser un programme sous MATLAB pour obtenir le point d’équilibre Paramètres Point de vol n°1 Point de vol n°2 0,286 ? - 21, rad 0,1353 rad 0,033 9559 N

43 Calcul des coefficients du modèle simplifié
PdV n°1 PdV n°2 XV 0,0094 ? ZV 0,082 Xa 0,48 Za 0,385 ma -4 Cxa 0,335 Xg 0,0415 Zg Xm Zm 0,1571 mm -11,641 Xt Zt Vé 236,5 mq -0,38 Cma -0,159 Cmm -0,462

44 Equation d’état

45 6. Effets des commandes (état initial et permanent)

46 Effet initial des commandes
La manette est fixe (dt = 0) la commande de profondeur dm donne une accélération en tangage. Au début du mouvement les écarts des variables par rapport aux valeurs d’équilibre sont nuls. Effet prépondérant Ainsi en tirant le manche on provoque une déflexion dm < 0 qui donne une vitesse de tangage q > 0 (le nez de l’avion monte).

47 Effet final des commandes
L’avion se retrouve dans un nouveau point de vol stabilisé. La matrice ci-dessous permet de calculer les écarts en régime permanent et de trouver le nouveau point d’équilibre. Sachant que

48 7. Régime transitoire de l’avion naturel

49 Méthode d’étude : modèle simplifié sans couplage
Pour simplifier l’étude on considère δτ = 0, et comme le suggère l’expérience, on peut découpler les modes : Mode rapide = oscillation d’incidence affecte α et q Mode lent = oscillation phugoïde affecte V et γ Mode lent Couplage ~ 0 Couplage ~ 0 Mode rapide

50 7.1. Etude de l’oscillation d’incidence
Modèle simplifié

51 L’oscillation d’incidence (oi)
On considère un écart d’incidence  :  la portance appliquée au foyer F ;  rotation de l’avion autour de G ;  si G en avant de F la rotation tend à diminuer  (rappel d’incidence) ;  si G en arrière de F l’avion est instable. La vitesse et la pente ne varient pratiquement pas aussi V = 0 et g = 0 (rappel : ces valeurs sont des écarts autour de valeurs d’équilibre).

52 Dynamique de l’oscillation d’incidence (oi)
On considère que la vitesse et la pente ne varient pas V = 0 et g = 0 (cas ou dt = 0). AI BI Le pôles des FT sont donnés par :

53 Calcul des fonctions de transfert (oi)
ou Noter le signe (-) du gain

54 Calcul des fonctions de transfert (oi)
ou Oscillations d’incidence : Mouvement relativement rapide Amortissement faible 0i = 0,19 Danger pour le pilote (couplage avec un retard pur) Il faut augmenter l’amortissement (solutions ?)

55 Calcul des fonctions de transfert sous MATLAB
% Etude de l'oscillation d'incidence AI=[-Zal 1 mal mq]; BI=[-Zm;mm];CIal=[1 0];CIq=[0 1]; TalDm_ss=ss(AI,BI,CIal,0); TalDm=tf(TalDm_ss) TqDm_ss=ss(AI,BI,CIq,0); TqDm=tf(TqDm_ss)

56 Calcul des fonctions de transfert
TalDm= s^ s s TqDm=

57 >> step(TalDm,TqDm,10);grid on
Réponses indicielles >> step(TalDm,TqDm,10);grid on

58 7.2. Etude de l’oscillation phugoïde
Modèle simplifié

59 L’oscillation phugoïde (op)
On considère un écart d’incidence  qui a amené l’avion (après stabilisation des oi) autour d’un nouveau point d’équilibre. Ainsi :  La portance appliquée au foyer F .  L’avion s’élève ( > 0). La traînée  puisque la portance . La composante de mg sur xa . La vitesse de l’avion   la portance . L’avion descend donc V . Ce mouvement est un échange entre l’énergie cinétique et l’énergie potentielle à incidence quasi constante. L’oscillation phugoïde est un mouvement très lent.

60 Dynamique de l’oscillation phugoïde
On considère que l’incidence a ne varie pas  da/dt = 0  dg/dt = q. On examine le cas où dt = 0. Le pôles des FT sont donnés par :

61 Dynamique de l’oscillation phugoïde
AP=[-Xv -Xgam Zv 0]; BP=[0;Zm];CPv=[1 0];CPgam=[0 1]; TvDm_ss=ss(AP,BP,CPv,0); TvDm=tf(TvDm_ss) TgamDm_ss=ss(AP,BP,CPgam,0); TgamDm=tf(TgamDm_ss) step(TvDm,TgamDm,400)

62 Dynamique de l’oscillation phugoïde
TvDm = s^ s s TgamDm =

63 Oscillation phugoïde TPH = 108 s

64 7.3. Etude de l’avion complet
Sans découplage des modes lent et rapide Avec Matlab et la CST Avec Simulink

65 Etude de l’avion complet
% Etude de l'avion complet (v, gam, al, q) Tcomp_v_Dm_ss=ss(A,B,[ ],0); Tcomp_v_Dm=tf(Tcomp_v_Dm_ss) Tcomp_gam_Dm_ss=ss(A,B,[ ],0); Tcomp_gam_Dm=tf(Tcomp_gam_Dm_ss) Tcomp_al_Dm_ss=ss(A,B,[ ],0); Tcomp_al_Dm=tf(Tcomp_al_Dm_ss) Tcomp_q_Dm_ss=ss(A,B,[ ],0); Tcomp_q_Dm=tf(Tcomp_q_Dm_ss)

66 Etude de l’avion complet – fonctions de transfert
Transfer function: s^ s s^ s^ s^ s s^ s^ s s^ s^ s s^ s^ s e-017 Tcomp_v_Dm Tcomp_gam_Dm Tcomp_al_Dm Tcomp_q_Dm

67 Etude de l’avion complet – Tcomp_q_Dm
>> [poles,zeros]=pzmap(Tcomp_q_Dm) poles = i i i i zeros = 0.0000 On peut choisir une autre fonction de transfert pour cette étude. (Cf. Diapositive précédente)

68 Carte des pôles et des zéros de Tcomp_q_Dm
>>pzmap(Tcomp_q_Dm) Mode rapide Mode lent

69 Carte des pôles et des zéros de Tcomp_q_Dm
Mode lent : oscillation phugoïde

70 Réponses indicielles pour t < 10 secondes

71 Réponses indicielles pour t < 200 secondes
Effet de l’oscillation d’incidence

72 Etude de l’avion complet en simulation

73 Visualisation des 4 variables d’état pour t < 10s
q al gam

74 Visalisation des 4 variables d’état pour t < 400s
Effet de l’OI q al gam

75 Evaluation des erreurs dues au découplage des modes

76 Erreurs introduites par le découplage des modes
v q al gam Pour déterminer les caractéristiques des modes on peut les découpler. Cette approximation donne des résultats inacceptables pour les réponses indicielles. Les FT doivent être calculées avec le modèle complet.

77 Travail demandé pour le point de vol N°2
Calculer les coefficients du modèle de l’avion correspondant au point de vol n° 2 (établir un fichier.m). Etudier (exploitation de MATLAB) les modes du modèle complet simplifié et donner les caractéristiques des modes rapide et lent. Enregistrer les réponses indicielles de q, a, V et g pour un échelon de profondeur à cabrer de dm = - 1°.

78 Calculs itératifs du point d’équilibre
Réaliser un programme sous MATLAB pour obtenir le point d’équilibre Paramètres Point de vol n°1 Point de vol n°2 0,286 0,1269 - 21, rad - 61, rad 0,1353 rad 0,0675 rad 0,033 0,418 9559 N 26936 N

79 Calcul des coefficients du modèle simplifié
PdV n°1 PdV n°2 XV 0,00942 0,01826 ZV 0,082 0,0369 Xa 0,48 0,05 Za 0,385 0,622 ma -4 -26,2 Cxa 0,335 0,236 Xg 0,0415 0,0277 Zg Xm Zm 0,1571 0,161 mm -11,641 -27,22 Xt Zt Vé 236,5 354 mq -0,38 -0,334 Cma -0,159 -0,465 Cmm -0,462 -0,482

80 Equation d’état